LL
Dans le remboursement des obligations, l'annuité et par conséquent le taux d'intérêt pour un prix quelconque sont constants par rapport à la Compagnie qui a reçu un capital fixe pour un certain nombre d'annuités invariables.
Le cas serait le même pour l'obligataire, si le prix de l'obligation était au pair. Mais, comme les obligations sont toujours au-dessous du pair, l'obligataire reçoit, quand il est remboursé, une somme plus considérable que celle qu*il a versée; et, pour évaluer exactement le taux d'intérêt, il faut tenir compte de cette différence entre le prix et la somme remboursée.
Il est évident que l'intérêt d'une obligation est d'autant plus grand que le nombre des années est moindre.
Soient
V le capital à rembourser pour chaque obligation ; X le prix de l'obligation;
-son intérêt semestriel :
7 le taux semestriel vrai;
n Tannée à la un de laquelle l'obligation est remboursée.
Le prix de l'obligation étant égal à la valeur actuelle de 2n payements semestriels-» ajoutée à la valeur actuelle de la somme Y payable à la fin de n années, nous avons
a: == — (i — p-*») -4- Vû-»«,
d'où
et
A Taide de la formule (16) et de corrections successives, on peut trouver le taux d'intérêt; la formule (17) peut s'appliquer à l'époque à laquelle Tobligation doit être remboursée pour produire un intérêt donné.
EXEMPLE XCVII. — Des obligations de 5oo^^ , produisant un intérêt de i5^' et remboursables en 90 ans, sont émises à 275'''. Quel est le taux de l'intérêt à payer par la Compagnie, et quel est le taux de l'intérêt de l'obligation remboursable à la fin d'une année quelconque^
On a vu, page i36, que le taux d'une obligation a deux limites : une limite supérieure p et une limite inférieure -» c'est-
à-dire p > 2t> -• On a donc, en exprimant par x le nombre
d'obligations,
000 X a = ^ = 5ooX^Xa et C = 2n5X:r;
donc
a 5oo./z I i5
log5oo= 2,69897
log« = 8,5o86o
Ctlog275 = 7,56067
log g =8,76824 o,o58646
