XLIX
En vertu de TActe 4? (Geo, III, c. 55, 1807), il fut prescrit de payer aunueliement 10 pour 100 sur la somme empruntée^ pour l'intérêt et le rachat du capital des futurs emprunts.
Exemple LXXXV. — Un emprunt est effectué^ pour le service de rÉtatf au 3 pour loo évalué qS^'S et un fonds égal à lo pour loo de la somme empruntée est établi pour l'intérêt et le rachat du capital; dans combien d'années cet emprunt sera-t-il amorti au cours moyen de gS j^î
Iog- = 0,16481
logr= 0,0067684 log*- = 9,111699 CllogV= 1,1695a
CtlOg2=:r 9,69897
log/j = 1,08548 n = ia""*,i75.
Exemple LXXXVL — Dans combien d'années un emprunt au 5 pour 100, contracté et émis au prix de 130'*', sera-t-il racheté par un fonds de i opour 1 00 de la somme empruntée?
a = 12, k = Sf ^ = 7, c = i2o, r^i:^^»
log- = o,a34o8 logr= 0,0089548
CtlOgV^r 2,04794 CtlOg2 = 9,69897
Iog/7 = i,ii6a8 n= i3"",07.
Exemple LXXXVII. — On demande de cons^ertir S^ 000^^ de rente 3 j pour 100 en une rente 3 pour 1 00 ^ à la condition de laisser pour V amortissement la différence de V intérêt et à* y ajouter 20 oocf *^pcw an; en outre, on suppose le prix d'achat
de 96*^'; combien d'années faudra-t-il pour amortir la dette?
Intérêl réduil ^^- 72000, s = 1 2000 -+- 20000 = 32000,
log- = o,5ii88 logr= 0,0067334 log*^ = 9,70917 CtlogV= 2,17177
Ctl0g-2 = 9*69879
log/i= 1,57991 71 = 38"", on.
Exemple LXXXVIII. — Si l'Etat contracte un emprunt donnant i j 2 000*^' de rentes 3 {- pour 1 00 et établit un fonds d'amortissement de 88 000'** par an, à quel prix/audra-t-il racheter cet emprunt pour V amortir en 2d ans?
a = 200000, ^ = 88000, - r= — , A" = 34, rirri-f-^
d'où
log- = 0,35654732
logr = 0,00713095 r— I ,oi6555i5
log 3.] ==0,54407 Cllog2 = 9,69897 Ctlog/ = 0,78107
loge = 2,02411 c = io5'''*,7i
Par conséquent, le taux est égal à i^ 6555i5 pour 100 par semestre^ c'est-à-dire 3^3iio3 par an, et le prix cherché estde loS*"*, 71.
Exemple LXXXIX. — On emprunte 8000000'** en rentes [\\ pour 100 au pair, ce qui donnera 36oooo'*' par an. A quel prix moyen pewent-elles être rachetées en 11 ans, en ajoutant 2l\ooo€f^^pour l'amortissement, c est-à-dire en payant annuellement 600 ooo"**?
logii,5 = 0,39794
logr= 0,00947476 r =~- ij 0220662
Le taux semestriel est donc de 2, 20662 ou l\,^ii2^ pour 100 par an^ et
legs, 25 = 0,3521825
loge = 2,oo865i8
prix moyen auquel cet emprunt doit être racheté pour être amorti en 21 ans.
Si rintérét et Tannuité étaient payables annuellement, nous aurions
r"r=r2,5, Iogr= 0,0189495, r=r, 0445988;
le taux annuel serait égal à 4)4^9^8 pour 100, et le prix de 100'^*, 900.
§ L. — Obligations ou bons remboursables au moyen du tirage au sort.
La méthode consistant à racheter des emprunts par des payements annuels joue un rôle très-important dans nos grandes transactions industrielles, où les fortunes particulières sont employées à former ces fonds considérables^ nécessaires aux grandes Compagnies.
Ainsi^ dans la plupart des États du continent (*) et en
(*) En France seulement, les obligations émises s'élèvent h plus de iSooooooo^**.
Amérique^ les villes et les Compagnies des canaux, des mines et des chemins de fer, dont les concessions sont limitées, contractent de lourds emprunts remboursables par annuités constantes.
Afin de pouvoir réunir les moindres épargnes des particuliers, les Compagnies ont émis des bons spéciaux appelés obligations^ dont chacune représente une trës-faible fraction de l'emprunt contracté, :ko ou 5o^*^ dans le plus grand nombre des cas. Ces obligations, dont la plupart sont émises au-dessous du pair (les obligations de ao'^^k ii^** en moyenne), les Compagnies sont obligées de les rembourser par un certain nombre d'annuités, Tannée de l'expiration de la concession de la Compagnie étant le terme au delà duquel ne peut être fixé le dernier remboursement.
Comme les fonds publics, les obligations produisent un intérêt semestriel et sont transférables à la Bourse.
Le remboursement par annuités constantes difi^re essentiellement du remboursement par obligations, où le fonds d'amortissement joue un rôle tout k fait différent.
Les Compagnies versent chaque année une somme constante ou à peu près constante, composée de deux payements semestriels, inégaux et variables. Le taux d'intérêt est toujours semestriel^ et l'intérêt se paye par semestre.
Le rachat graduel de presque tous les emprunts contractés par obligations n'a lieu qu'une fois par an. V amortissement^ c'est-k-dire le surplus de l'annuité constante sur l'intérêt total pour l'année, n'est pas réparti entre toutes les obligations, mais sert seulement k éteindre un certain nombre d'obligations désignées par le sort.
Il suit de la que l'annuité constante comprend deux payements semestriels, dont le premier ne comprend que l'intérêt pour le premier semestre, tandis que le second renferme, outre l'intérêt du second semestre, le surplus de l'annuité au moyen duquel la somme empruntée est graduellement éteinte. De cette manière, le capital diminuant d'année en année, il est évident que les premiers payements semestriels vont toujours
en diminuant, et que le nombre d'obligations à rembourser à la fin de Tannée va en augmentant.
II reste maintenant à résoudre deux questions :
1® Quelle est la somme payable chaque année?
a® Quelle est la valeur actuelle d'une obligation ^ à un taux différent de son taux nominal?
Nous avons d'abord à déterminer la somme annuelle a payer pour un emprunt de V*^ pendant n années.
Soient t le taux annuel, payable par semestre, a: l'annuité, c'est-à-dire la somme des deux payements semestriels de la même année, capable d'amortir i'^' dans n années.
Le capital restant est :
A la fin de la première année r — jc,
« deuxième
w troisième » r* (r* — i),
quatrième * /** (''*■— ' )•
Enfin, au bout de la /i'^'"* année, le capital restant sera
et, comme à cette époque l'emprunt doit être entièrement éteint, nous aurons
r* (/*— i} = o ou r"= y (/•"— i),
d'où Ton tire
ou X ^= = — •;
telle est l'annuité à payer pour un capital de i^'; et, par conséquent, la somme annuelle à payer pour un capital de V'*^ est
yt
Mais c'est exactement la même annuité payable pourY^*^, lorsque le taux d'intérêt et tous les payements sont annuels; par conséquent^ l'annuité payable pendant n années pour amortir i''^ au taux annuel t est égale à l'annuité payée au taux
semestriel -> lorsque l'intérêt est payable par semestre et l'amortissement payable une fois par an seulement.
Par exemple^ pour un capital de 100000^*^ remboursable en 16 ans, on paye chaque année :
i"^ 858:2^^ au taux annuel de 4 pour 100^ l'annuité étant payable à la fin de chaque année;
:2® 8522'', Ï22 payables par semestre ou 426i''^,o6i chaque semestre, au taux de 2 pour 100 par semestre;
3° 8582^' au taux de 2 pour 100 par semestre, quand l'intérêt est payable par semestre et l'amortissement payable annuellement.
Exemple XC. — Combien faut-il payer pour un emprunt de 600 000^^ pour 6 ans, au taux de i \pour 100 par semestre, si r intérêt est payable par semestre et F amortissement payable une fois par an seulement?
log 600000 = 5,778i5i3 logrt = g,îi662îi58
loga = 5,0443771
Le tableau suivant montre l'exactitude du résultat :
