EN MÊME TEMPS

Quand Tannuité et rintérét sont payables en même temps V fois par an, la formule générale devient

Suivant que V et A: sont tous deux égaux à 1, 2, 4* i^r • • •*

c'esl-à-dire suivant que rinlérét et Tannuité .^ont tous deux payables annuellement, par semestre» par trimestre ou par mois, nous avons

Si. dans la formule (8) (§XVI).V = 7 [1 - (1 + «)-"]. l'annuilé, au lieu d*étre égale à a^% est de l-j et le taux annuel de -9 la valeur actuelle devient, dans le cas de v/i annuités,

Par conséquent , quand l'annuité est payable en même temps que Tintérét, la valeur actuelle de Tannuité de a^*^

payable V fois dans un an, chaque payement étant - de Tan-

nuilé annuelle, est, d*une manière générale, égale à la valeur

actuelle de vn annuités de ( - ] 9 le taux d*intérêt étant - du

premier.

Celte propriété est d'une grande utilité, dans la plupart des cas, pour trouver direclemenl, dans les Tables dressées pour le calcul de la valeur actuelle d'annuités payables annuellement, la valeur d'une rente semestrielle ou trimestrielle.

Exemple LXIV. —• Quelle est la valeur actuelle de 3o annuités de 40000'', le taux d'intérêt étant de 6 pour 100, r annuité et l'intérêt étant payables tous les mois?

- 9' - La formule générale devient

log II H I = logi,oo5 = Oy002 166061 8.

log 1 ,005"^ = 0,779782a

log I ,oo5~'** s= 9,51202178

i,oo5"***= 0,1660420

I — I ,oo5-*'^' = 0,8339580

log(i — I ,oo5~***) = 9,9211443

log 40000 -: 4) 6020600

C'iogr = 1,2218487

logV = 5,7450629

Valeur acluelle cherchée : V = 555971^'*, 90.

Nous trouverions de la même manière, par exemple, que la valeur actuelle de ^5 annuités de i'** payables annuellement, au taux de 4 pour 100, est égale à 1 5^% 62208.

Quand Tannuilé et Tinlérèt sont payables par semestre, la valeur actuelle de l'annuité est égale à la valeur actuelle de 5o annuités de | franc, au taux de 2 pour 100 par an :

Si Tannuité et Tintérét sont payables par trimestre , la valeur actuelle de l'annuité est égale à celle de 100 annuités de j franc, au taux de i pour 100 par an :

Enfin, si Tannuité et Tintérél sont payables tous les mois, la valeur actuelle de l'annuité est égale à celle de 3oo annuités Y2 franc, au taux de { pour 100 par an :

On peut voir, par la simple lecture des formules contenues dans celte section, que la valeur actuelle d'une annuité augmente avec le nombre des payements annuels; ainsi nous

-gravons trouvé

Vr-T 1 5, 67.208,

Vi = i5y7ii8o, V4 =- 15,^5722, V„ = i5, 78771,

La valeur actuelle de Tannuité serait également plus grande, si les payements avaient lieu chaque jour» etc., et ces valeurs, augmentant ainsi, approchent de plus en plus d'une limite extrême, qui est la valeur actuelle de Tannuité, quand les payements ont lieu à des intervalles de temps infiniment petits. C'est cette limite que nous allons maintenant déterminer.

Si V est infini, Texpressionf 1 + -] devienlégaleàcSe étant

la hase des logarithmes hyperboliques, et la formule (f4) devient

Ainsi, si nous avions à trouver la valeur actuelle d'une annuité de i'^ pour ^5 ans, au taux de 4 pour 100, quand l'annuité et l'intérêt sont tous deux payables d'une manière continue, c'est-a-dire à des intervalles infiniment petits et par portions égales proportionnelles au temps, nous aurions

et, par conséquent,

V = irT7fï — ^j = '5^8o3oi39707,

limite extrême de la valeur actuelle de l'annuité [voir le Tahleau de la p. loo).

Si l'annuité est perpétuelle, toutes les formules exprimant la valeur actuelle de l'annuité sont identiques :

par conséquent, la valeur actuelle d'un nombre infini d'annuités payables annuellement, par semestre, par trimestre, ou à des intervalles de temps quelconques, demeure invariable, pourvu que l'annuité et l'intérêt soient payés en même temps.

Comme li-h-j^^li-ht-^jj est toujours plus grand

que (i + /), la valeur actuelle d'une annuité, quand l'intérêt et l'annuité sont payables par semestre, est toujours plus grande que la valeur actuelle de la même annuité, lorsque l'annuité et l'intérêt sont payables annuellement.

Pour la même raison, l'annuité a', payable par semestre ainsi que l'intérêt capable d'amortir un capital V, est toujours plus petite que l'annuité a, payable annuellement en même temps que l'intérêt et capable d'amortir le même capital y dans le même nombre d'années.

Soient, par exemple, l'annuité a payable annuellement, par laquelle on amortit en 25 ans un capital de 200000'', au taux de 5 pour 100, convertible annuellement, et l'annuité a' payable par semestre, par laquelle on amortit dans le même temps le même capital, au taux de 5 pour 100, convertible par semestre; on a

5!0«)ooo a' 200000 a = el — = •

log 200000 = 5,3oio3oo C*log?{«) = 8,8509674

loga = 4,i5i9974

log 200000 = 5,3oio3oo C' log?-so) = 8,547^584

log - = 3,8482884

a'= i4io3,22.

Or la différence entre deux valeurs actuelles correspondantes varie, pour le même taux, avec le nombre des années ; d'abord elle augmente de zéro (quand n=o) jusqu'à une certaine valeur de n, pour laquelle la diflerenec estmaxîmiun; ensuite elle décroit à mesure que n augmente, jusqu'à ce qu'enfin, n devenant infini, elle s'annule entièrement.

Ainsi, si nous comparons les valeurs actuelles des annuités de l'S au taux de 4 pour loo, en établissant que l'annuité et l'intérêt sont tous deux payables, soit annuellement , soit par semestre, nous trouvons :

AXKL'ITÉ ET iRTËRÊT PAYABLES

A^i.XÉBS.