LXX

Quelle que puisse être, en général, l'espèce de payement adopté pour l'annuité et l'intérêt, qu'il soit annuel, seines-

triel ou trimestrieU etc., le montant de V annuité est toujours égal à la valeur actuelle de la même annuité avec entrée immédiate^ multipliée par le montant de i ^^ au bout c/^ (n + j ) années.

Si Tannuité et Tintérêt sont payables aux mêmes époques^ V fois par an» divisez la rente annuelle et le taux par le nombre V, et multipliez par le même nombre v celui des années.

Il faut noter le cas où les payements, au lieu d'être annuels, sont semestriels, trimestriels, etc.; le montant, dans ce cas^ peut ou diminuer ou augmenter.

Ainsi, par exemple, le montant de i'^ par an, payable au commencement de chaque année, esta 5 pour loo :

PaycmenU annuels Payements semestriels.

Pour 2 ans a,i53 2,128

Pour 5 ans 5,802 5,742

Pour 10 ans 13,207 13,092

Pour 20 ans 34 ,719 34 , 544

Pour 32 ans 79,064 79;059

Pour 33 ans 84,067 84,099

Pour 40 ans 126,840 127,296

Pour 5o ans 219,815 221 ,68 1

On peut voir par là que, lorsque l'annuité a une durée de 3a ans ou moindre que 3^ ans, le montant de l'annuité payable anuellementest^/cf^gra/i^quele montant de l'annuité payable par semestre. Si, au contraire, la durée de l'annuité est de 33 ans ou plus, le montant de l'annuité payable annuellement est inférieur à celui de l'annuité payable par semestre.

Et, d'une manière générale, si le nombre des payements augmente, le montant de la rente annuelle est plus grand que le montant des placements semestriels, trimestriels, etc., jusqu'à ce que les annuités atteignent un certain nombre (*);

(*) Ce nombre, qui est la limite, est déterminé par l'équation

il diminue à mesure que le taux augmente. Lorsque y = 3, nous ayons

i-f--j H-^- (ro/rp. 95.)

au-dessus de ce nombre, le montant de la rente annuelle sera moindre que celui de la rente semestrielle, trimestrielle, etc. Au delà du nombre n^ déterminé par l'équation

pour lequel le montant des placements annuels est égal au montant des placements semestriels, le montant de ces derniers est supérieur à celui des premiers. On peut se demander: après combien d'années en sera-t-il le double ? La solution de cette question est donnée par Téquation suivante :

Le dernier terme, dans l'hypothèse de r = 5 pour loo et - = 2^ pour ICO, n'étant égal qu'à ^, je le néglige pour le moment.

d'où l'on tire -

loga -f- nlog(n- /)-4-!og(i-h /)>2/ilog ( 14- - j -+- log f i-f- - jj

IOg2H-log(H-0— iOg ( 1+ -J

alog ( 14- - j — log(i-4-/)

logii = o,3oio3oo log(i-f- t) ~ 0,0211893

Ctlogfi-f- H = 9,989^761

2l0g(l-f- /) = 0,0214477 Ctl0g(l-H/) = 9,9788107

Enfin, lorsque les payements de l'annuité et de l'intérêt ne coïncident pas» on calcule le montant en supposant Tan* nuilé payable aux mêmes époques que l'intérêt; on multiplie ou l'on divise ensuite le résultat par un des facteurs constants P ou Q [voir p. loi).

Exemple CXLII. — On place 500*^ au commencement de chaque mois pendant 1 3 ans. Quel sera leur montant au taux de[\\ pour i oo payable par semestre?

K r=:a(pr

lOgarrr

3,477iai3 0,2609096

logK-

Exemple CXLlIi. — Combien faut-il placer ^ à l\\ pour 100, au commencement de chaque année^ pour obtenir 90870^' au bout de 61 ans?

Ici nous pouvons nous servir de la formule (3o)

a -rr^

logK = 4 1 9^602 Ctlogr-+'=: 8,84702 Cllogy^,^ = 8,67408

loga = 2,4^612 a = Soo'*".

Exemple CXLIV. — Combien faut-il d' années pour obtenir 1 o 1 29'' d'un pUicement annuel de 1 80'', à 4 i pour 1 00, Vannuitè et V intérêt étant payables par semestre ?

Ici nous pouvons employer la formule (ag)

logK = 4,00557

logr= 8,35ai8

CtIoga= 8,04576

et logr= 9,99034

Kt log — = 0,39385

r"= 3,4765 logr"= 0,54114

(Tab. 9) n—5S semestres ou 28 ans.

,^ LXXI. — Montant de placements annuels augmentant ou diminuant