H aq
et, en remplaçant x par cette valeur dans Fcquation (i), on a
ou 4r = y LL,
q ' {\-f-laq)
i -\-aq
En remplaçant x par r et a par [ J7 on obtient
une annuité de 29000''' d'une durée de 1 1 ans, quel est le taux du prix d* achat?
loga = 4,46240
log«= 1, 04139 CMogV = 4,5793a
log:^ = o,o83ii
ilogY = 0,01 385
]og7 = 5 1068
logii,6759 = 06729
Clogii,35i8 = 94493
log/ = 52290
/ = 3,333 = 3|pour 100.
§ XXXIV. — FORMULB CORRBCTIVE.
Nous allons maintenant donner une formule au moyen de laquelle on peut toujours calculer le taux avec une extrême précision.
De la formule (8),
on déduit
Appelons t le taux vrai» t une valeur approchée de / et a:
la différence entre les taux vrai et approché, de telle sorte
-Saque / = T4-a;elrou i -i- t = p -t- a;: on obtient
- (74-0:)=: I — p-"-4- /ixp- ("-»■'), a ^
Vr \jc
ar/ip-(*-*-'^ — I p-",
np-(-+') r=i--:-p-, a J ^
-- — np-î"-^') a
Exemple LIX. — Quel est le taux d'intérêt de 3i annuités de 1760^^ au prix de 26800'*^ [voir exemple LU)?
Nous avons déjà trouvé une valeur approchée de / = 5,2o5 pour 100; par couséquent»
« = 3i rj = 1 -f- T = I , o52o5 *
logo =1 o,022o3638o7o
logp^' =0,68312780170
log p-*' = 9 , 3 1 687a 1 9830
Vt
Vt
log/LO-'- =0,7861975 //p" = 6,112199
ou
9,ii5o74 / = o,o52o5 + jr = 0,06204891972;
le taux cherché est donc exactement
5,204891972 pour 100.
ExKMPLE LX. — La valeur actuelle de 49 annuités de 38oo^' est 76000'*^; quel est le taux [voir exemple LIV)?
Prenons la valeur approchée de /:
t = 4»39'^ pour 100;
alors
logp = o,oi86638899.2'>.
logp** = 0,91453060618
logp-« = 9,08546939382
Vt
lOg/7 = 1,6901961
logp" = 0,9331945
no-^^ = 5,714808,
OU
o , 00000088 1 I 6 ni-
par conséquent,
/ = 0,043912691706 (valeur vraie du lau\,.
§ XXXV. — Des rentes périodiques bn général.
Valeur actuelle d'annuités , payables annuellement , par semestre^ par trimestre^ etc., quand r intérêt est convertible annuellement f tous les six mois, tous les trois mois , etc. — Jusqu'ici nous n'avons considéré que les cas où l'annuité et l'intérêt se payent tous deux k la fin de l'année; nous allons considérer maintenant les renies périodiques en général, c'està-dire le cas où l'annuité et l'intérêt sont payables à diflerents termes qui ne coïncident pas entre eux, et à des intervalles de temps autres qu'une année entière. On sait qu'en général les rentes publiques et autres se payent par semestre, par trimestre' ou par mois.
Les calculs relatifs aux rentes payables à différentes époques de l'année sont plus longs et plus minutieux que ceux qui concernent les annuités payables annuellement; en outre, les Tables numériques que l'on a publiées exigent de si longs calculs, que les difficultés trop sérieuses naissant de leur emploi ont obligé ceux qui s'en servaient à restreindre leurs calculs à des années entières, ce qui fournit un résultat plus ou moins inexact; tandis qu'avec nos Tables de logarithmes ces calculs deviennent très-simples dans la plupart des cas pratiques. C'est surtout par rapport à de telles questions que les avantages des Tables logarithmiques sur les Tables numériques doivent être appréciés comme ils le méritent.
§ XXXVI. — Formule générale.
Examinons d'abord le cas le plus général, et déterminons la valeur actuelle d'une annuité de a'' payable k fois dans
l'année, chaque payement étant j de l'annuité annuelle et
l'intérêt étant convertible en capital à v intervalles égaux. Soient donc
/ le taux nominal de l'intérêt, convertible v fois par an;
a la rente annuelle pour n années» payable par portions
égales à k intervalles égaux; V la valeur actuelle de l'annuité;
p = i'' augmenté de son intérêt pendant r d'année, c'est-àdire pendant Tintervalle qui sépare deux pavements consécutifs de la rente.
Nous aurons :
Taux nominal.
Taux vrai de l*inlérêt, convertible à chaque - d^iinnée. - Montant de i^*' au bout de - d'année i -t- -
Montant de i'*" au bout d'une année entière ( *'^"")
Montant de i^"* à la fin de -d'année, période qui sépare
ni
daux payements successifs de Tannuité p = /i-f.-j
Par conséquent, la valeur actuelle de l'annuité, ou de nk payements de (?) \ sera égale k
Soient, en effet,
r I I I II I
en retranchant la première équation de la seconde, on a
et, par conséquent, *
En remplaçant p par sa valeur (> -^- -) « on oblient la formule suivante :
