THÉORIE DIS LOGARITHMES
sorte que si je faisais le retour au nombre, je devrais le diviser par 10. La division par 10 revient à retrancher une unité du logarithme ( 38 ); mais ici cette soustraction est impossible ; on peut néanmoins l’indiquer comme en algèbre , et écrire 0,9831976— 1, en 6e rappelant qu’ici — 1 n’est qu’un symbole pour rappeler qu’après le retour de 0,9831976 aiu nombre, on devra faire une division par 10.
Pour plus de commodité, on écrit — 1 à la place de la caractéristique, et pour que l'on ne croie pas que tout le nombre 1 ,9831976 est négatif, on place le signe — au-dessus de la caractéristique; on a ainsi 1,9831976, et l’on regarde cette expression, qu’on énonce moins un, virgule, neuf cent quatrevingt-trois, mille neuf cent soixante et seize, comme le logarithme de la fraction décimale 0,96205; mais il ne faudra pas oublier que le nombre qu’on a en vue est 10 fois plus petit que celui dont le logarithme aurait la même partie décimale, avec zéro à la caractéristique. Or, les plus hautes imités du nombre 9,6205 correspondant au logarithme 0,9831976, sont des unités simples; après la division par 10, clics deviendront des dixièmes ; voilà pourquoi on dit que : T ( moins un) est la caractéristique des dixièmes.
Exemple II. Soit le nombre 0,096205.
Je le multiplie par 1000 afin de le rendre plus grand que l’unité, et j’obtiens 9,6205, dont le logarithme est 0,9831976. Si je revenais au nombre, je devrais le diviser par 100 ; la division par 100 reviendra à retrancher 2 unités du logarithme: ici, cette soustraction est impossible; je l’indique, et j’ai 0,9831976 — 2, ou 2,9831976, en me rappelant qu’il faudra diviser par 100 après le retour au nombre, effectué comme si la caractéristique était zéro : or, pour la caractéristique 0, le chiffre des plus hautes unités exprime des unités simples; donc, après la division par 100, il exprimera des centièmes; ainsi , 2 (moins deux) est la caractéristique des centièmes.
Exemple III. Soit le nomhre 0,0096205,
Je multiplie par 1000, et j’ai log 9.6205 = 0,9831976, par suite log 0,0096205 = 3,9831976; après être revenu au nombre sans m’occuper do la caractéristique , j’observe que le chiffre
THKOBIE DES LOGiRITBMES. 55
des plus hautes unités doit exprimer des millièmes , et ainsi des autres exemples.
En résumé, la caractéristique du logarithme d’un nombre est négative toutes les fois que ce nombre est plus pêtit que l'unité; par opposition, la caractéristique est dite positive quand il s’agit du logarithme d’un nombre plus grand que l’unité.
Si l’on rapproche les propriétés des caractéristiques négatives de celles des caractéristiques positives (37), on voit que : la caractéristique indique le rang des plus hautes unités du nombre à partir des unités simples ; à gauche quand elle est positive , à droite quand elle est négative.
D’après cela , on peut écrire :
k)g 962,05 c= 2,9831976 log 96,205 = 1,9831976 log 9,6205 = 0,9831976 log 0,96205 = F, 9831976 log 0,096205 as 2,9831976 log 0,0096205 = 3,9831976 ' • '
Ces considérations conduisent aux deux règles suivantes :
83. Règle I. Pour trouver le logarithme d’une fraction décimale proprement dite , on prend pour caractéristique le nombre qui exprime le rang des plus hautes unités décimales ; on place le signe — au-dessus, et l’on cherche dans la table la partie décimale , abstraction faite de la caractéristique.
86. Règle II. Réciproquement , pour trouver le nombre carres- ' pondant à un logarithme dont la caractéristique est négative , on opère, abstraction faite de cette caractéristique, et l'on met une virgule dans le nombre trouvé, de manière que les plus hautes unités soient d’un ordre décimal marqué par la valeur absolue de la caractéristique.
87. Puisque les logarithmes il caractéristiques négatives n’ont pas été déduits de la conception primitive des logarithmes , et qu’une convention nouvelle a été faite pour attribuer un loga-
ritiime à un nombre plus petit que l’unité , il est nécessaire de •Voir si ces logarithmes peuvent être soumis aux mêmes règles de calculs que les logarithmes des nombres plus grands que l’unité. Or, toutes ces règles dépendent du principe fondamental (25); voyons donc, en premier Heu, si ce principe subsiste dans le cas actuel.
Extension du principe fondamental.
88. Soit P = AxB le produit de deux nombres. On peut faire quatre hypothèses : '
et
et
et
et
Dans la première, le principe est démontré; la quatrième rentre dans la troisième à cause de la permutation des facteurs ; reste donc à s’occuper des deux autres.
1" Cas.,
A<1 et B< 1.
D’après les principes qui ont d’abord été posés, le logarithme de A se compose d’une partie entière négative et d’une fraction, décimale positive. Soient E la valeur absolue de la partie entière, ou de la caractéristique négative, et F la fraction décimale, je puis poser
/ logA=Ë,F,
et de même logB=Ë',F'.
Pour appliquer rigoureusement le calcul logarithmique à la recherche du produit AB, il faut éviter dans le cours du calcul l’emploi des caractéristiques négatives. Je mulliplie le facteur A par 10 8 , et le facteur B par 10 e ', ce qui fait passer la première décimale à la place des unités simples; les deux facteurs auront alors des logarithmes dont les parties décimales seront les mêmes qu’auparavant , e’t dont les caractéristiques seront 0;
le produit P sera multiplié par 10*. 10®' ou par ÎO***' (.Traité d’Alr gèbre), et j’aurai
P. 10 K+8 ' = A. 10*XB.10*'.
Comme ici les deux facteurs sont chacun plus grands que l’unité, je puis appliquer le principe fondamental, et écrire
log (P. 10®-"®')= log (A . 10*)4-log (B . 10*') ; or, log (A. 10*) =0, F,
log (B. 10*')=0,F',
donc log(P.10® 4 -*')=0,F+0,F l .
L addition des deux fractions décimales 0,F etO,F' donnera une partie décimale 0, f et une partie entière e qui peut être 1 ou 0 ; je puis alors écrire
log(P.10* + *')=e-|-0,/ r .
Si je revenais au nombre, je devrais, pour avoir P, diviser le résultat trouvé par 10 E+t '; cette division reviendrait à retrancher E-f-E' de la caractéristique e. Or, deux cas peuvent se présenter : si la soustraction e — (E-f-E') est possible, la différence p est positive, et j’ai en premier lieu
log P=p, f.
Si la soustraction est impossible, c’est-à-dire si E-f-E' surpasse e, je commence par supprimer e; puis, d’après la convention , je prends une caractéristique négative égale à l’excès p de E-f-E' sur e, et j’ai en second lieu
log P =Tp,f.
D’un autre côté, si je fais la somme algébrique des logarithmesde A et de B, comme log A = — E -f- 0, F et que log B = — E'-f- o, F', j’obtiens successivement
log A + log B= — E -f- 0,F -| — E'-f-0,F'= — E— E'-f-O.F-f- O.F' = — (E-f-E')-f-e-f-0,/‘=p-j-0,/'=p,/‘ si la soustraction' e — (E -f E') est possible ; = — p-f-0,f=p, /'si la soustraction est impossible : or ces résultats sont les mêmes que ceux qui ont été trouvés tout à l’heure par une méthode rigoureusement démontrée; il est donc permis de poser
log AB=log A-f-logB.
En conséquence, le logarithme d’un produit est la somme algébrique des logarithmes des facteurs, lorsque chaque facteur est plus petit que l’unité.
2* Cas.
A<1 et B>1. ' logA=Ê,F , logB=E',F'.
Je multiplie A par 10 B , et j’ai
P. 10 e =A, 10 e XB,
.d'où t log(P.10 E )=log(A.10 E )-f-logB; • mais log(A.10 K )=0,F,
donc . log (P. 10 E )=0,F-f E'+0,F'.
, Je pose . 0,F+0,F'=e-f*0, ..
et il vient [1] log(P.10 E )=E'-|-e-f-0,A
Soient en premier lieu E'+e>E, et p la différence ; j’aurai
tog(P.w)= s .B+i»+o l A
Divisant le nombre par 10 e , ou, ce qui revient au même, supprimant E à la caractéristique du logarithme, il vient
log P =p,f.
Soit en second lieu E'-)-e<E, d’où E=E’ + c -j-p ; l’égalité [l] devient
log (P . 1 0* ,+ ^) = E' ■ 4- e+ 0, f.
Divisant le nombre par 10 E ’ + % ou bien retranchant E'-j-e du logarithme, j’obtiens
log (P. 10») = 0, A
ou, d’après la notation des caractéristiques négatives ,
log P = p, A
D’autre part, si je fais la somme algébrique des logarithmes, comme logA = — E-f O, F, et que log B=E' -fo, F', j’ai, dans
tin cas, lofçA+]ogB=— E+E'+c+O/^p+O/rsp,/; et dans on autre, log A-j-logB= — p-\-Q,f—p,f, c’est-à-dire les mêmes résultats que j’ai trouvés par une méthode rigoureuse; donc il est permis de dire sans restriction que :
Le logarithme d'un produit est la somme algébrique des logarithmes de ses facteurs, ,
La généralité de ce principe entraînant celle des conséquences qui en ont. d’abord été déduites aux n“ 23, 26, 97, nous récapitulerons les propriétés des logarithmes ainsi qu’il suit :
89. 1“ Le logarithme d'un produit est la somme algébrique des logarithmes de ses facteurs..
2° Le logarithme de la puissance d’un nombre est le produit algébrique du logarithme de ce nombre par le degré de la puissance. •
3“ Le logarithme d’un quotient est algébriquement égal au loga - . rithme du dividende moins le logarithme du diviseur.
4° Le logarithme d’une racine d\un nombre est égal au quotient algébrique du logarithme de ce nombre par l’indice de la racine à extraire.
Il nous reste maintenant à examiner comment on introduira dans le calcul un logarilhme à caractéristique négative. On peut avoir à le soumettre à quatre opérations distinctes : l'ajouter, le soustraire, le multiplier et le diviser.
J tl. Dm quatre opérations relatives à un logarithme à caractéristique négative.
90. Addition. On écrit les logarithmes les uns au-dessous des autres, tels qu’ils sont; on fait l’addition des parties décimales d’après la règle ordinaire ; on ajoute ensuite la retenue entière ,
• et positive avec les caractéristiques , en ayant égard à la fois aux valeurs absolues et aux signes de ces caractéristiques selon les règles de l’algèbre.
91. Soustraction. Soit un logarithme à soustraire dans l’ensemble d’un calcul logarithmique.
Je le désigne par E,F ; E indiquant la caractéristique. né- • gative ou nulle, et 0,F la partie décimale. Soit A le nombre correspondant , j’aurai log A = E,F = E -f- 0,F ; or , soustraire loa A, c’est la môme chose qu’ajouter — log A dans
l’ensemble des logarithmes. Cela posé, pour ne pas avoir de partie décimale négative , j’ajoute une unité pour en soustraire la partie décimale, et, par compensation , je retranche une unité en augmentant de 1 la valeur absolue de la caractéristique négative, de telle sorte que
— log A = — (E + l) + (l — 0,F).
La partie 1 — 0,F est ce qu’on appelle le complément de la partie décimale 0, F à l’unité, et qui peut s’écrire à vue d’œil. Donc,
92. Règle. Pour soustraire un logarithme, on prend la caractéristique en signe contraire après y avoir ajouté une unité, puis on écrit à la suite le complément de la partie décimale à l’unité.
Exemple 1. Soustraire log A = 2,3758619. ■ , •
Avant de soustraire, j’augmente la caractéristique 2 de 1, et je dis: 2 et 1 font 3, cl pour soustraire, 3 (moins 3); au lieu de la partie décimale 0,3758619 je lis à vue d'œil 6241381, en sorte que j’écris , dans la colonne des logarithmes , — log A = 3,6241381.
Exemple II. Soustraire log A == 0,3758619.
Je dis : 0 et 1 font I pour soustraire, 1 ; puis prenant le complément à l’unité de la partie décimale, j’écris — log A=ï ,624 1381 .
Exemple III. Soustraire log A = 4,3958619.
— 4-J-l = — - 3, et pour soustraire, -j-3; par conséquent,
log A =3, 6241381. .
93. Multiplication. L'opération correspondante à la formation de la puissance consiste à multiplier le logarithme par le degré de cette puissance, 'c’est-à-dire par un nombre entier. Si la caractérislique est positive, il n’y a aucune -difficulté. Si elle est négative, on multiplie d’abord la partie décimale, puis, après avoir multiplié la caractéristique, on ajoute à ce produit la retenue qui a pu provenir de la multiplication du chiffre des dixièmes.
Exemple. Multiplier log A = 4,8758619 par 5.
Je dis comme à l’ordinaire : 5 fois 9 font 45; je pose 5 et je
retiens 4; 5 fois 1 font 5, et 4 font 9; et ainsi de suite. Parvenu aux dixièmes, je dis : 5 fois 8 font 40, et 3 de retenue font 43, je pose 3 et je retiens 4 ; 5 fois — 4 font — 20; — 20 et -f- 4 font — 16, en sorte que j’écris dans ta colonne des logarithmes 16,3793095.
94. Extraction des racines. L’extraction de la racine correspond à la division du logarithme par l’indice de la racine à extraire. Si la caractéristique est positive , pas de difficultés. Si elle est négative, on la rend multiple de l’indice en augmentant sa valeur absolue d’iui certain nombre d’unités, et le plus petit possible, ce qui revient à la diminuer algébriquement du nombre d’unités ajoutées ; on ajoute par compensation autant de dizaines au chiffre des dixièmes avant de diviser par l’indice, et l’on continue la division de la partie décimale comme à l’ordinaire.
Exemple. Prendre le cinquième de 3,4238256.
Au lieu de compter — 3 pour caractéristique, je compte — 5 ; mais au lieu de compter 4 dixièmes, j’en compte 24, puis je dis : le cinquième de 5' est T, et j’écris T ; le cinquième de 24 est de 4 pour 20, j’écris 4 à la droite de T, et j’ai T»4 ; je continue ainsi, et j’écris dans la Colonne des logarithmes 1,4847651 .
98. Pour exécuter un calcul logarithmique lorsqu’on a sous les yeux le tableau des opérations à faire sur les nombres, on se dispense d’indiquer celui des opérations auxquelles doivent être soumis les logarithmes; les unes doivent rappeler les autres.
On cherche à faire tenir , autant que possible , tous les calculs dans une seule colonne; c’est ce qui se peut, en général, lorsque l’expression dont il s’agit de calculer la valeur ne renferme ni le signe -(- ni le signe — , c’est-à-dire aucune quantité combinée par addition ou soustraction; toutefois, il est bon de remarquer que les extractions de racines peuvent rompre la colonne logarithmique, et exiger des opérations auxiliaires faites à part, dont on rapporte ensuite les résultats dans le calcul principal. C’est ce que nous allons éclaircir en reprenant la .plupart des exemples que nous avons déjà traités par la méthode des compléments.
THÉORIE DES LOGARITHMBS.
Exemple 1. Calculer l’expression
Type du calcul. ,
log 184,56 = 2,2661376 ■ < • log 564000 = 5,7512791
' ’ * log 0,94 = 1,9731279
log 0,0002564 = 4,4089180
, log x = 4,3994626 = log 25087,80
Exbmple II. Calculer l’expression
Vfâw 4k*
Type du calcul.
log 0,94 = 1,9731279 log 0,0002564 = 4,4089180 r log 0,72 = T, 8573325
— log 184,56 = 3,7338624 •
— log 0,0057 = 2,2441251 ’
log x = 4,2173659 = log 0,0001649551
Exemple lU. Calculer l'expression * = X ^3 -
• : Type du calcul.
log 0,157= 1,1958997 log 8,93 = 0,9508515 — log 2,348 = 1,6293019 — log 0,00913 = 2,0395292
log x = 1,8155823= log 65, 4007
Exemple IV. Calculer l’expression x = 0,157 ,
v fX|XO, 00913
Tjpe du calcul. >
log 2 = 0,30103000 .
log 4 = 0,60205999 log 0,157 = 1,19589965 log 4 = 0,60205999 log 8 = 0,90308999
— log 3= 1,52287875
— log 5 =1,30103000
log x = 1,14535829 = log 13,97521 Exemple V. Calculer l’expression x = (f^) s .
Typedacalcul.
log 2 = 0,30103000 4 log 2 = 1,20412000
— log 13 = 2,88605665 ;
—4 log 13 = 5,54422660
5,93543325 = log 0,0000861853
Exemple VI. Calculer l’expression x = î 'J-fai
Type du calcul. •
log 2 = 0,30103000,
— log 13 = 2,88605665
log * = 1 ,72902888 = log 0,5358323
Exemple VII. Calculer l’expression x =
Type du calcul.
log 2 = 0,30103000
— log 13 2,88605665
log * = 2,64514441 = log 0,04417173 *
Exemple VIII. Calculer l'expression x =
Type du calcul.
log 2 = 0,30103000 4 log 2 == 1,20412000 c‘ log 13 = 8,88605665 4 c' log 13 = 35.54422660
2,64514441 = log 0,0441 7 173.
Exemple IX. Calculer l’expression
§ X $ X 28 X 0,00037 fX 1X37485 X 0,0029*
Type du calcul.
log 2 = 0,30103000
— log 3= 1,52287874 log 4 = 0,60205999
— log 5= 1,30103000 log 28 = 1,44715803
log 0,00037 = 4,56820172
— log 3 = 1,52287874 log 4 = 0,60205999
— log 7 = 1,15490196 log 8 = 0,90308999
— log 37485 = 5,42614250 — log.0,0029 = 2,53760200
log x = 1,41271909 = log 0,2586539
Nous laisserons aux élèves le soin de traiter les autres exemples. , ’ f
96. En résumé, pour exécuter un calcul par logarithmes h la simple inspection du tableau des opérations indiquées sur les nombres, on conçoit que les calculs à faire sur les fractions sont ramenés à des opérations sur leurs termes, en appliquant mentalement les règles des calculs fractionnaires; on commence par les multiplications et les divisions , opérations qui donnent
des logarithmes à ajouter ou à soustraire; on dispose ces logarithmes dans une même colonne qui devient la colonne principale; on passe ensuite aux calculs qui correspondent aux élévations de puissances et aux extractions de racines dans l’ordre même où elles se présentent dans l’expression proposée ; on exécute à, part (et dans la même page) les opérations auxiliaires, parfois nécessaires pour trouver certains logarithmes qui doivent ensuite être reportés dans la colonne principale; mais il faut éviter autant que possible ce partage du calcul logarithmique.
Lorsqu’on rencontre des expressions qui sont combinées par addition ou soustraction, on est obligé de faire les retours aux nombres, pour trouver ensuite les logarithmes qui doivent entrer dans le calcul principal.
Nous terminerons cette théorie par quelques applications géométriques.
