IV
IV o
DQ
Or
eo
Avant de terminer ce Chapitre, nous allons déterminer, a Taide de formules trës-simples:
i^ La valeur actuelle 9' de (/i-h i) annuités de i^', étant donnés le taux d'intérêt et la valeur actuelle 9 de n annuités de 1*^';
2.^ L'annuité a' par laquelle on peut amortir un capital de i'*" en (/i -+- 1) années, étant donnée l'annuité a par laquelle on peut amortir i^"" en n années;
3"* L'amortissement d'une année quelconque par rapport à celui de l'année précédente.
lo ^'^?±i. En effet.
d'où
De même
d'où
/cp= I •
T Mil
/o =: I et r/o =: r
T pH-*-l T pH
En retranchant la première équation de cette dernière, on obtient
/rç' — /9=: r— I = /, rç'— 9=:i, rcp'=r(p-hi et <p' = -^^
2« a' = -^^.En effet,
O == - et ©'!=: — •
La formule ç' = ? peut donc s'écrire
a! r r ar
ar
On peut écrire cette dernière formule sous la forme
En effet
, ar ar-h-r — r r(i-ha) — r r
i-+-a j-ha i -h a i -h a
Réciproque. — L'équation 9' = donne
c'est-à-dire, si y' = ç»(„) et 9 = (pin-n^ ^^ ^
Cette formule est trës-utile pour construire la Table qui donne la valeur actuelle de l'annuité de 1^^ par an. On commence par le dernier terme, calculé directement au moyen des logarithmes, puis on multiplie chaque terme par la raison, en retranchant chaque fois l'unité du produit.
De même l'équation a' = donne
a'-ha'a = ar, ar — aa' = a\ a[r — a') = a' ;
enfin
On peut généraliser ces formules et les appliquera V et V, a et a', V étant la valeur actuelle de n annuités de a'^ et V la valeur actuelle de {n 4- i) annuités de a^^ a étant l'annuité par laquelle on peut amortir Y dans n années et ce' l'annuité par laquelle on peut amortir V dans (^ + i) années.
L'équation 9' = donnerait
v'=X±if.
Ed effet,
d'où
t tr*
yt = a — -,
de même
d'où
On a donc d'où
Réciproquement,
ra
L'équation a' = donnerait
Vra
