XXXVII
Avant (l'envisager cette formule sous un point de vue général, examinons d'abord le cas particulier où l'annuité se l^^ye par semestre 9 tandis que l'intérêt est convertible annuellement.
Dans ce cas, nous avons
et la formule (i3) devient
Mais nous avons déjà trouvé que la valeur actuelle de n annuités de ol^^ est exprimée par la formule
par conséquent, en exprimant par p^ le rapport de deux annuités, dont la première est payable par semestre et la seconde annuellement, le nombre d'années et Tintérét éiant les mêmes, on obtient
Réciproquement, a étant l'annuité payable annuellement^
par laquelle on peut amortir le capital V, et a' Tannuité payable par semestre par laquelle on peut amortir le même capital y, nous avons
donc
et enfin
V = ~.-= ei V = -(i-r-);
2 yr — I *
Mais (vr — i) est l'intérêt composé de i'*" pour 6 mois, et
- est l'intérêt simple de i'** pour le même temps. Nous avons
donc cette remarquable loi générale» établie comme il suit : Le rapport entre les valeurs actuelles de deux annuités, dont lune est payable par semestre et l'autre annuellement, est invariable, quel que soit le nombre des annuités, et égal au rapport entre l'intérêt simple pour 6 mois et l'inlérêt composé pour le même espace de temps :
yjr — I r — I
^^'=y^^^-.=^z^^- = h{^-^yl~r)n.
Réciproquement, le rapport entre deux annuités cl' et a, par lesquelles on peut amortir le même capital, dont l'une est payable par semestre et l'autre annuellement^ est constant, quel que soit le nombre des années, et égal à l'inverse du rapport ci-dessus , c'est-à-dire au rapport entre l'intérêt composé pour 6 mois et l'intérêt simple pour le même espace de temps.
Ainsi, par exemple, l'intérêt annuel étant de 5 pour loo,
(*) (Table G3.) P, présente le Jogurithmc de ce rapport pour 5i taux diflercnts. U
nous avons pour 6 mois :
Intérêt simple - = o ,o25
Intérêt composé v^— i = 0,024695076596
et, par conséquent,
1,0123475333, lOg— = =: 0,0053296.
C'est par ce nombre qu'il faut multiplier la valeur actuelle d'une annuité pour obtenir la valeur actuelle de la même annuité, payable par moitié et par semestre. Ainsi la valeur actuelle d'une annuité de i^'* par an, payable annuellement pendant 2S ans, à 5 pour 100, est, d*aprës les Tables, égale à i4»o93944^(>^; Id valeur actuelle de la même annuité payable par semestre, l'intérêt restant le même, sera donc
Enfin c'est par le même nombre qu'il faut diviser l'annuité a payable annuellement, par laquelle on amortit le capital V, pour obtenir l'annuité a' payable par semestre et par moitié, par laquelle on amortit le même capital Y.
/- «'= «. >l!^=:^. (Ex. LXII et LXIII.)
Exemple LXI. — Quelle est la valeur actuelle de 29 annuités de 444^'*^ payables par moitié et par semestre, l'intérêt étant de 5 pour 1 00 par an?
V=: a.o.Pa, logV:=i loga ^- log(p -f- logP,.
loga= 3,6Î7383o
log^ = 1 ,1801567
(Tab. G3) logP, = 0,0053296
logV= 4,8J'28693 V= 68o56'',45 (valeur cherchée).
Exemple LXII.— Quelle est V annuité ^ payable par semestre ^ capable d'amortir un capital de 6500 000^*^ à ^ pour loo, en t\\ ans?
65ooooo = V . Pj = a. 9 . Pi,
d'où
65ooooo 65oooo . a
log65ooooo = 6,8129134
loga=r 5,5696791 a = 37 1260''", 80.
Exemple LXIII. — On demande de convertir en une rente semestrielle une rente annuelle de 5600*^^, payable durant un nombre quelconque d'années; combien faut-il payer, r intérêt étant de 5 pour 100?
a.ç.P, = 56oo.(p,
d'où
a = — T— el loga = Iog56oo — logPj.
log56oo— 3,74819 — logP, =— o,oo533
oga— 3,74286 a = 5531^75.
§ XXXVIII. — L'annuité et l'intérêt sont payables
