XXXII

Toutes les fois que le nombre d'années ou le taux est suffisamment élevé, on peut obtenir une formule très-simple qui donne la valeur du taux avec une grande précision. Quand (i -+- 1)" est infini, l'équation (8)

qu'on peut transformer ainsi :

oc oc , .X oc ce

[U'virnI

et, généralement, le taux est toujours plus petit que le rapport entre le revenu annuel et la valeur actuelle de l'annuité, et la différence entre cera|)portet le taux est d'autant moindre que (r -H- /)" est plus grand. Si nous remplaçons dans Téquation

ci-dessus (i -f-/) par (i+ ~ )» le résultat sera une valeur très-

«pprocbée du taux réel, si (i -h t)" est très-grand.

Exemple LV. — La valeur actuelle de 1 20 annuités de 3 1 700*^'

étant de 664 822''^,3o, quel est le taux?

logx = 4)5oio6 logV= 5,82271

lOg^rr: 8,67885 ~ = 0,04768; lOg ( I-H ^ ) = 0,02023

logf i-h^ j =2,42760 J^gv(*-*- v) =6>^5o75

par conséquent / = o,o475o ou 4 | pour loo (valeur vraie)

Exemple LVI.

quel est le taux ?

— 78 annuités de loo'*" valent igSS^'^So;

loga = 2

JogV = 3,29126

log^ = 8,70874

n ■= O,05fl4.

log f n-^ j =0,02166

iog^-4-^y= 1,6895

ÏOgv(ï-+-^) =7,019^^

v(>-»-v) =o,ooio5;

par conséquent, i = o,o5oo9, ^^ ^ P^^ P^^^ 5 pour 100 (le taux vrai est de 5 pour 100).

Exemple LVII. — Un bon de iSoooo'^, portant 3 pour loo d'intérêt par an et remboursable au moyen de 5o annuités^ vaut 565oo''; quel est le taux d'intérêt, si la rente annuelle et le taux d'intérêt ne sont payables qu une fois par an?

Pour résoudre cette question, évaluons d'abord le revenu annuel qui amortit iSoooo^'' en 5o ans» à 3 pour loo. Nous avons

logiSoooo B 5; 17609 log« = 8,58956

loga — 3,76565 a = 5829'% 80.

Le problème est donc ainsi ramené au suivant : A quel taux 5o annuités de SSag^'^.So valent-elles 565oo^''?

loga — 3,76565 logV = 4,75ao5

Jogy = 9»oi36o V ^ Oïïo3i8; logf i-h * j =o,o4a65

log|^iH-^j

M-Hyj =0,00076;

/ = 0,10242 (le taux vrai est égal à 10,24 pour loo].

§ XXXIII. — Formule de Baily,

Quand le nombre des années est peu considérable, la formule de Baily présente le taux avec une grande exactitude.

De Inéquation (8j

nous déduisons

jC^-î'+O-J

Si nous développons, au moyen du théorème du binôme, la quantité (i -+- /)"", en une suite de termes ordonnés suivant les puissances croissantes de t, nous aurons

Vt nin-\-i] rt(n -^ t)(n-^ -y]

I z=: i—nt-\ /» /'—...,

et, après le retranchement de l'unité et la division des deux nombres par (— nl)^

12 — = 1 rn = t\

' an 2 2.3

Comme t n'est généralement qu'une faible fraction de l'uniié, nous rejetons, comme n'ayant qu'une trës-faible valeur relative, tous les termes où / se trouve affecté des exposants

2, 3, Nous élevons les deux membres de celte dernière

équation a une puissance telle que le coefficient de / puisse devenir positif et égal à l'unité, ce qui se rencontre toujours quand l'exposant est égal au réciproque du coefficient de ^ mais d'un signe contraire.

En général, nous obtenons, d'après le théorème du binôme,

P — I -h a/ -i- bt\ ou en ne conservant que les deux premières puissances de /,

P" = I -h mat H i a'P H- mbf ;

par conséquent, si a ~ — >

bziz- LL^ et m = ;

l'équation (la) deviendra

n-f- 1 nn- 2\

ilonc

Si nous supposons ensuite

nous obtiendrons

De cette équation du second degré nous déduisons ( '

) Lorsque dans l'équation du second degré x-hax^zsq^ x est une fraction et //

Le taux que Ton trouve au moyen delà formule de Baîly est toujours trop grand; mais de i à 5o ans» et pour les taux ordinaires, Terreur est excessivement faible.

Pour donner une idée de la précision que présente cette remarquable formule, nous allons donner les résultats auxquels elle conduit quand le taux vrai est exactement de 1 1 et 5 pour loo:

Taux de Tintérét.

Annuité

Pour

3 ans

Si »

5oooo2

i,75ooi

5oooo6

i,75ooi

1 ,75oo3

5oo52i

Exemple LVIII. — Si Von achète au prix de 263439''', 10

UD nombre sufllisamment petit, la valeur de j: présente une très-faible dlflërence avec celle de q. Or nous avons, en toute rigueur,