V. ^'] > nous obtenons, pour la même valeur de n, l'égalité

Ainsi» pour ce nombre n d'années» trouvé par l'équation de la page 96, la valeur par années entières est égale à la valeur par semestres; de même, pour un nombre d'années moindre, la valeur par années entières est moindre que la valeur par semestres» et» pour un nombre d'années plus considérable» elle est toujours plus grande que la valeur par semestres.

Par exemple» si nous cherchons la valeur actuelle» au taux semestriel de 5^ pour 100» de l'annuité payée pour un capital de looooo'S placé à 3 pour 100» payables par semestre» au moyen du tableau donné (p. 97)» on voit que» pour ces deux taux d'intérêt, les rapports entre les payements annuels et semestriels sont égaux pour un nombre d'années égal» a peu près» à 39; il importe donc peu» pour ce nombre d'années» de calculer par années ou par semestres.

Mais» pour un nombre d'années inférieur k 39» les payements annuels sont moindres et plus approchés que les payements semestriels; il en est de même» à leur tour» des payements semestriels pour un nombre d'années supérieur à 39.

Afin d'apprécier le degré d'approximation entre la valeur vraie d'une annuité et les deux valeurs approchées que l'on obtient en supposant tous les payements annuels ou semestriels» j'ai présenté le tableau suivant où sont données» pour différentes années» les trois valeurs, au taux de 5 1 pour 100» payables par semestres» d'un capital nominal de 1 00 coo*^^ placé au taux de 3 pour 100» payables par semestres.

ANNÉES

▼raie.

YALEIia

par année.

74i5o,io

par semeslre.

Exemple XCIII. — Une Compagnie émet 14271 obligations de 5oo''^ rapportant 5 pour 100 d'intérêt, et remboursables au moyen de 1 5 annuités. Quelle somme la Compagnie doit-elle verser chaque année , et quel est le nombre d'obligations remboursables chaque année? (Chemin de fer de Cordoue à Séville.)

log 14271 = 4,1544544

log 5oo = 2 , 6989700

loga = 8,9838170

loga= 5,8372414 a = 687450^'" (annuité à payer).

Pour régler les comptes relatifs au payement de l'intérêt et. au remboursement successif de l'emprunt, nous avons:

Annuité moyenne 687450

Intérêt de 14271 obligations 356775

Pour ramortissement. . > 330675

Cette somme correspond à 661, 35o obligations de Soo'^, et, comme le nombre des obligations à rembourser doit être

UQ nombre entier, 66i seulement seront remboursées; ce qui réduit à i36io le nombre des obligations dues.

La Compagnie aura donc à payer, à la fin de la première année :

Pour l'intérêt du premier semestre... 178387,60

» du deuxième » ... 178387,50

Pour le rachat de 661 obligations 33o5oo

Total 687275

A la fin de la seconde année :

Annuité moyenne 687450

Intérêt de i36io obligations 34o25o

Somme laissée pour Tamortissement. . . 347200

Cette somme correspond à 694» 4 obligations; il faudra donc rembourser 694 obligations, ce qui abaisse leur nombre à 12916, et la Compagnie devra verser pour la seconde année :

Pour rintérèt de i36io obligations 34o25o

Pour le rachat de 694 obligations 347000

Total 687250

A la fin de la troisième année :

Annuité moyenne 687450

Intérêt de 129 16 obligations 322900

Somme laissée pour l'amortissement . . . 36455o

Cette somme correspond à 729,10 obligations; la Compagnie aura donc à racheter 729 obligations, ce qui réduit leur nombre à 12187; la somme à payer a la fin de la troisième année sera :

Pour rintérèt de 129 16 obligations 322900

Pour le rachat de 729 obligations 3645oo

Total 687400

A la fin de la quatrième année :

Annuité moyenne 687450

Intérêt de 12187 obligations 304675

Somme laissée pour ramortissement . . . 382775

Cette somme correspond à 765,55 obligations; la Compagnie aura donc à rembourser 766 obligations, et à payer :

Pour rintérèt de 121 87 obligations 304676

Pour le rachat de 766 383ooo

ToUl C87675

et ainsi de suite. L'ensemble du calcul est présenté dans le tableau suivant :

ASXÉES.

NOUBRE D ODLIGATfO!(8

dues.

i3Gio

i3io

remboortéeâ

à la fia de l'année.

ii3i

i3io

Inlérôt.

ASXUITÉS.

Amortissement,

33o5oo 3^7000 364 5oo 383ooo 402000 422000 443000 4655oo 488500 5 I 3ooo 538 5oo 5655oo 594000 623500 655ooo

Total.

On peut remarquer, d'après le précédent tableau, que l'annuité sera toujours un peu plus grande ou un peu plus petite que l'annuité moyenne.

Dans le § XXII, nous avons mentionné ce fait remarquable que les sommes payées pour l'amortissement forment une progression géométrique; on peut l'appliquer également à l'amortissement des obligations; par conséquent, dans l'exemple précédent , le nombre d'obligations rembour-

sables cLaque année est à peu de chose près [*) un des termes d'une progression géométrique semblable à la progression d'un capital de i'^ placé au même taux d'intérêt.

Exemple XCIII. — Une Compagnie émet looooo obligations de 5oo^^' produisant un intérêt de 1 5^^ par an, payable par semestre, et remboursables en go ans. Combien cette Compagnie doit-elle verser à la fin de chaque année pour l'intérêt et l'amortissementy et quel est le nombre d'obligations remboursables à la fin de la première et de la quarante-quatrième année? (Chemins de fer autrichiens.)

a = — :=^ Va.

logV = 716989700 (Tab.15) log« = 8, 5086046

loga = 6,2075746 a = l6I2778'^

Par conséquent, la Compagnie doit payer chaque année 1612778''", c'est-à-dire i 5ooooo'^ pour l'intérêt et 1 12778'* pour l'amortissement; l'amortissement à la fin de la première année est donc de 226 obligations.

loga = 3,5o86o

Ctlogr»= 8,84465

logr'* = o, 56484

Iog.r = 2,91809 jc = 828 , 12 obligations.

L'amortissement a la fin de la quarante-quatrième année est donc de 828 obligations.

Exemple XCIY. — Quel est le taux moyen de l'intérêt d'une

(^*) J'ai dit à peu de chose près; car, en rachetant les obligations par nombres entiers, les fractions d'obligations supprimées, s'accumulant d'année en année, peu- Tcnt produire à la fin une difl*érence d'une obligation.

obligation émise à 400'*^, produisant un intérêt de ao'*" par an. et remboursable en 99 ans, si la Compagnie la rachète à Soo''' ? (Chemins de fer Ouest de la Suisse.)

Soient a l'annuité eto? le nombre d'obligations émises. La Compagnie rachetant les obligations à 5oo''' et donnant 20^^^ d'intérêt par an» ou 4 pour 100, la valeur actuelle de Tannuilé à fournir par la Compagnie s'exprime par la formule

x.5oo = jn — ^J = a.9(„,o•

Maisles obligations sont émises à 400^^^; la Compagnie» au lieu de recevoir 07. 5oo, ne reçoit que â?.4oo. L'annuité a restant la même» le taux x est plus élevé que t. On a

ar X 400 = H I — ^j = a.9(M,T).

En divisant ces deux équations l'une par l'autre» on obtient

5oo __ 9^) ^ 400 9(,)'

d'où

T , 5oo Soo,a

ou a =7 = -7 •

log5oo = 2,69897

loga= 8,61110

Ctlog4oo= 7,39794

logrt'= 8,70801

Ce nombre est compris dans la Table entre 5 et 5|^ pour 100 :

5 pour 100 8,70245

Différence io34

La différence entre le nombre trouvé et celui qui correspond h 5 pour 100 est 556; le taux est donc égal a

lO.

— i48 — à peu près, ou

7 = 2,5336 pour loo, par semestre.

Pour obtenir une valeur plus exacte, on peut diviser

Toqualion (i5) par -; ce qui donne

'^=^ -r\^ —9 ; ~ Zr 1 — — »

aCi^ ^ ' 2C p' — r

cty en remplaçant dans cette équation t par la valeur approchée que nous venons de trouver, nous obtenons pour T = 0,0253 et p = i,o253

loga = I f 3 100664 Ct loiÇ"2 = 9,6989700

log(i — ?-*•) = 9, 99<>9o37 CtlogC = 7,3979400

log = 8,4o388oi 0,0253443

log-= 1,00904

lOgT' = 6,80624

log(/-«- ?-"•) = 8, 12995

CtlogC = 7,39794

Ctlog(p'-r)= 1,949^3

log = 5,29240

Le taux vrai de l'emprunt est donc 2,532.5 pour 100 par semestre, ou 5,o65 pour 100 par an, payables par semestre .

Exemple XCV. — Une Compagnie émet 100 000 obligations (le 5oo^^ produisant 3 pour 100 d'intérêt payables par semestre, et remboursables en 99 ans ; à quel prix doivent-elles être émises pour rapporter S \ pour 100, et combien restera- t-il d^obliga^ lions au commencement de la soixante-quinzième année? (Sud de la France.)

a. , . ar r"" — o-*"

1° looooo X ^ — -^ ( I — çr'-"] '- ; — ■

— i49 — mais

V iooooox5oo

On a doDC

loooooXSoo I, ,. ioooooXSooXt r-^^'—p^" looooox = • - I — p""") : • —

5oo I, .„, 5ooXt r-^—û"

logp-*- = 7,6671975

log = 9» 9979770 log 5oo = a , 6989700

(Tab. 15) Ctlog«j»(,,j = 8, 5010437

CtIoga = 9,6989700

CtlogT= 1,5606673

log = 2,4576280

logr-" = 8,72911 r~" = 0,053594 p-*" = 0,004647

log = 8,68972

1 5oo rt o «

log— -- = 0,89898

10gT= 8,43933

Ctlog(p'-/)= 1,58912 log = 9>6i7i5

a^ Soitj^ le nombre d'obligations restant a rembourser au commencement de la soixante-quinzième année; le capital restant est alors 5oo. j; d'autre part, il est égal à la valeur actuelle des annuités qui ne sont pas encore payées» c'est-à-

(lire de 99-^74 annuités; par conséquent,

^ a/ i\ loooooX 5oo X 9fu) 5oor=:j[<—^.) = «-9iuy= — 3U.

log 1 00000 = 5 Ctlog<p^„j = 8,5oio4 ^og7ias) = ï 1^4088

îog/= 4,7419* j^=» 55198,

obligations a rembourser au commencement de la soixantequinzième année.

Exemple XCVI. — Une Compagnie désire contracter un emprunt de 100 000 00 o'^' effectifs au taux de 5 pour 100, payables par semestres; elle émet à cet effet un certain nombre d'obligations de 1000'** rapportant un intérêt de 4o^' et rem-boursables e/i 35 ans au moyen de tirages au sort annuels , de manière quil reste chaque année^ pour les douze premiers nu-m^roSy des primas dont le montant s'élève à 180000''. Combien doit-elle émettre d'obligations^ et à quel prix?

Soient

X le nombre des obligations; K la valeur actuelle des 35 annuités de 1 80000'"^; S la valeur actuelle de 35 annuités pour l'intérêt et l'amortissement d'une seule obligation.

Nous avons

d'oîi

K = 180000. ---î- — = I — çr^] •

log 90000 = 4)954^425

{Tab. \i) log<P(,.) = 1,5171676

-Qa= - 53950

logK = 6,466oi5i

xS= 97075746

Calcul de S diaprés la formule (i5).

log 1000 = 3 (Tab. 23) logfl = 8,7289810 Ctlog2 = 9,6989700 (Tab. H) CtIogûr= 1,5171676

log = 2, 945 1186 88 if"", 2896.

log^= 1,42795

logT = 8,39794

log(r-"— p-*') =r 8,88002

Ctlog(p'-r) = 1,97367

log jS :

logS =

= 7»987iio8 = 2,9427559

logx — 5,0443549 X = 1 10752 ,8 (nombre d'obligations) .

, «Il 11- • .'IV 100000000

Le prix de chaque obligation est égal a r — ^•

log 1 00000000 = 8,0000000 logo; = 5,0443549

log = 2,9556451 902''', 9 n 25.

Le nombre des obligations est donc de 110753» et leur prix de 902'^9I{-.