HD

d’où

En outre, on a identiquement :

1—kN\' 7% 2 k F| (x) 5] = (is 2 de (74) il résulte, en y faisant k—#, o…— 24 — 7, que le second membre

de l'équation précédente se change en (1 + k) F4 ) : } On a ensuite

AVG) ssl eme (ts)

On conclut de là le théorème suivant :

Si l’on remplace

1—k k par pp upar ({+k) u, alors

K se change en ; (1+k4")K, K’ en (1+ k’) K’,

q en g", (4 + k’) sin am uw cos am w SN AM 4 C0 ———— —, &amu 4— (1+ k) sin am u COS AM 4 EN —— — .

Namu

Par cette règle on tire de la série de sin am u par exemple, le

développement sinamuwcosamu 4T( q sin T# Tu q° sin 3Tu + q° Sin DTu — Aamu FKli— K 1 GG OK 190 K ‘"

‘sur lequel nous reviendrons dans le chapitre suivant. Il est à peine nécessaire d'observer que tous les développements en séries précédents peuvent être particularisés de différentes manières,

| suivant que l'on fait u —0, ou = K, ou — 3 K. Les formules particu-

lières qui en résultent renferment pour la plupart des relations entre les quantités k, k’, K et q; l'équation (70) seule fait exception : elle donne

pour # — 0, une formule qui peut être employée pour le calcul de E. On en tire, en effet,

E=K—3T (+ TESTS Er

Nous devons encore développer unc transformation importante à laquelle les séries ci-dessus peuvent être soumises ; clle consiste simplement à développer chaque terme au moyen de la formule

1 3 3 2 =; =l+r+r +rite.., 114, et à ajouter verticalement dans la série ainsi obtenue les termes qui se trouvent les uns sous les autres. Par exemple, si au lieu de l'équation (63), on écrit l'expression plus commode :

kK sin x Lg sin 5x q*sin 5x .

de Sin am = pq | EE a on obtient :

2Kx ee . - GR Sin am =p/q {sin x + q sin æ + qtsin & + q'einx +. + Qqsin 3x + gt sin 5x + q'sin 3x + q'° sin 5x +... + qg° sin 5x + q° sin 5x + q'? sin 5x + q'7 sin 5x +»... + . “À

Si l'on fait la somme de toutes les séries verticales, au moyen de la

formule —

(+ psinx

sin x + p sin 3x + p? Sin x +: T1 2peos 2x + pr?

on arrive au résultat suivant :

O+pyg . A+giyg

— sin am ——= Sin x

1 — 295 cos 2x + q'° j

27 TH 1 — 2q cos 2x +qŸ À — 2q cos 2x « q°

De la formule (65), ou de la formule

kK [se à gcos 3x q'eos x g cos am SE 1/9 41+39 1+g 149 .

qui n’en diffère pas essenticllement, on déduit de la même manière :

kK 2Kr U— ga __ (U—-g)y#

97 SAM = COS X À — 2q cos 2x + q° 1 — 295 cos 2x + q° Uma | (75) 4 —2q5 cos 2x +q'°

Si l’on met (67) sous la forme

K 2Kzx gcos2x gqg'eoskx qg°cos ôx — Aam— —-— + + 2T T c 4 + q° 41 +q* 1+ 9°

on trouve K Aam 2Kx 1 q cos 2x — g qg° cos 2x — q° 27 T 4 4 — 92q cos 25 + q° 1 — 295 cos 2x + Q°

q° cos 2x — q'°

T— 2qreosar+ qu (74) Dans le cas particulier x = 0, il vient :

K 1 9 __T q° 2x 4 A1—q À1— 49 41—0 La demi-différence entre ces deux équations nous donne : 1+9 À + q° K À = sin? x ETS Er 4T — 1— 29 cos 2x + q° 129 cos 2: + On tire de même de la formule (70) la relation suivante : 2Kx E 27*{q(1+ q°) cos 2x — 29° EI int 2 —— — ÿ 11 1 1— Fsin*am T K “ K: (1 — 2q cos 2x + q°)° q5 (4 + qf) cos 4x — 2q° T (1— 295 cos 2x + q°)° (76)

Ce qui caractérise les formules (72) à (76), c’est que l’on peut décomposer les fonctions elliptiques en fractions rationnelles, ces dernières

étant des fonctions de q. On peut d’après cela, considérer les fonctions elliptiques comme une espèce de fonctions fractionnaires : nous en ver-

rons l'exactitude dans le chapitre suivant.

Notes du traducteur. — Avant de passer à ce chapitre, nous allons faire

quelques remarques sur les formules que nous venons de trouver.

D'abord les formules (65) à (70) peuvent étre mises sous une forme

symbolique

27 q TS —7 sin (2n + DE

SNA TR À 1 qui

cosamu 27/q"> ; 1 T Aamu EEK ) A— gti

ARS q”

cos am w — EEK. ——— n=0 | + gt!

cos (2n + 1) +

cos (2n + 1) —

k’ sin am u nn =

— — SE Tu Aamu KR 2 NT que Sin On +1) 3

7 T — © q" nTu Aamu— | 1+4 2 PT qu °° rh

À g" n Aamu DK [t+475 > (— 1) nr cs |

am u —= — os sin = 1 n(1+q*)

— E) "= ng" nTu sin mu(r) Sr — 9 2, 1— qe COS —— K ra

Ces formules permettent de trouver des propriétés des nombres :

allons en indiquer quelques-unes.

Si, dans la formule (65), on fait u = K, il vient :

La formule (65) donne, pour u — 0,

n—0 1+ quuti

nous

De ces deux dernières, on conclut l'égalité des deux séries suivantes :

"ET Li 2 Teger

De même, pour # — 0, on déduit de (67):

+ Ts 7 |.

= x [is 2,1 rl Enfin de (68) on tire, pour u=— 0,

1 TT n—=® 4 g" = = SE ji 2 ( 4) x |

et ainsi de suite.

On peut encore trouver une autre expression pour le développement (70) de sin? am u. En effet, nous avons déjà vu que, pour u — 0, cette formule (70) nous donne :

K (K —E) Lo" ng Tr? —? 2, À — qg®

relation qui, comme nous l'avons dit, peut servir au calcul de E. Or, si nous substituons cette valeur dans (70), il vient :

sin? am % (x) 23 2, ——<— — cos ? r)

-et, en vertu de la formule connue À — cos x = 2 sin? ; x,

RE TEA SENTE ns (x) METRE à

On pourrait d’ailleurs obtenir cette dernière directement en multipliant la formule (6%) par elle-même. C'est le procédé ordinairement employé; mais il exige un grand nombre de calculs.

Cette formule donne, pour # —K,

nr 4 — g*" °

Eaofin, on peut donner à la formule ci-dessus a sin 3+ s Vasinz aq sin 52 1— 9 1 — Q5 une forme remarquable qui est due, je pense, à M. Hermite. On a, en effet,

#K sin am 2K2

EK . 2Kx .

gr ‘in am — = /q sin x (1 + g+qt+..) +./q5 sin 3: (1 + Q+ Qt +-...)

= Sin x si V' gt + sin 3x "5 V'q5antn +...

ou bien, kEK 2Kx =® = y — — 9x sin am = 5 sin (2m+1)x 2 'qetotntn, On trouve de même :

= cos am TE "> cos (2m + 1) x 5 (— 1 qe antt,

n—0 K 2Kx 1 M— © n=0©0 —— —— — — ——— n n+ 1m, 3. A am = Lt 2 cos 2mx 2 (— 1)" get

De ces deux dernières on tire, pour x = 0,

KK … =" 5 (— 1)" 'qumtientt,

2K m=e ne 4 2, 2 (— 1} Le +üm,

.« T ct de la dernière pour x = 3’

2kE 1+4 "> cos MT 5 (— 1)" gmistu, us m—=! n=—0

VII. Séries périodiques pour les fonctions elliptiques composées. Produits infinis.

Le procédé employé daus le chapitre précédent pour le développement

de l'intégrale nt

FT SK?

s'applique avec une faible modification au cas où la fonction F (w) n'est pas unc fonction doublement périodique proprement dite, mais composée d'une fonction doublement périodique et d’une autre fonction. Nous prendrons de nouveau pour chemin d'intégration de la variable imaginaire w, le contour du rectangle construit sur les côtés 2K ct 2K’. Nous supposerons que la fonction F(w) reste monodrome, mais cependant qu'elle devienne plusieurs fois infinie sur le contour du rectangle, et de plus qu'elle possède les deux propriétés suivantes :

F(w+2kK)—="F(w), F(w+t-2K') = €: F (10) + f (w0),

JF (w) eF* dw,

où f (w) désigne une nouvelle fonction connue. L'intégration le long du chemin donné fournit l'équation suivante :

2K 2K (4 — es et?) F(u) e# du — er" f(u) ere du 0 0 (77)

2K’ + t (es en K — 1) F (iv) e-# du + S = 0,

S désignant la somme de toutes les intégrales qui résultent de ce que l’on entoure les points d'exception de demi-cercles, ou de quarts de cercles infiniment petits. Le calcul de S se fait de la même manière que dans le chapitre précédent pour deux points d'exception. Nous allons donner quelques applications de ce principe simple.

1 e L e LI e a. La fonction ————— devient infinie aux points 0, 2K, :-2K’, et sin am w

2K + t-2K’; par suite, elle ne se transforme pes immédiatement en une série de sinus ou de cosinus. Au contraire, la fonction impaire

(w) sin am w 9K sin T® 2K

reste finie pour toutes les valeurs réelles de w depuis O0 jusqu’à 2K; elle s’annule pour w=—0 et pour # = 2K, et elle n’a que les deuy points d'exception i-2K’, et 2K +1-2K’. On peut donc poser :

9ru Sr Uu F (u) = B, sin KT B sin — SK + B; sin — dk Ho

De l'équation F (2K — u) = F (u), il résulte très-facilement que B:, B:, Be, etc, sont nuls; par suitc, pour déterminer

2K 2 . nru B, — 9K | F (u) sin 2K du,

on n’a besoin que de supposer n impair. On a, en outre,

RAS TEE Et = — À,

F(w+t.2K’) = F(w) + ZE

1 À sin E sin r (w + i:2K) | 2K 2K si donc, on pose, pour abréger, rK’

= ds il vient :

F(w+c. eee € = 1,

sin pis in ( 2K Gx+

Puisque n est impair, on a, en outre,

fu) = SE

CE ef — À = — cos nr — 1—0, et alors l'équation (77) se simplifie en la suivante :

2K 2K (1 — 9") [ F(u) e‘#v du — 9" [ f(u) et du+ S—0. (78)

Considérons d’abord l'intégrale qui renferme f (u), et remplaçons w par

2K la nouvelle variable T #5 en vertu des valeurs de f (u) et de pe, il vient :

2K Lu 4 1 f(u) er» du= | az —— {À ef" dx, 0 otsinx sin(r+ta)

ou bien, si sin (x +1x) est exprimé par des exponentielles, et si l’on a égard à l'équation e-* — q,

2K u eins us qe's f (ue) ef" du — — dx + 2i ( — ———— ef" dx.

0 o Sinx 1— ges

La deuxième intégrale du second membre se transforme facilement en une série procédant suivant les puissances de q, et dont les termes s’annulent, à cause de n impair. Il reste alors :

ui eins

dr.

[” f (u) ef" du —

0 sin x

Pour trouver en outre S, entourons les points d'exception C et B de quarts de cercles, dans la fig. 31, où OA — 2K, 0B— 2K’, CP —BQ—7, angle PCD — angle QBD — 6, et soit, pour abréger, e‘®—p. Alors S est la valeur limite de

( F (2K+ 2:K°+ p) entr ir+p) 0d0 1x

T7 | —T + i ( F (2:K°+ p) efetit"+e) pd0 = iq" p [F (pe) + f (p)] e‘#P d6

+ iq" [" p [F (p) + f(p)] e“#? db;

il s’en suit, à cause de F (0) — 0, et de limfp f(p)] = 1, S— — ir".

D'après cela, l'équation (78) devient :

# ein æ

ag) | Fu) eu du — g° |

dx — ing" = 0; pins 1 ?

elle donne, par la séparation de la partie imaginaire,

2K ñ T L F(u) sin ee du = 0 | r+ | 48 | 0 2K À — 9" o Sin x

L'intégrale du second membre se trouve en observant que, pour n impair, On a :

sin nT

sin x

= 1 + 9 [cos 2x + cos 4x +... + 05 (n —1) x];

on à alnSli :

2K . AU , __ 2xq" 2x 9" [ F(u) SEE T Sn Er et B, = K'i—g

Le développement en scric cherché est, d’après cela,

| T … 27 q sin ru + q° . ru sin am % Ksin7" À 1—qg 2% 1-9" "2x 2K ° qÿ . Dru | + ere XK . (79)

A am u T 2x ( cos 7% q° 3Tru cos am % ru Kg 2K 19°" 2%k 2K cos SK + T cos ru 80 1 Q° 9K .. | ( )

Si l’on remplace en outre u par k’u, K’ par FK, q par — q (p. 148), ct si l’on multiplie par — k’, on obtient encore

Tr k/ 97 q ru q° 3rU ——— — = — À —— C0 — — — 1 c9$s — ru cosamu K 1+7g 2K À + q° 2K 2K cos —— 2K ÿ q 5ru + ——— COS — —— CEE Â 1 + q° 2K | (81)

b. L'hypothèse r rw F (w) = cotg am w — K cotg SK”

conduit à un calcul analogue.

Cette fonction s’annule pour w — 0, et pour w — 2K; clle reste finie pour toutes les valeurs réelles de w comprises entre O0 et 2K. Elle peut,

par conséquent, être transformée en une série de sinus, et l'on aura :

. ru 9xu 3 F(u) = Bi sin DE + B, sin 2K + B: sin Fe Ho...

De la propriété F (2K —u)=— — F (u), il résulte d'abord que Bi = B; = B;°...— 0. Par suite, dans la détermination de

| 9 2K B, — SK [ F (u) sin a du,

on doit seulement considérer n pair. La fonction F (w) devient, en outre, infinie aux points w —1-2K”, ct w—2K +1-2K'; enfin, en conservant les notations précédentes, on a :

F (w + 2K) = F (w), a — + À, F(w+i.2K’)= —F{(w) + f(w), Eee = — 1,

f — 7) cot TD + cot TD Lie

En vertu de ces remarques, l'équation (77) se réduit à la suivante :

2K 2K (4+ q") F (u) ef du — q" f(u) ets du + S—0. (82) 0 0.

. . 2K On en tire, en faisant u — — x,

2K 3 | f (u) es du — — { cotg + cotg (x + ia) } ei": dx 0 | 0

R ——| cscotg x de — à | itge eins dx, 0 o 1— qe

ou bien, puisque la dernière intégrale est nulle pour n pair,

2K Là ( fu) ef" du — — ( ef" cotg x dx.

En outre S cst la limite de 0 F (2K + 2K'/+ p)emtr+#r+p) dû !

TT SE +! °F (25K'+ p) em a" +p) pd0 = iq" p{— F(e) + f(p)] eve dû 0 27 ir

+ 19" [* PCF (e)+ f(p)] er? dà ;

à cause de F (0) — 0, et de lim [pf (p)] = — 1, il vient :

S = 1irq".

Par la séparation de la partie imaginaire, on tire de (82) 2K = x:

F(u)sin * q e MRNE qe) 0 1+39 0 ‘“inx L'équation

sin nX COS x sin x

= À +92 [cos 2x + cos 4x + --.. + cos (n — 2) x] + cos nx,

conduit à la détermination de la dernière intégrale, et l’on a finalement

D’après cela, le développement cherché est le suivant :

2x qQ . ru gt . ?2ru SE —— cotg RE — cotgamu= + sin PVR à + (83)

Si l’on remplace « par K — uw, on obtient encore

. TU g* . 2ru

2r 2K —— 4 nn — € mms + mm mt K SE 85 k’tgamu K HE sin T+q sin +: 4 (84)

c. L'hypothèse

F (to) = cotg am w À am 0 — cotg — EC

conduit à un développement analogue, mais beaucoup plus important par ses conséquences.

La fonction impaire précédente s'annule pour w —0, et ww — 2K; elle peut donc être transformée en une série de sinus. De plus, à cause de F (2K — u) = — F (u), les coefficients B:, Bs, Bs, ctc., disparaissent, et l'on peut supposer dans la détermination de B., que l'indice n est ua nombre pair. La fonction F (w) sera quatre fois infinie aux points 2K’, 2:K’, 2K + 1iK’, 2K + 2:K’; elle possède encore les propriétés suivantes :

F(w+2K)—F(w), Es = À, F (vw + PRIE « + Lol € — À,

3) — — + f (w) = HE RUE De co! £ SE gtie)| En vertu de ces remarques, l'équation (77) se réduit à

2K 2K (1— q") F(u) efés du — q" f(u)e#du+S—0. (85) 0 0

Au moyen de ces substitutions on trouve, comme ci-dessus, 2K f(u) ef" du — à cotg x — cotg (x + ix)} ei dx, 0 0

c'est-à-dire, à cause de n pair,

2K f(u) ir du = ef": cotg x dx.

Pour déterminer S, on entoure les points d'exception E, C, B, D, de demi cercles et de quarts de cercles, comme le montre la figure 52; S est alors la valeur limite de la somme suivante :

î ° pF (2K + iK'+ p) emkri+e) d9 + à PF (2K+2iK'+p}ett@rR+air+e) dû s 4

27 T 3 FT +5 pF (2iK'+ p) eixGik’+p) dO + à pF (:K'+ p) eim(R’+p) dO, 0 +iT

c'est-à-dire, en vertu des significations de u, n, q, S — ixq3 —i,T —isd + ing",

ou bien :

S— ir (2q%"— q").

La partie imaginaire de l'équation (85) donne nru sin nx COS

— q" in— du—qg\ —— — g"] =0, (4 of F (u) sin K du —q | x dx +r(2q5" q")

et, comme la valeur de l'intégrale relative à x est égale à r, il reste :

gs”

2K nr ( F (u)sin — K VU Qu — 9

De là résulte le développement en série suivant :

ru 2r( 4 . ru ( amu LL eote = — TN À in L* re LC (86 cotgamuAam u K BTE K qi + La qi KL + (86)

En remplaçant w par K — uv, on obtient encore :

k'igamu 7x ru Tu g . 27u Aamu — RER Rs K 1+g ET LE RE + 7) d. Une transformation semblable s'applique à la fonction rw

F(v)=tg amw A amuw— D tg

laquelle s'annule pour w — 0, et pour w— %XK ; elle devient infinie aux trois points 2K + 1K’, K + 2:K’, :K’. Nous laissons au lecteur le soin de faire ce calcul, parce que le développement résultant s'obtient plus rapiment, lorsque l'on remplace dans (87) les quantités... |

ke, k, uw, k VE a, respectivement par

FO k'u, KK, —Q, k'igamuAamu.

Il vient alors la formule

nu 274 Q . ru g® . 2ru te 1 7 2 ——— ————…. ge ne g am w À am u — KE — K STADE QUE PT K

+ io + (88)

dans laquelle les termes renfermés entre parenthèses sont de la forme g” . MTrU

A+ (—1)" g" UK

Cette formule peut donc s'écrire sous la forme symbolique suivante :

3 2x *=< g" Si mru pamudamu— tp K À, > 1+(— 1) g° ° D Dans le cas particulier u — : K, l'équation (88) donne la série déjà trouvée ci-dessus (page 152). | 2K q q° g ta + À;

cette formule sert à calculer la valeur de K correspondant à une valeur donnée de g.

Pour obtenir une relation analogue, différentions (88) par rapport à u, et, dans la formule résultante :

4 — k sin? am u + k* tg° am u — (&) séet TE — 2K

2K 2r* | 1q cos "+ 29° cos 2ru + 3q° cos Sr tu + l OK )1—g KO 1+9 OK 1—®@ K ÿ’

() ina Tir ip ire

Si l'on met dans (88) K — w à la place de v, il vient :

cotg am uw x nu 2m( Q . mu g 2ru Aomu 2K EXK K)1—g"K 1+9 RK Tin 74 À.

+ T— gi SD — (89)

Enfin, la différence entre les équations (89) et (86) donne encore la formule remarquable suivante : :

2 gi cos am w . TU 3 . Sru 5 ksinamu cn + D in +4

KT 7 l .

À am u mers K 41—79q° K 1—9° K | (90)

que nous avons déjà trouvée autrement (page 150). e) Les équations (86), (88) et (90) ont une importance plus grande en ce que l'on peut en déduire des séries pour les logarithmes de sin am w,

cos am uw, À am u. En effet, on obtient immédiatement par la différentiation J'entg am u À am u du — 1. sin am u, — f'tgam u À am u du = 1. cos am u,

(* sin AM % COS am

A ans du = ].A am u.

D'après cela, si l'on multiplie (86) par du, et que l’on intègre entre les limites u — O0, etu — u, il vient :

] sin am w |: 1 cos 4 + 7 co Zu, CRC ER ET SE EE ETS:

et, si l'on désigne par C la partie du second membre, qui est indépendante de u,

su À gt ru 1. sin amu— |. sin De —C+2 De T'AS ET LS |

Pour déterminer la constante C, multiplions cette équation par du, et intégrons entre u— 0, et u —=K; il viendra :

K K 1. sin am du— | 1. sin D du = CK.

Dans la première intégrale, posons amuw—w, et dans la seconde

Y, nous aurons 2K ‘?

c’est-à-dire, en vertu de la formule (41) (page 38), et de la formule (39) (page 36) pour € — 0,

On a alors le développement en série

à Lin am u— 1. in De (2 VE +24. q cos ==

2K 41 1 1+9 k 4 g° 2ru +2 1+g 008 + «| (91)

On trouve de la même manière des séries pour 1. cos am # etl. Aam u; mais on y arrive plus rapidement, si l’on remplace dans l'équation précédente les quantités

k, u, K, gqg, sinamu,

ik. ,, , k’ sin am w k'u, KK, —9, ENT

respectivement par gp”

On obtient ainsi 2 ru 1. (Re )— 1 sin = I. 2V3 — 9 LT 05

Aamu 2K 'kk 1 4—79 K 4 9° 2ru ; ER D À Re nd 99 5 Trg K + ( )

Si l’on remplace u par K — u, il vient :

à 1. cos am u — I. cos = | 22

Enfin, la différence entre les équations (91) et (92) donne :

1 1 q TU = |, RE —— + ———— 1. Aamu ju +4 pk 3 T— qi K

f. Toutes ces séries peuvent être ordonnées, comme celles du chapitre précédent, suivant les puissances de q, et elles prennent ainsi une autre

forme. On tire alors, par exemple de (91), en posant = ZT, 2Kx 2h q cos 2x L'sin em ——= |. V# sin æ ) + 2q— 9 + g— gt — algue pp + 2iq— + g—ge je

et l’on peut sommer tous les séries verticales, au moven de la formule

4 1 - 1 Tr cos 2x + 5 r? cos kx + 2 rs 006 OL He. =— 5 (1 —92r cos 2x+ r?);

on obtient ainsi :

2 F sin :) — 1. (1— 2q cos 2x + q°)

+1. (1—2q* cos 2x +qt) —1.(1—2q%cos 2x + Qt) +1.(1— 2q cos 2x +) — +.