sin am 2Kx = |, T
Il en résulte ce théorème important que le sinus amplitude peut être développé en un produit infini :
Sinam 2Kr 2 /q sinx (1— 2q°cos 2r+q") (1— 29 cos 2x+q°) 8) M VWk (1—9g cos 2r+q?) (1 —2q cos 2x+ gt)...
On déduit de la même manière de (93)
cosam 2K% V# V’acosx (1 29° cos 2x + q+)(1 + 2q* cos 2x+q°) , (96) T V4 (1— 2q cos 25 +q*)(1— 29% cos 21 + 6)...
et, de (94),
Aam 2Kx yk (+ 2q cos 2x + q*) (1 + 2q5 cos 27 +qt)e. (97) T (1— 2q cos 2x+q*)(1— 2q° cos 2x + q°)-.
En vertu de ces trois dernières formules, on peut considérer les fonctions elliptiques sin am u, cos am u, À am u, comme des fonctions fractionnaires qui ont un dénominateur commun(l). Nous nous étendrons davantage sur ces réflexions dans le chapitre suivant : mais auparavant, nous allons traiter quelques cas particuliers des dernières équations.
qe em me ne . - . - - .— — me
(1) Les séries périodiques, les développements en séries de fractions, les produits infinis relatifs aux fonctions elliptiques sont dus à Abel (voir les quatre premiers volumes du Journal de Crelle) et à Jacobi (mêmes volumes et Fundamenta nova theor. funcl. ellipt.). Mais ces deux auteurs ont suivi des méthodes tout-à-fait différentes, qui n'étaient pas à l'abri de toute objection, à cause du peu de développement qu'avait alors la théorie des fonctions de variables complexes. Les méthodes appliquées ci-dessus sont dues à M. Schloemilch (Mémoires de l'académie des sciences de Saxe, 1. IV, p. 305).
Si l'on divise les deux membres de (95) par sin x, et si l'on fait tendre x vers zéro, on obtient :
VE Le [— g)(4— gé) (A qe n faq Ne 72 ntm. (=) :
en outre, de (96) on tire, pour x = 0,
LEZ = [eee ï( + g® »
8 L-pt—gu—g] EU get Le quotient de ces deux équations est
142 FA — 9) (4 — 9) (1 — g°) ee — qu?
T Sn TES ET LIET TS G A)
On peut encore y rattacher la formule
Er nl nn (EE
x (+) + gt) (A+ g).. | à (+ g/ ?
laquelle se démontre, en remplacant k par 1—F k' par 2V# K aque , plaça P 1+ F° pa j LE par
= ( + k)K, et q par g°, ce qui rend la dernière formule identique à la : précédente.
Remarques du traducteur. — Les formules (95), (96), (97) peuvent étre mises sous la forme symbolique suivante :
. 2Kx 2W/gsinx = 1— 2q*" cos 2x + q#" sin am x = A 1— 2q°"—* cos 2x + qu—+ (95) 2Kr 2WK/qosz A1+92q"cos2r+q" (96) COSAN — = ——— {2 — 1] ——û———— — 0 LS VA à 1 — 29%" cos 2x + gt
2Kx © 4 + 2q%%t cos 2x + gt À am — — Re RE MES T 11 — 2q°" tt cos 2x + q*"* (97) Ces expressions vont nous permettre de trouver de nombreuses relations très-importantes.
La formule (95) nous donne, pour x = :
VE=2y 9 ( 1+97
À + + Qu n—{
Divisant par cette dernière la première des formules de la page précédente, on obtient :
9K | — q®" À + 1+ 9° 2 | 7 — 1 — =) : + qg" ct, en extrayant la racine carréc de deux membres
= Il | — g°"—! Â +q*"
Or, cette expression peut étre simplifiée, en employant la relation suivante :
| qu ge (+4) (+ 9?) (A+ 95);
on a alors
(—9)(1— 09) (1— yf)-- 2 à 8 3 A o)U— 45) (= 95) ={[({4—9)(—g).1x[({+09)({+9)(1+9 V1
Or, (1+9) (+9) (+09). — [(1+ 9) (14-99) (1+q9)-. JX IA +9) (+ gt).
Par conséquent
VE A gt) ] x [A+ g) (A+ g5) (+ ge,
ou symboliquement
V’® = fl (A — g°) (+ gp.
Au contraire, si l'on multiplie ces deux formules l’une par l’autre, il vient en extrayant la racine carrée :
2Kk 4, © A—q"
On trouve aussi
& Ld
2Kk , = 2V a —gu) (A+ gt
La formulc (97) donne, pour x = 0,
/F= ti ER)
| + qg°"—!
Enfin, en multipliant cette dernière formule par la troisième des formule de la page 168, on trouve, comme ci-dessus :
KL’ © À — gn 4 — gti © Ag" VERTE SE ET EE T 11+9" 1+9 1 1+9"
De la formule (90) on tire, pour u — o
1+k K |1—q9 1-49 1—9g' ou bien LT n—= © . q"*"!
RS EE On en tire :
LT n— © g"—!
K—i+-e 2 2 (— 1} qu La formule (81) donne, pour u = 0, 2Kk q g° g | 4 | 1 — 1 Les 1+q 1+q |
ou bicn
2KK gt
En comparant cette relation avec la formule (p. 154)
KE 4 (ip TL
n=l 4 + qg°"
on obtient l'identité
A © gr"! n = ©
nr À + g°! n=1 U+ Er
Il serait facile de continuer cette série de formules : mais, nous croyons inutile d'en donner davantage. Nous ferons cependant remarquer diverses relations que l’on obtiendra par la comparaison de formules ayant les mêmes premicrs membres.
Ainsi, en égalant les deux valeurs de = (p. 15% et 169) on trouve
l'identité 1+4 > — La = = Il O— gi + gr t)t.
De méme l'égalité des valeurs de Ep. 154 ct 170) donne
A4+4 si (— 1}; PT
n=! 5 LEE
—T = Il Re) HEC
et ainsi de suite.
