GÉOMÉTRIQUE
On ne saurait rencontrer ces annuités dans la pratique ordinaire des affaires; et^ si le cas se présentait» il ne pourrait être que très-rare. Afin, toutefois, de ne négliger aucun côté ^ de la question, je vais indiquer la manière de les calculer.
Soit a la première annuité, e le rapport entre deux annuités consécutives, ou le rapport constant de la progression géométrique^ t le taux de l'intérêt et Y la valeur actuelle de cette annuité.
Nous avons
OL Oie. aP* «<?"-'
et
\e. cte aé^ ae
la différence entre ces deux équations est
V I — -t d ou V=^ I M
r) r r"-"' r— éf\ r"
Exemple CIIl. — - Quelle est la valeur actuelle de 1 8 annuités, dont la première est de looo'*', la seconde t/e loio, la troisième de I020, loo, la quatrième de 1020, 3oi , ..., de telle sorte que chaque annuité est égale à la précédente augmentée de i pour Too de sa valeur, le taux de V intérêt étant de 4 pour 100?
Le rapport constant est 1,01 ; par conséquent
l()gi,oi'«= 0,0777847 log 1 , 04'* = o , 3o6Goo I
Exemple CIV. — Quelle est la valeur actueUe^ à 5 pour loo, d'une annuité perpétuelle croissante^ la première étant de looo^*", la seconde de 1 o i o, e/, comme dans r exemple précédent , chaque annuité étant égale à 1,01 de la précédente ?
Dans ce cas, n est infini ; par conséquent, la puissance de la fraction - devient infiniment petite, et
Il est a remarquer que les payements finissent par devenir infiniment grands. Ils s'élèvent déjà à la fin :
De la 995* année à plus de i million
De la i389* » » i billion
De la 2o83* » » i trillion
et toutes ces valeurs, au boutd*un nombre illimité d'années, deviennent plus grandes qu'un nombre quelconque, quelque grand qu'il puisse être; néanmoins la valeur actuelle de ces payements infiniment grands, en nombre infini, est exactement de 25ooo^^
§ LIV. — Parités ou valeurs relatives des annuités.
Le nom de parité^ ou valeur relative d'une annuité par rapport à une autre annuité au même taux^ a été donné à l'évaluation d'une annuité au même taux qu'une autre annuité dont la valeur est connue.
Lorsqu'on envisage n annuités dont la durée est la même, leurs valeurs relatives sont toujours proportionnelles à leurs rentes annuelles. Ainsi, par exemple, si le prix des consolidés 3 pour 100 est de go^S le prix du 3^ pour 100 sera de io5^^\ au même taux, et abstraction faite de toute cir-
constance extérieure; car le taux de l'intérêt produit est, dans les deux cas, de 3| pour loo.
Si, au contraire, 2 annuités sont de différentes durées, on déterminera d'abord le taux de l'intérêt produit par la première, et ensuite la valeur actuelle de l'autre annuité au même taux.
Exemple CV. — Une annuité perpétuelle de Ziioo^'' coûte 108800; quelle sera la valeur d'une rente de H'xM^ pendant 19 ans?
Le taux de l'annuité perpétuelle est
= 31 pour 100;
nous n'avons maintenant qu'à calculer la valeur actuelle de 19 annuités de ^nM^ à ce même taux.
log225o = 3, 3521825 loger = 8,8487351
valeur cherchée.
logV = 4,5o34474 \ = 31874'% 79,
Exemple CVI. — On paye 'i2/\go pour une rente de 1800'* d'une durée de 38 ans ; quelle somme faudrait-il verser pour la même rente^ si l'on doublait le nombre des années?
Io;;i8oo = 3,25527 log 32490 = 4,51175
iog«= 8,74352
pour 38 ans; ce nombre correspond à 4i pour 100; par conséquent, pour évaluer 76 annuités de 1800^'^ à 4i pour 100,
nous avons
IogA = 8,66880
parité cherchée.
logV = 4,58647 V = 3859o'%
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