V-ha
Réciproquement,
Vr a = aa' + Va', Vra - aa' = Va' ,
Va'
a(Vr— a)=Va' el a=:
Vr-a'
3^ L'amortissement d'une année est toujours r fois plus grand que celui de l'année précédente.
Soient
V le capital primitif;
OL Tannuité;
M le capital au commencement d'une année quelconque.
L'intérêt à payer pour l'année en question est égal à M/. Il reste comme à-compte pour l'amortissement
L'année suivante, on doit
M— (a — M/)=:M — a-hM/ = M(n-0 — a=Mr— a.
L'intérêt de cette somme est égal k
(Mr-a) /=Mr/ — a/.
L'annuité étant a, il reste pour l'amortissement
a— (Mr/ — a/)=a-ha/ — Mr/
= a(i-h/)— Mr/ = ar — Mr/ = (a — M/)r=Rr
§ XXV. — Annuités pour lesqurllbs le taux db l'intérêt du capital
EST DIFFÉRENT DU TAUX DE l'iNTÉRST DU FONDS D'AMORTISSEMENT.
Jusqu'ici nous avons supposé que le taux d'extinction du capital était le même que le taux d'emprunt, mais souvent ces deux taux sont différents.
Il peut arrivée que le créancier, peu disposé à accepter des remboursements successifs et partiels, réclame pour une époque déterminée le remboursement intégral du capital, et que le débiteur, pour éteindre sa dette au moyen de payements annuels, soit obligé de placer ailleurs et à des conditions différentes le surplus de son annuité.
Ou encore, les remboursements partiels, profitables au débiteur, peuvent être préjudiciables au créancier, qui reçoit en faibles portions le capital qu'il a prêté en entier et peut courir le risque de laisser stérile ce capital, qu'il aurait pu placer autrement en toute sécurité durant la période pour laquelle l'emprunt a été contracté. Le créancier peut donc consentir à des remboursements partiels, mais en même temps exiger pour ces payements un taux moins élevé, afin de contre-balancer le dommage qu'il pourrait éprouver.
Dans les deux cas, le payement de l'intérêt annuel et le remboursement du capital renferment deux comptes particuliers, indépendants, pour ainsi dire, l'un de l'autre: le payement de l'intérêt, et le placement annuel d'une somme fixe qui, à l'échéance du terme déterminé pour le remboursement, doit reconstituer une somme égale au capital emprunté. Il est de toute évidence que, dans ces deux opérations, les taux peuvent être très-différents.
Soient
V le capital prêté pour n années, ou la valeur actuelle de
l'annuité; t' le taux d'intérêt de ce capital;
/ le taux d'extinction, ou le taux auquel le débiteur peut
placer le surplus de son annuité; a l'annuité qui sera rachetée par i'** dans n années a ce
taux; A l'annuité payée par le débiteur pendant n années pour
l'intérêt et Tamortissement.
L'annuité Acomprendra : i^ l'intérêt annuel du capital Y au taux /' = Y/'; 2? la somme s nécessaire chaque année pour produire ce capital en n années, au taux t\ cette dernière somme sera
par conséquent,
et réciproquement
Exemple XLIII. — Quelle annuité faut-il payer pendant 29 ans pour un capital de ']!\oocf^^ si le taux de placement du capital est de l^ \ pour 100 et le taux d'extinction rfe 3 { pour 100?
Vr=333o^ log5 = logY+loga — Jog/^
log74ooo = 4; 86923
(Tab. 17) logfl= 8,73p5i
Cllogr» = 9,59719
log5=3,i9693
fr
S = 1 573 ,70 Vf ' = 333o
Ainsi il faudra payer annuellement iS'jV^f'jo pour éteindre le capital. En effet, i573'%7o placés à la fin de chaque année, pendant 29 ans, au taux de 3 -^ pour 100, donnent 74000^'^; l'intérêt de 74000*^ à 4 i pour io<> étant de 333o'^ l'annuité à payer chaque année est de 49o3^%70.
Exemple XLIV. — Une personne désire louer pour i o ans une propriété^ dont le revenu net est de 10 000'''. L'argent nécessaire pour payer dune seule fois le bail de jo ans pourrait être emprunté à 5 pour 1 00^ ou bien cette personne pourrait placer ses épargnes à 3 pour 100. Combien cette personne doit-elle payer pour ce bail de 10 ans?
-, A:::::IOOOO, /'i=:0,o5.
log//= 9,06904 (Tab. 15) logr- = 0,12837
îogp = 8,94067
logA = 4 logV = 4,86255
V = 72870'"^, somme à payer.
Pour évaluer la somme annuelle dont le montant au bout de 10 ans à 3 pour 100 doit reproduire 72870'', nous avons la formule (10)
*=7r' iog5=:io6V-hiog~.
logV=4,86a55 log^ = 8,94067
d'où \ogs= 3,8o32a j = 6356'%5o,
c'est-à-dire que 6356'%5o placés à la fin de chaque année, à 3 pour 100, produiront dans 10 ans 72870'*^; le capital 72870'' est donc égal à 10 annuités de 10 000''' :
Pour l'intérêt à 5 pour 100 3643, 5o
Pour Textinction du capital à 3 pour 100 6356, 5o
Exemple XLV. — - Quelle somme faut-il payer immédiatement pour le bail de 38 ans d'une propriété dont le revenu net est de 56oo'' ; le taux d'intérêt du capital est de 4 2 pour 100, et le surplus peut être placé à 3 ^ pour 100.
log« = 8,6646837 log/-" = 0,59-78223
logflrr-" = 8,i3686i4
ar'' = 0,01370445 t = 0,0475
t'-h ar"" = 0,06120445
log (/'-♦■ or-") = 8,7867830 log56oo = 3,7481880
logV = 4}96i4o5o V = 91496'', 60, valeur cherchée.
Mais, pour rembourser cette somme à 3 -|: pour 100, il faut payer i^SS'Sqi pendant 38 ans; donc
Pour Fintérét à 4 | pour 100 4346,09
Pour Tcxtinction du capital à 3 ^ pour 100. . . 1253,91
Doivent être payés chaque année 56oo
§ XXVI. — Calcul du nombre des annuités.
Pour calculer le nombre des annuités, il suf&t de transformer la formule
elle devient en effet
d'où
a a ^r Cf. — V/
tr' t a
et, en faisant usage des logarithmes,
logr
Mais a est égal à l'annuité, Yr exprime l'intérêt annuel du capital, et (a — V/) est égal à la différence entre l'annuité et l'intérêt annuel, c'est-à-dire au fonds d'amortissement représenté par 5; par conséquent,
logr
Exemple XLVI. — En combien d'années un capital de looooooo'*" pourra-t-U être amorti par une annuité de 65o 514*^^,40, l'intérêt étant de 5 pour 100 par an?
Capital V looooooo''
Intérêt annuel, 5 pour 100 ^ . . 5ooooo
Annuité a 65o5i4,$o
Amortissement j = a — V/ i5o5i4 ,40
log^
nz=-
logr
loga = 5,8132570 ]ogs = 5,1775780
log- = 0,6356790 s
(Tab. 57) logr = 0,0211893
/i =3 3o ans.
On pourrait aussi calculer n au moyen des Tables. En effet ,
00 aurait
La Table 31 donne 3o = /i pour le nombre d'années correspondant à celogaritbme.
Exemple XLVII. — Au bout de combien d'années une annuité de 1 800^' peut^lle amortir un capital de 2S 464'''^ 8 1 au taux de 4 \pour 100?
CapiUl V = 28464,81
Intérêt annuel, 4 7 pour 100 Y/ = 1280,9164
Annuité a = 1 800
Fonds (1*8 morlissement s= âi9^o836
loga = 3,2552725 logj == 2,7152373
log- = 0, 54003 52 logr=: 0,191163;
donc
0,5400 35 2 rt , 0,191103 *
ou, au moyen de la Table 27,
logr»* = 0, 5352561
(Tab. 51 ) logr^ = 0,0047791
logr*'-hlogr* = o, 5400352 = log/";
donc « = 28 4- J = 28 ans 3 mois,
§ XXVII. — Intebpbétation bt payement obs annuités, quand le nombre
EST PBACTIONNAIRE.
Si, dans la formule V= Jy~'i^'* '^ nombre d'années est un nombre entier, suivi d'une fraction quelconque, et si nous supposons que ce nombre n = m-]- jj m étant un nombre
entier et j une fraction d'année, nous avons
OU
V= -Il I H = -Il 1+ —
tr * tr ^ ir '
et entin
Or \r* — I j est égal à finiérêt composé de i^"^ pendant y
d^année et -exprime le capital qui donne a'^d'intérct, ou la valeur actuelle d'une annuité perpétuelle de «''; par conséquent
est égala l'intérêt composé, pendante d'année, de la somme qui donne a'*" d'intérêt par an, et — —^ v ~" ijrepré-
tr *
sente la valeur actuelle de cet intérêt composé payable dans m années et j d'année.
Ainsi la valeur V de l'annuité a'*" pour un nombre fractionnaire d'années comprend : i**/n annuités de a'*" avec entrée
immédiate; â^ à Texpiralion du terme final fixé pour Texlinc-
tioD du capital, une somme égale h Tintérét composé pour ^
d'année d'un capital dont l'intérêt annuel est égal a a^\
Ainsi, dans le dernier exemple XLYII, nous avons trouvé qu'un capital de 28464'%8i, à4ipour loo, serait amorti, au moyen d'annuités de i8oo^% en 28 1 ans ; mais le capital qui, à4i pour 100, donne 1800'' d'intérêt par an, est de 4oooo'%et l'intérêtcomposédece capital pendants mois esl(exempleXlV) de f\^\2^',6o; par conséquent, en échange d'un capital de a8464^^8I, on payera 28 annuités de 1800''', et 3 mois après, 442^S6o.
Pour confirmer l'exactitude de ce calcul :
, fr
Valeur actuelle de a8 annuités de 1800'' ^8337, 17
Valeur actuelle de H'à'^ùo payables dans 118 ans 3 mois.. 197, <M
Ces deux sommes ajoutées donnent tï8464 ,81
comme plus haut; ou encore
Montant du capital dans Tespace de 28 ans 97625,76
Montant de a8 annuités dans le même temps 97188,00
Différence au profit du créancier 437,76
Qui deviennent au bout de 3 mois 44'-^) 60
Nous avons trouvé (exemple XX) que l'escompte de 40000'' payables dans 3 mois est égal à 437'%7^ et que l'intérêt de ce même capital pour 3 mois (exemple XIV), intérêt qui est égal au montant de l'escompte (§X), est égal à 442^S6o.
D'ailleurs, la formule (11) montre qu'en général le reste de la somme due, après le payement de la dernière annuité, est égal à Tescompte de l'intérêt composé produit, pendant
la fraction d'année restante, parla valeur actuelle - de l'annuité perpétuelle a''.
La formule (ir) peut être remplacée par la suivante, qui ne donne qu'une valeur approchée :
' li
Exemple XLVIII. — Combien faudra-uil d'annuités de Cj^îio^^ pour rembourser un capital de iia^O^'S au taux de 5 { pour I oo ?
Capital V=^ iia493^'
Inlérèt annuel à 5 J pour loo. Yt = 6905,88 Annuité a= 9460
Fonds d'amortissement. ... s= 3544 > i'^
log.î = 3,54951
log- = o,4i59-2
(Tab. 33) logr»* = o, iiwi
(Tab. SI) logr* = 370.
Le nombre n chercbé est donc 19 ans et 2 mois. L'intérêt simple pour 2 mois, correspondant à un intérêt annuel de 9^5o'', serait de 1575''.
logi575 = 3,19728 (Tab. 63) n logP, = 93o5
log de rintérôt = 3 , 1 87976 Intérêt = 1 54 1,61.
(*) Pour trouver l'intérêt composé, pour -7 d'année, du capital qui donne oc^' d*iu^ térèt annuel, on peut opérer comme il suit :
Onchercbe l'intérêt simple, pour - d'année, correspondant à un intérêt annuel de a'',
et l'on retranche du logarithme de cet intérêt simple celui du facteur constant Pj^. En effet, l'intérêt composé dont il s'agit dans l'exemple en question est égal à — — \r * — i '.
Je multiplie et je divise cette quantité par 6, ce qui donne —-' v*— </G; mais =--—
est l'intérêt simple pour deux mois et — = — » puisque P, = — • U faut
donc, pour calculer cet intérêt composé, retrancher du logarithme de l'intérêt simple celui du facteur constant P«.
Pour mettre en évidence Texactitude de ce calcul :
fr
Valeur actuelle de 19 annuités de giSo^^ 1 1 191 4 , 84
Valeur actuelle de i54i'S6i payables dans 19 ans et a mois 5yS , 16
Les deux valeurs ajoutées 11 2493
Exemple XLIX. — Combien faudra-t-il d^ années pour rembourser un capital de ^0000^"^ en payant 3ooo'' par an y le taux d'intérêt étant deZ \ pour 1 00?
Capital V = 5oooo^'
Intérêt V/ = 1760
Annuité a = 3ooo
Amortissement s = i25o
log- = o,38o2i.
log'- =3 9,58001
(Tab.57) logV= 8,17436
log« = log'- — log'r = 9,58002— 8, 17436
log/ï = i,4o566
n = a5"",448 (^5 ans i63 J jours).
Sooo'*" d'intérêt par an correspondent à 1333'', 07 d'inlérèts composés pour i63| jours; par conséquent, on payera 3ooo'' par an pendant ^5 ans et, 164 jours après, I333'^o7. Vérification :
fr
Valeur actuelle de 25 annuités de 3ooo^'' 49444 , 54
Valeur actuelle de 1 333'% 07 payables dans 25"", 448. . 555,46
Valeur totale 5oooo
§ XXVIII. — ÂrPLlCATIOlf DE LA TaBLE I AD CALCUL DES AKKÊES.
Si le nombre d'années est un nombre entier, ou s'il doi( être évalué approximativement à une fraction d'année près, on peut le trouver par une simple soustraction dans les Tables
de 1 à 48. 11 suffit pour cela de calculer le logarithme de ^^
de le chercher dans la Tahle qui correspond au taux donné et de prendre le nombre n d*années correspondant à ce logarithme. On sait, en effet, que
d'où
mais
donc
<^ — y et logrt=^log^
Ainsi nous avons (exemple XL VI)
loga = 5,8139.570
logV = 7
logp ou loga = 8,8i3a57o
Au taux de 5 pour 100, ce logarithme peut être trouvé exactement dans la Table 31 comme correspondant au nombre 3o d'années; l'annuité est donc exactement de 3o ans comme plus haut.
(Exemple XLVII):
logfSoo = 3,!i5527 logV = 1, 45431
log/z = 8,80096
Au taux de 4 i pour 100, on trouve ce logarithme entre ceux des années 28 et tig; l'annuité sera donc répétée plus de
a8 fois et moins de 29. Pour évaluer cette fraction d'année, nous avons :
Pour 28 ans loga = 8,80291
Pour 29 ans loga = 8, 79628
Différence pour un an. . . 763
Mais la différence entre le logarithme que Ton a calculé et celui qui correspond à 28 ans est 19 seulement; on trouve
donc pour la durée de l'annuité 28 ans ^1 comme ci-dessus.
§ XXIX. —Sur la détermination du taux dh l'intérêt
