ID
9 la valeur actuelle de n annuités de i^';
S la valeur actuelle d'une annuité pour n années, augmentant dans Tordre des nombres naturels, à savoir de i^' la première année, de 2^' la seconde, de S'*" la troisième, etc.
On aura alors
S= — I — iH — •-f-...H — -9 r t^ r* r*
tM
par conséquent
ou
'•iS - (p) ==-■+- ^ -f-. ..-+- -;:;:rr - s - -.
Nous avons d*ailleurs
(jp = -(i— r-") ou r-'' = ï — /cp;
par conséquent
(18) r(S— 9) =8-/1-4-/1^9, Cl S= f/i-+-^V9-y)
valeur actuelle d'une rente annuelle correspondant aux n premiers nombres naturels.
Mais
et, en remplaçant S par sa valeur,
/ , (i\ ml V=(a-4-/irf-f-- j'9 J-*
- i58 - Au lieu de cette formule» on peut employer la suivante :
S\ a ei d= jf on obtient alors
au lieu de la formule (i8).
Si Tannuité est décroissante, c'est-à-dire si l'on paye chaque année d^'^ de moins» il n'y a qu'a changer le signe de d.
Exemple XCVIII. — Quelle est la valeur actuelle^ à ^ ~ pour loo, d'une annuité croissante pour 9 ans? Elle est de i'*' la première année^ de 1^^ la deuxième^ de 3'' la troisième^ etc.
Ici t = 0,045, r= 1,045 et /i = 9; la formule (18) donne donc
log^igo = 2,4623980
Ctlog9 = 9,0457676
log<p = 0,8614621
log^î5?yç = 2,3696176 .
On pourrait résoudre ce problème à l'aide de la formule
On obtient alors
r I ,of5 200
logf/i-f- - j = i,5o8i55o Ctlogr- = 9^8079534
logS/ = 0,1875142 logf =8,6532125
logS= 1,5343017 S = 34,217 comme plus haut.
Exemple XCIX. — Trouver la valeur actuelle^ à [\\ pour 100^ d^une annuité croissante d'une durée de 9 ans, en supposant qu*elle est 1 800'*" la première année et qu^elle augmente de 1 00''' chaque année consécutive.
log443oo = 4,6460437
et log9 = 9,0457575
logip = 0,8614621
log= 4,5532633
Exemple C. — Chercher la valeur actuelle, à 3-^ pour 100, d'une rente décroissante à payer pendant 19 ans; elle est de 3330*^^ la première année^ de 2070*^^ la dernière et décroît en général de 'jo^^ par an.
Dans ce cas,
a = 333o, d=: — 70, 71=19 el r=J,o35;
nous avons doDC^ d'après la formule ([9),
V = 13>2<J^ = 38oooS
valeur cherchée. Nous pouvons noter ici que la valeur actuelle des 19 annuités est un nombre entier.
Exemple CI. — Cherchery d'après la Table de Northampton, la valeur actuelle d'une annuité viagère temporaire^ d'une durée de 19 ans^ constituée sur une seule tête âgée de 20 ans^ le taux étant de 5 pour 100.
D'après cette Table {\o\v Inwood, p. i45), sur ii65o enfants nouveau-nés, il y a, au commencement de la 20* année, 5 1 32 survivants, 5o6o à 21 ans, 49^5 à 22, et l'on compte 75 décès chaque année jusqu'à la fin de la 39^ année, où il y a encore 3710 individus âgés de 39 ans.
Par conséquent, si une Compagnie d'assurances sur la vie assure à 5i32 individus âgés de 20 ans une annuité viagère de i^'^ pendant 19 ans, elle doit payer, d'après les observations faites à Northampton, 5ofio*^ à la fin de la première année à autant de survivants, ^Q'^^^^'^ ^ 1^ ^^^ de la deuxième année 4910^*^ à la fin de la troisième, etc., et 3710*^^ à la fin de la dernière année a autant de survivants âgés de 39 ans.
La valeur actuelle de toutes ces sommes est égale à la valeur de 5i32 annuités de 1''' pour 19 ans, constituées sur la vie de personnes âgées de 20 ans. La question est donc ramenée à celle-ci : calculer le —^ de la valeur actuelle d'une annuité décroissante, d'une durée de 19 ans, étant de 6060*^^ la première année, diminuant de 75''* chaque année, et étant de 3710'** au dernier payement.
Par conséquent,
a =r 5o6o, rf:^— ^5, 71=19 et r=i,o5, rt -f- nef -h - = 5o6o — 14^5 — iSoo = 2i35
et
V zr: ■ • ç) H •
logai35 = 3,3293979
Ctlog5i32 = 6,2897134 log<}> = 1 ,0822582
IogUY3^.?j== 0,7013695
valeur de rannuité viagère.
Exemple CIL — Une dette de rentes 3^ pour 100, dont le montant s'éléi^e à 1700000'^, doit être rachetée en i5 ans au prix moyen de 82 -pj francs et par des annuités diminuant de 10 000'' chaque année. Quel doit être le premier payement?
La formule (19) donne immédiatement
une rente 3^ à 82-^ correspond au 4t P^"^ '^^î P^^ conséquent,
dz= — loooo, 71= i5 el / = o,o425.
V/= 1700000 nrf = — 1 5oooo
\i-\- nd=i 1 55oooo
Ctlog/= 1 ,3716111 \oga = 8,9615180
log = 6,5234608
(nd-i — J = 385294
premier payement a = 3723098
§ LUI. — Annuités croissant ou décroissant en progression
