CES

cos am (2a) —

cos am (21b) —

D'après cela, Qrrire tg am (2a) — FE ri cos (8 — 01 — 02), 2rriTe

(g am (2:b) =: re + (ri)

sin (8 — 0, — 03).

Pour simplifier ces formules, nous introduirons un angle auxiliaire y, défini par l’équation

B7— 7? (178) r'1 nous aurons alors Qrrire Qrrire

ra — (rrs)* — 8? rat + (rre)? — sin 7

Si l'on substitue ces valeurs dans les équations précédentes, et si l’on a égard à la relation tg am (2:b) — à -sin am (2b, k’), on obtient les deux formules tg am (2a) = tg 2y cos (9 — 01 — 62), (179) sin am (2, k) = sin 2y-sin (0 — 0, — 0), | (480)

lesquelles serviront à déterminer a et b, et par conséquent c = a + tb(l). Remarques du traducteur. — La formule (149) donne pour # —K,

| Z(K)=0; pour u — e elle donne :

K : 9r q q® | qÿ | …: Or “== . gr! | CG) ft ee RE CU

(4) Jacobi a montré le premier (Fundamenta nova theor. funct. ellipt., V 47 à 60) que les intégrales elliptiques de la deuxième et de la troisième espèce se ramènent aux fonctions ©. Il prend pour point de départ (comme à la page 205) le développement de sin? am v, auquel il arrive par une voic pénible, en élevant au carré le développement de sinamu. Le procédé que nous avons donné pour déterminer a et b, et qui renferme ce théorème que tout nombre complexe peut se ramener à la forme sin am (a + ib), est dû à Ricuecor. Journ. de Crelle, t. 45, p. 225.

En remplaçant la somme Z par sa valeur trouvée ci-dessus (p. 170), il vient :

()-5E En faisant u — 0 dans la formule (163), on obtient Z(IK) = , et la formule (164) donne, pour u = 0, Z (2iK7) = — ee De la formule (157) , Z (w) = ue ’

on tire, en multipliant par dw et intégrant,

6 (w) — 0 (0) eo Ft,

Enfin, la formule (p. 211) IL (u,a)— IT (a, u) = uZ (a) — aZ (u), nous donne, pour u —K, en observant que I (a, K)=0, Z(K)—0, IT (K, a) =K:Z (a).