DANS LES ANNUITÉS

Do toutes les questions qui se rencontrent dans la théorie des annuités, aucune n'est plus compliquée et n'exige plus de travail que le calcul du taux des annuités. Dans le cas le plus simple, c'est-à-dire dans le calcul des annuités immédiates, l'évaluation du taux exige la résolution d'une équation algébrique dont le degré est supérieur d'une unité au nombre qui exprime les années: c'est ce qui résulte de l'équation (8)

quand elle est développée suivant les puissances décroissantes

de r

L'évaluation du taux est trës-importante, parce que le taux agit comme règle dans le placement d'une somme d'argent; généralement, il peut être suffisant d*estimer le taux avec une approximation de-^ pour 100; et c'est seulement dans quelques cas particuliers, par exemple quand on doit calculer des parités (§ LIY), qu'on exige une plus grande approximation. D'ailleurs, ce calcul peut être considérablement abrégé, parce que le taux est ordinairement compris entre i cl la

d'où

Vr«+« — Vr"=ar"— a, Vr"-^' — Vr- — «r"-^ a- o,

,■ Il ^, ^« ^. , o, ^»^ ' ~ / 1^ ~ j I» -+- - rr-. 0.

pour 100 par an; il est par conséquent facile de trouver une valeur approchée pour la racine, qui, au moyen de corrections consécutives, finira par être évaluée avec toute l'exactitude désirable.

Dans la plupart des cas pratiques, nos Tables de logarithmes présentent directement, au moyen d'interpolations, une précision plus grande qu'on ne l'exige; quant aux cas qui outrepassent les limites de ces Tables, on a donné des formules spéciales qui fournissent des résultats trës-approximalifs. Enfin une formule servant à corriger les résultats aidera à calculer le taux d'intérêt avec la plus grande précision.

Taux de V annuité perpétuelle, — Quand n est infini, c'esl-kdire quand l'annuité est perpétuelle, la formule (8) devient

d'où

et par conséquent, si l'on demande de trouver le taux d'une annuité perpétuelle avec entrée immédiate^ il n'y a qu'à diviser le revenu annuel par la valeur de l'annuité.

Exemple L. — -ta rente 3 pour loo étant à 98 |, quel est le taux de l'intérêt?

ou à peu près 3*^^,05.

§ XXX. — Calcul du taux au moyen des Tables de logarithmes.

Quand la valeur de log^ est trouvée dans les Tables pour

le nombre donné d'années, le taux est alors obtenu directement; si, au contraire, on ne peut pas trouver cette valeur exactement, on calcule le taux par interpolation.

Exemple LI. — On vend^ pour l5oooo'^ i6 annuités de 12873'*^; quel est le taux de r intérêt?

a laS'îS

V I 5oooo

loga = log 12873 = 4 , 1096798 log V = log 1 5oooo =5,1 76091 3

log/7 = 8,9335885

En cherchant ce logarithme dans les Tables à la colonne 16 années, on le trouve à la Table 23, qui présente le 4 pour 100; le taux est donc de 4 pour 100 exactement.

Exemple LII. — Déterminer à quel taux une annuité de

1 760''", à continuer pendant 3 1 a/15, serait achetée au prix de

logû = loga— logV.

loga = log 1760 = 3,24551

logV = log268oo = 4,42813 loga = 8,81738

Ce logarithme ne se trouve pas dans la colonne de 3i ans; mais il est compris entre 5| et 5 { pour 100.

En effet, nous trouvons dans les Tables, au nombre 3i pour les années:

A 5 7 pour 100 8, 81 338

A 5 j pour Too 8,81963

Différence pour | 625

La différence entre le logarithme calculé et le logarithme qui correspond à 5 ^ est égale à 4oo; le taux est donc

5 Tj -4- ^ — • n = 5,2o5 pour 100.

Exemple LUI. — Une annuité de 2'jSq^^ sera rachetée en a2 ans par un capital de 38 203'*^, 80; quel est le taux?

log 2750 = 3,43933 logV = 4,58jiii

logfl = 8,85722

Ce logarillime, pour 22 ans» est compris entre 4| ^t 4^ pour 100. Dans les Tables, nous trouvons, pour 22 ans :

A 4 J pour 100 8,85553

A 4 ï pour 100 8 ,86061

Différence pour J 5o8

La clifTérence entre le logarithme calculé et le logarithme (le 41 pour 100 est 1C9; par conséquent le taux est égal à

KxEMPî.E LIV. — On donne 76000^' pour 49 annuités de 38()(/^; quel est le taux?

Iog38oo = 3,57978lo}>;V = 4,88081

log/7-^ 8,69897

Le taux est compris entre 4f et [\\ pour 100; car nous trouvons dans la Table pour 49 ans :

A 4 J- pour 100 8,69782

A 4 i pour 1 00 8 , 7066 1

Différence pour { 879

Mais la différence entre le logarithme calculé et le logarithme de4 f pour 100 est 1 15; le taux est donc

4g^-gr--g==4^39i2 pour 100.

§ XXXL

Il serait inutile de recourir h l'interpolation du second degré au moyen de la formule de la page 39; car, comme les Tables présentent les logarithmes dos annuités pour des taux qui ne différent entré eux que de J pour 100, le taux obtenu par l'interpolation simple est toujours ou parfaitement exact ou tro- grandà'yxwc quantité excessivement faible.

Celle erreur est d'aulant moindre que Je nombre des annuités est lui-même plus petit, et elle augmente d'une manière imperceptible à mesure que le taux diminue. Dans tous les exemples précédents, la différence entre le taux vrai et le taux donné par le calcul présente une erreur moindre que TôôVôVïTïïoô- Nous trouverons d'ailleurs (§ XXXIV) une formule, au moyen de laquelle le taux trai peut être évalué avec la plus complète exactitude.