SECOND PAYEMENT
AXXËE.
au commeDcement
de
de l'année.
l'année.
Amortissement.
Total.
io3i49,90
Voici la seconde question :
Une somme donnée étant convertie en une annuité constante avec un intérêt semestriel et un amortissement annuel, on demande la valeur actuelle de cette annuité à un taux quelconque payable par semestre.
Soient
y le capital converti en annuités;
-l'intérêt semestriel de i^*";
0c l'annuité;
5 = a — V/= — ramortissement, ou le surplus de l'annuité
sur l'intérêt annuel; C la valeur actuelle de cette annuité au taux semestriel ?.
Les payements successifs sont:
Première année, premier payement.
Deuxième
Troisième
lème
Première année, deuxième payement
Deuxième
Troisième
lème
s) rs) r\t) r'-'s)
^) rs)
La valeur actuelle de l'annuité est égale à la somme des valeurs actuelles de ces divers payements.
Or les valeurs actuelles de chacun des premiers payements de chaque année sont
(rz— «)p-%
-\^x-~rsjp , ..., -l^j — I sp
De même les valeurs actuelles de chacun des seconds payements sont
i(a4-5)p-% l(cc'^rs)p-', -[(X'hr^s)p-'* -{a-f-r"->5)p-'*.
En faisant la somme de ces diverses valeurs actuelles, on obtient
Le premier terme du second membre est égal à
ar \ p'7
Nous allons simplifier les deux autres. Soit j leur somme; on obtient
Appelons
En multipliant par /!>^ et en divisant par r, on obtient
et, en retranchant la première équation de la seconde ,
— L ^ ou X [- 1= T— =^ r— »
d'où
^""p^"lp^ — /-j "" .p' — r '
par conséquent,
ou, en remplaçant s par sa valeur — •
telle est la valeur cherchée de Tannuité.
Le premier terme fractionnaire de cette équation représente la valeur actuelle de Tannuité au taux donné» l'annuité étant supposée payable par semestre.
{p^ — r) exprime la difïérence entre le montant de i^'dans I an au taux semestriel t et le montant de l'^àla fin d'une année au taux annuel /. (Nous présentons dans le tableau suivant les logarithmes de (/>* — r) pour /= 3 pour loo et pour toutes les valeurs de p, depuis i -J- pour loo jusqu'au 4 pour loo :
TAUX
TAUX
TAUX
semestriel
log(/>'-/).
semestriel
\oQ{p*-r).
semestriel
log(|t)«— r).
(/■"" — /5~^") représente la différence entre la valeur actuelle de 1^'* payable dans n années au taux annuel t et la valeur actuelle de 1'' payable dans n années au taux semestriel t.
La différence r"" ~ p-"^" varie avec le nombre des années. D'abord nulle quand n = o, elle augmente jusqu'à ce qu'elle s'élève au maximum donné par l'équation
2 logp — logr'
enfin
logi 4- lop'p — log*r
2 logp — logr
Elle diminue ensuite continuellement jusqu'à ti ~ x) , où elle redevient nulle. Pour t= 'i pour loo et 2t = 5^,
Eo représentant parK la valeur actuelle de tous les amortissements, c'est-à-dire des payements qui constituent V, on peut remplacer la formule (i5) par la suivante:
En effet
L = -• Ofx)
Les divers payements pour l'amortissement du capital sont
M«l pM — 1 f*H — 2 p
La somme de leurs valeurs actuelles au taux semestriel p sera par conséquent
