XL
Lorsque l'intérêt est convertible par semestre, par trimestre, etc., la valeur actuelle d'un capital se calcule au moyen de la formule suivante :
(7) P = 7 JTÛ'
dans laquelle k représente le nombre des payements annuels [formule (2)].
Or, si ^ est plus grand que I, la valeur de (i 4-71 j est plus
grande que (i -t-^), et la valeur du dénominateur (1+ j\
augmentera avec k. quoique toujours inférieure à ^^ , Par conséquent, la valeur actuelle est d'autant moindre et l'escompte d'autant plus grand que les époques où l'intérêt se convertit en capital sont plus nombreuses.
Exemple XXI. — Quelle est la valeur actuelle, quel est T escompte de Z60 000^' payables dans 7 ans, r intérêt étant de 6 pour 100, convertible par semestre, par trimestre et d'une manière continue? ( Voir exemple XVI.)
Par semestre, 3 pour 100 :
\o^p z=z log 360000 — logr'*.
log 360000 = 5 , 5563o25 (Tab. 43) log/-**— 0,1797211
log/7= 5,3766814 Valeur actuelle/;— a38oo2''',4o, Escompte D — 121997^'', 60.
Par trimestre, i ^ pour 100 :
log/? = log 360000 — - logr*\
log 360000 = 5,5563oa5
(Tab. 3) logr* = 0,181049a
\ogp = 5,3752533 Valeur actuelle/? = a37275'^7o, Escompte D = i^iy^i'^ ^3o,
Continuellement :
p "lôt ^ «?<i. '
log/? = log 360000 î — loge.
log 36oooo = 5 , 5563o!i5 4a
log/? =^5,3738988 Valeur actuelle/? = 236536'%8o, Escompte D = 123463^'', 20.
Ainsi la valeur actuelle de 36oooo'^ payables dans 7 ans, au taux nominal de 6 pour 1 oo» sera :
fr
L'intérêt étant convertible annuellement 239420,60
D » par semestre 238002,40
» » par trimestre. .. . 237275,70
» 1* continuellement.. 236536, 80
Cette dernière somme est le minimum que puisse atteindre la valeur actuelle.
§ XII. — Rapport remarquable entre l'escompte et les anituitês.
La valeur de l'escompte de la somme M, payable dans n an nées, est, d'après le § IX [formule (6)J,
— ai —
Mais, dans le Chapitre suivant, on montrera que la valeur actuelle de n annuités de i^'^ est
donc
M/ désigne aussi l'intérêt annuel de la somme M.
Par conséquent» l'escompte de M^*^ payables dans n années est égal à la valeur actuelle de n annuités dont le montant annuel serait égal à l'intérêt annuel de ]VP (*).
Exemple XXII. — Quel est V escompte de Z&oooof^ payables dans 7 ans, le taux de T intérêt étant de 6 pour 100 par an?
L'intérêt de 36oooo'' pour i an est de 21600^'; par conséquent, l'escompte est égal à 7 annuités de 21600'"^ (valeur actuelle).
Iog2i6oo = 4,3344538 (Tab. 39) log« (**) = 9,253i8o5
logD = 5,0812733 D= 120579''", 40 }
comme plus haut.
Exemple XXIII. — Quel est V escompte de 36o 000^^ payables dans 7 ans, le taux dé J' intérêt étant de i\ pour 100 par trimestre ?
(*) (Troisième partie) a désignant une annuité quelconque, on a V (valeur actuelle des annuités) = f>a; si l'on fait a = Mr, on aurait aussi D = ap, et par conséquent D = V. On peut donc considérer D comme égal à la valeur actuelle de n annuités de a^''= MCy l'intérêt annuel de M.
Cela est tout naturel. En effet, l'escompte exprime la perte sur le capital nominal; or cette perte consiste justement dans la perte d'intérêt. Par exemple, le taux d'intérêt étant à 6 pour loo, la perte sera dans la privation de ai 600'' par an pendant 7 ans (exemple XXII).
{**) a étant l'annuité rachetée par i'' dans un nombre donné d'années.
L'intérêt de 36oooo'' pendant 3 mois est de 5400'*"; par conséquent, Tescompte est égal k la valeur actuelle de 38 annuités de 54oo'^
Iog54oo= 3,7328938 (Tab.3) logû= 8,6434633
IogD=: 5,0889305 D = 1 22724''', 3o.
comnne plus haut^
§ XIII. — Équation des payemoits.
Lorsqu'une somme doit être payée en deux ou plusieurs parties à différents termes, on demande souvent de convertir en un seul payement la somme de ces payements partiels. Ils faut alors déterminer Fépoque à laquelle la dette entière doit être acquittée. C'est ce qu'on peut appeler ^>e V équation des payements .
La solution de ce problème est très-simple. Si, en effet, on appelle S la dette entière, V la valeur actuelle du payement unique ou de tous les payements partiels, et x le temps vrai du payement unique, la valeur de x sera exprimée par la formule
(4) ^^lo.S-losV
logr
Exemple XXIV. — 2890'' doivent être acquittés en trois payements partiels, le premier de 1 2g^^'dans 7 mois, le deuxième de 735^"^ dans 2 ans et enfin le troisième de 861^' dans 5 \ ans; à quelle époque^ en comptant l'intérêt composé à 5 \pour loo, la dette entière de 2890^' pourrait-elle être acquittée en un seul payement ?
La valeur actuelle des trois payements partiels, que l'on a déjà appris à calculer, est de 2562'',57.
Par conséquent,
logS= 3,46090 logV= 3,40867
(logS— logV) ou Iog^=o,o5a23
log>^ ou log logy = 0,71792 {voir p. i4)
(Tab. 57) logV ou log logr = 0,35674
Iogjr = o,36ii8
ic = 2,2g7oou 2 ans loSjours,
Quand les deux payements partiels sont égaux, si Ton veut faire l'équation du temps vrai, nous ferons observer qu'il sera toujours moindre que le temps moyen des deux payements partiels.
Supposons que le premier payement doive être fait dans n années, et le second dans [n + ad) années; soit^ le temps vrai du payement unique.
Nous aurons
et r* =
2 r''-4-r-*' r*'-hr~''
Mais {n H- d) est la moyenne entre l'époque des deux payements partiels, et (r** -4- r"''j est toujours ( *) plus grand que a ;
{*) Comme Je carré d'un nombre réel, positif ou négatif, est toujours positif, le carré de (r'' — 1} est toujours plus grand que zéro; nous avons donc
ou, en développant,
r*d — ar<'-f-i> o,
et, en divisant par r^, nous obtenons
r'— a -+-r-''> 0, d'où r**-!- r-*'> 2.
par conséquent,
r'<r''-*-*' et j^</n-rf.
Exemple XXV. — On suppose que looo^^ doivent être acquittés en deux payements partiels, le premier dans 7 ans et le deuxième dans 43 ans : à quelle époque^ l intérêt étant de I\ \ pour joo, la dette entière de looo'*" devra-t-elle être acquittée en un seul payement?
La valeur actuelle des deux payements de 5oo^'" chacun est de442^S7445; par conséquent,
logS=3, logV=2,646i5
(logS — logV) OU log^= 0,35385
log log;^ ou l0g'= 9,54882
log log r ou log'r = 8 , 28 1 40 log^r = 1,26742
jr:=i8,5ioou 18 ans, 186 jours.
Ainsi la première somme sera acquittée 11 ans 186 jours plus tard, et la deuxième a4 ^"s 179 jours plus tôt. Comme preuve de l'exactitude de ce résultat, on trouvera que l'intérêt, pendant 11 ans 186 jours, des premiers Soo'^^est égal à l'escompte de Soo^*" payables dans 24 ans 179 jours, en prenant 4i pour 100 pour le taux d'intérêt.
§ XIV. — Escomptes usuels ; escompte commercial.
Dans la formule (2),
p = -} r ou p = (i-h/)-%
qui exprime la valeur actuelle de 1*^ payable au bout de n années; si nous développons, d'après le théorème du binôme»
( I -h /)■"" en une suite de termes ordonnés suivant les puissances croissantes de /, nous obtiendrons
p= i — nt-^
Si nous supprimons tous les termes de cette série à l'exception des deux premiers» nous aurons
/?= I — ni
pour la valeur actuelle de i'*^ payable dans n années, et, comme D = i — /?, nous aurons
c'est l'escompte commercial.
Or, comme nt exprime l'intérêt simple pendant n années, Tescompte commercial n'est autre chose que l'intérêt de la somme ou dette totale, calculé à partir du moment présent jusqu'au terme de l'échéance.
Exemple XXVI (*). — Trouver l'escompte commercial de aSo'*' payables dans un mois à 6 pour loo.
