II I

r(p = IH 1 — -j -h • • •

et» en retranchant la première équation de celle-ci ,

rç-ç = ,--i ou <p(r-i)=ï-^;

mais

donc

et, par conséquent,

^ 3o d'où

expression générale de la valeur actuelle de n annuités de i'**. Puisque 9 exprime la valeur actuelle d*un certain nombre d'annuités de i^S il est clair que la valeur actuelle de toute autre annuité de a^*^, pour le même nombre d'années, sera égale à cette annuité multipliée par 9, c'est-a-dire

Le rapport entre la valeur actuelle d'une annuité quelconque et son montant annuel, ou la valeur de l'annuité divisée par l'annuité elle-même, étant appelée nombre (Tachât des a/z- /ie^5 réciproquement, nous aurons

c'est-à-dire que l'annuité que rachètera dans un nombre ai d'années une somme ou un capital donné Y est égale à ce capital divisé par 9, valeur actuelle de n annuités de l^^

Si le capital V = i'*^ et si a exprime l'annuité rachetée par i'*^ dans n années, la dernière équation devient

par conséquent

/i(p=zi ei logfl-T- log9 = o (*),

c'est-à-dire que le logarithme de l'annuité que rachètera i^"" dans n années est égal au complément arithmétique du logarithme de la valeur actuelle de n annuités de 1''' et vice versa. Ainsi, l'annuité étant de i''' pendant 9 ans et à 4 i pour 100,

(*) Dans les Tables, \oQa est augmenté de lo pour éviter les logarithmes à caractéristique négative.

- 3i -nous aurons

(Tab. i7) log«= 9, 1385379

Les Tables de i à 43 donnent les logarithmes de a, pour plusieurs taux d'intérêt et pour un nombre quelconque d'années depuis I jusqu'à 100.

§ XVII. — Limite des ANNUiTfis.

Quand» dans l'équation V = - ( 1 — r""), la valeur de n ou

le nombre d'années augmente, la valeur r"" diminue; et, par conséquent, la valeur actuelle de l'annuité augmente pareille-* ment, tout en restant toujours moindre que la valeur actuelle de l'annuité perpétuelle.

Ainsi, par exemple, la valeur actuelle d'un certain nombre d'annuités de i'' à 5 pour 100 est :

Pour 62 ans 19,0288340

» 2o3 » 19 »999«oo9

Et enfin la valeur actuelle de l'annuité perpétuelle est de 20'' .

Quand, dans l'équation «= ——37^» /i augmente pareillement, le dénominateur de la fraction augmente et la rente à payer annuellement diminue tout en restant toujours plus grande que l'annuité perpétuelle.

Ainsi, par exemple, l'annuité que loo''^ rachèteront à 5 pour 100 est

Pour 36 ans 6,0434457

« 127 » 5,oio2o5o

Pour '111 ans 5,oooio38

f* ?.68 » 5 ,ooooio5

et raîinùilè pïfpttuelle égale^. ^

§ XVIII. — Rapport entre les annuités perpétuelles et les