LXIX
Les placements annuels sont essentiellement distincts des annuités arriérées, celles-ci étant placées à la fin de chaque année, tandis que les premiers sont placés au commencement de chaque année comme un simple capital.
Le montant d'une annuité arriérée procède d'une rente annuelle, placée à mesure qu'elle devient payable et fructifiant à intérêts composés; le montant d'un placement annuel est le résultat de prêts annuels successifs effectués par le créancier au commencement de chaque année.
Le montant d'une annuité étant égal à la somme des montants de ses placements partiels, il n'y a qu'à déterminer le montant de chaque annuité au bout du temps donné. Si donc nous appelons K le montant de l'annuité, a l'annuité ou rente annuelle, n le nombre d'années, le premier payement ayant eu lieu il y a n années, le second (n — i) années, etc., le montant de ces placements sera, pour le premier ar", pour
- '97 le second a^"""*, et ainsi de suite jusqu'au /i''*'"** et dernier qui, ayant eu Heu il n'y a qu'un an, sera ar. La somme de toutes ces valeurs pour n années sera donc
et» en multipliant par r,
et, en retranchant la première équation de la seconde,
K(r-i) ou K/z^ar"^'— ar;
d'où
Si, par exemple, on demande de trouver le montant de i'"^ par an, placé à 5 pour loo au commencement de chaque année pendant 24 ans, nous avons
/.«r=îi, 336355 K== 46^72710.
La formule (27) peut s'écrire comme il suit :
et, comme 7 ~ 7 (» — ''■")> nous avons
(28) Kr:=ar""'(p,
formule trës-propre aux calculs logarithmiques.
En outre, nous avons trouvé [formule (26)] que le montant d'une annuité arriérée s'exprime par la formule S = ar"f ; on a donc
c'est-à-dire que le montant d'un placement annuel est égal
au montant d'une annuité arriérée pour le même nombre d'années, augmenté de son intérêt d'un an.
Ainsi, dans l'exemple ci-dessus :
fr
Montant d'une annuité arriérée de i'*' pendant a4 ans 44 ,5oao
Intérêt annuel de cette somme à 5 pour 100 a ,a25i
Montant d*un placement annuel de i'' pendant a4 ans 46,7271
En désignant par E' le montant d'un placement annuel de a^** pour (n-hi) années, on a
a , .^, . ar^^^ ar
D'ailleurs, le montant K du même placement pour n années est égal à
oc. f ,+, . ûcr* ar ,, , „ ai^ * ar^
j[r -r) = -^--^, dou rK=:-^~— .
En retranchant cette dernière équation de la première, on obtient
^, ^ ar* ^^ <^f^ \ arlr—i) K'-^rK = — -~-==j{^~r)=-^,-—-^ar;
par conséquent,
K' = rK + arizz(K-+-a)r,
c'est-à-dire que le montant de {n-hi) placements annuels est égal au produit du montant de i''' dans i an par la somme de l'annuité et de n placements annuels.
Des formules (27) et (a8) on peut déduire d'autres formules pour déterminer une quelconque des quantités n et a quand les autres sont données:
ar
