DEUXIEME PARTIE
VAUra ACTUELLE D'UHE SOIDIE PAYABLE A UlE tPOaUE FUTUBE.
§ IX. — Db l'escompte.
La valeur actuelle d'une somme payable à une époque future, c'est le capital qui s'élèvera à cette somme dans le temps donné. Ainsi loo^'^ deviennent io5^''à la fin de i an, au taux de 5 pour loo; parconséquent, la valeur actuelle de loS^'^payablés dans i an est loo'^^.
Vescompte est la retenue opérée pour le payement d'une somme avant son terme d'échéance, c'est-à-dire la différence entre la somme payable à une époque future et sa valeur actuelle.
Par conséquent [formule (a)] la valeur actuelle de i'*" payable a l'expiration de n années est -7, 9 valeur qui, multipliée
par le montant de la somme due M, donnera/? = — [ formule (2)]
pour la valeur actuelle de la somme M payable dans n années; l'escompte sera donc
OU
Exemple XVI. — Déterminer la valeur actuelle et V escompte de ZSoooo^' payables dans 7 ans à 6 pour 100.
\ogp = log M — log r".
logM = 5,5563025 (Tab. 39) log/-' = 0,1771411
log/» = 5,3791614
Cette somme, soustraite de 36oooo'^^, donnera pour l'escompte
Exemple XVII. — Quelle est la valeur actuelle de 3855'', 5o payables dans 43 jours, à 8 pour 100, intérêts composés?
logp = logM — ( log r") yfj.
log 3855, 5o = 3,5860807 y^logr*' (Tab. -45) =0,0039376
donc
log^ = 3,582i43i
p=^8io^'y']o et D = 34f^8o.
Exemple XVIII. — On demande la valeur actuelle de 44^''» 60 payables dans 3 mois, à 4 \pour 100.
log^ — log44^»6o— Iogr\
log 442 } 60 -— 2,64601
(Tab. 51) logr* =0,00478
log/? = 2,64 123 /. = 43/%75.
Exemple XIX. — Valeur actuelle d'une somme payable, en cas de survivance, dans un temps donné.
On demande de trouver la valeur actuelle de 75ooo''^paya-
- iq -
bles dans 1 7 ans, constitués sur une seule télé âgée de a6 ans, le taux de l'intérêt étant de 4 pour 100. On s'en rapportera à la Table de mortalité de Northampton.
76000'^ payables dans 17 ans valent actuellement ^ ^„ ■
J)'après la Table de mortalité de Northampton, sur i i65o enfants nouveau-nés, 4^85 vont au delà de 26 ans et 34o4 au delà de 43 ans. Pour payer i^*à chaque survivant âgé de 43 ans, les 4685 personnes âgées de 26 ans doivent payer la valeur actuelle de 34o4''^payables dans 1 7 ans ; une seule des 4685 personnes âgées de 26 ans doit donc payer la valeur actuelle de
7g^ payables dans 17 ans; et enfin, pour que chaque survivant de 43 ans reçoive 75000'"^, chacune des 4685 personnes âgées de 26 ans doit verser la valeur actuelle de ^.^^^ ^ —
payables dans 17 ans. Cette valeur actuelle est donc Y 3404 X 75000
logV=: Iog34o4— log4685 -4- log75ooo — logr''.
Iog34o4 = 3,5319896
Ct^ * ) log 4685 = 6 329-2904
log 75000 = 4 1875061 3
(Tab. 23) Cl logr" = 9,7104332
logV = 4,4467745 V = 27975''", 3o:
telle est la valeur actuelle de 75000^^
(*) Ct exprime le complément arithmétique d'un logarithme, c'est-à-dire la différence entre ce logarithme et le nombre lo. On emploie les compléments arithmétiques pour éviter les soustractions ; ainsi, dans le cas présent, au lieu de soustraire log r" de log 76000 et log 4685 de log34o4, nous écrÎYons les compléments de logr*' et log 4685, ensuite nous ajoutons les quatre logarithmes et de la caractéristique totale nous retranchons autant de fois lo qu'il y a de compléments ou de divisions, c'est-àdire 2'x 10 ou ao.
§ X. — Rapport entre l'escompte et l'intérêt.
Nous avons trouvé que l'escompte d'une somme M payable dans n années est
De même, nous avons vu qu'un capital M donnera au bout de n années un intérêt I = M(r^— i); par conséquent,
l^Di- et D=-;
en d'autres termes, Tintérèt d'un capital est égal à l'escompte de ce capital augmenté de l'inlérét de cet escompte pendant le même temps.
Réciproquement, l'escompte est égal à la valeur actuelle de l'intérêt.
Exemple XX. — Quel est V escompte de [\oooo^^ payables dans 3 mois, à [\\ pour i oo?
log/i=:IogM — logr* — Iog4oooo — logr\
log4oooo = 4 > 6020600
(Tab. oJ) log/** = 0,0047791
log/? = 4 , 5972809
d'où
pz= 39562^%25; D=:437^^;5.
Nous avons déjà trouvé (exemple XIV) que l'intérêt de 40000''' pour 3 mois est de 442'^6o.
La valeur actuelle de cette dernière somme, payable dans 3 mois, est de 437'S75 (exemple XVIII). On peut voir par là que l'escompte de 4^000'' pour 3 mois est égal à la valeur actuelle de l'intérêt de ce capital pour le même espace de temps.
