Ex£HPLE I. Calculer l'expression
0?= 184, 56 X664000XO, 94X0,0602564.
48 THÉORIE DES LUGARITBMBS.
Type da calcul.
log 184,56= 2,2661376
log 664000= 6,7612791
log'0,94= 9,9731279
log' 0,0002564= 6,4089180
log X = 24, 3994626 = log 25087,80
Il y a dans cet exemple deux log' qui donnent deux dizaines de trop; en les barrant, on n'a plus d'erreur, et Ton peut revenir au nombre inunédiatement.
Exemple H. Calculer l'expression
Type du calcul.
log' 0,94= 9,9731279
log' 0,0002564 = 6,40891 80
c» log' 0,0057 = 2,2441251
log' X = 56,2173659 = log' 0,0001649661
Dans cet exemple, les trois log' donnent 30 de trop; le c*log donne lO de trop, ce qui fait 40; le c'iog' n'introduit aucune erreur : en supprimant les 3 dizaines de la caractéristique, il y a encore 10 de trop; le résultat final est donc un log', et l'on doit revenir au nombre d'après la règle du n»66.
Exemple IIl. Calculer l'expression a?= ' ^ qqoqio '
Type du calcul.
log'0,157= 9,1958997
log 8,93= 0,9508516
c* log 2,348= 9,6293019
c* log' 0,00913 = 2,0395292
log X = 21,8155823 = log 65,40068
THÉORIE DBS LOGAKITHIUSS. 49
J'ai opéré comme si (|ans les indications j'avais d'abord appliqué la règle de la multiplication des fractions, ce qui donne
1 expression a: = 5^^^g3^^^3.
ExMCPLB IV. Calculer l'expression x= .^'^^^^;^,„ .
Type du calcul.
log2= 0,3010300
lpg4= 0,6020600
log8= 0,9030900 cMog3= 9,5228788 cMog5= 9,3010300 c*log3= 9,5228788 cMog7= 9,1549020 c' log' 0,00913 = 2,0395292
log a? = 51,1453584 = log 13,97621
Le calcul est fait comme si j'avais transformé les indications d'opérations sur les fractions en indications d'opérations sur les deux termes de chacune d'elles.
Exemple Y. Calculer l'expression x = (^)*.
Type du ctlcol.
log 2:^ 0,30103000
4 log 2= 1,20412000
c» log 13= 8,88605665
4 c4og 13 = 35,54422660
log' X = /!r5,93543325 =; log' 0,0000861853
Pour éviter de faire des opérations à part, j'ai opéré comme si j'avais 2X2* au lieu de 2«, et 13X 13* au lieu de 13«; à cause des compléments, il y a 5 dizaines de trop dans la somme des logarithmes, et, comme j'en ai supprimé 4, il en est resté une de trop ; j'ai donc dû revenir au nombre d'après la règle relative au log'.
50 TfliORIE DES LOGAHITHMBS.
ÈiBMPLE Vl. Calculer Texpression x =± sf^*
Type dtt talcal.
log 2 = 0,3010300 eUog 13 = 8,8860567
9,1870867 log'a? = 9,7290289 = log' 0,5358323
L'addition de log2 et de cMogl3 donne une somme trop forte de une dizaine; je prends le tiers en ajoutant encore deux dizaines, c'est-à-dire que j'opère comme si la caractéristique était 29 au lieu de\ 9 : le résultat est trop fort de 10 seulement, et je reviens au logarithme par la règle (iu log'.
Exemple VIL Calculer l'expression x = ^i^î*
Type da calcul.
log 2= 0,30103000
4 log 2= l,S04]20€O
c^ log 13= 8,88609605
4 c^ log 13 = 35,54422660
/^5,93&fô325 log' X = 8,64j4i4441 = log^O,044l7173
Après l'addition , la somme est trop forte de 5 dizaines ; après la suppression de la caractéristique 4, elle est encore trop forte de 1 dizaine ; j- y ajoute par la pensée 2 dizaines ; je prends le tiers comme si ht caractéristique était 25 , et le résultat est un log'.
Exemple VIII. Calculer l'expression aJ= (^^'.
Type du calcul.
log 2 an 0,30103000
log' X = /t8,645l4440 i= log' 0,044l'>173
Après avoir fait , comme dans l'exemple VI, les opérations
THtORlC ÎJte LOGÀRrrËHÈâ. 51
relatives à la racine cubique de f^, j'ai multiplié par 5; le résultat a été trop fort de 5 dizaines; j'en ai supprimé 4, et je n'ai plus eu qu'un log'.
L'erreur commise dans les premières iof^érations devant être répétée cinq fois, j'ai eu la précaution de prendre d'abord huit décimales^ afin d'en avoir sept exactes dans le résultat.
Exemple IX. Calculer rexpression
<„. / 1X^X28X0 .00037 V î X Ix 3^4^5 X 0,d62d*
Type du calcul.
log 2= 0,3010300 c»log3= 9,5228787
log 4= 0,6020600
c*log5= 9,3010300
log 28= 1,4471580
log' 0,00037=: 0,5883017
c'log3=: 9»5aa8787
log 4=1 0,6020600 c*log7= 9,1549020
logées Ojdt^MMOO
c log' 0,0029 = ifiaffeOio
35,8890336 log'a?= 9,4127191= log' 0,2586539
Dans cet exemple il y a cinq compléments et un log', ce qui a donné dizaines de trop ; j'ai retranché lès 5 dizaines , et il n*en est resté qu^unè dé trop; pour prendre le septième, ysA opéré fivéc 6 dteaiiles de plus à la caractéristique , ce qui la supposait de 65 ùliités; lé résultât a été trop fort de 10, ce qui a donné un bg'.
ExiiipU X. Calculer l'expression
62 TMiOtdE DES LOGAMTBllSb.
Type da calcul.
Iog200=: 2,30103000
2log200= 4,60206000
c»log435= 7,36151074
2 c* log 436 = 14,723021 48 log 32000= 4,50514098
3 log 32000 = 13,51544994
log 427= 2,63042788
cMog827= 7,08249449
c4og82,5= 8,08354605
cMog' 0,0025= 2,60205999
c» log' 0,0025 = 2,60205999
cMog* 0,00073 = 3,13667714
2 Clog' 0,00073 = 6,27335428
10,85354036 log X = 2,17070807 = log 148,1622
Exemple XL Calculer Texpression x= v0,03+ v^0,2.
Type du calcol.
Calcul de ^M. log* 0,2 = 9,3010300
log' Vm = 9,8602060 ^Ô^ = 0,7247797
Calcul principal. 0,03
log' 0,7647797 = 9,8778202 log' X = 9,9692734 = log' 0,9104862
VII ri I I r \V 76894,89/
Exemple XJi. Calculer 1 expression .r= ^
HV'M)'
THtollIS DES LOGàRITRMIS.
^^^"'^^'^(\/Siil)^
log 4967,6
3 log 4957,6
c» log 75894,89
3 c* log 75894,89 :
^'4\/7mâÙ^= «'^^*«
Calcul de los:
log' 0,38987
2 log' 0,38987
c» log 1 ,25789
2 c* log 1,26789
Colonne principale, log' ( v/fSè)* ^ ^'*^^^
log 34= 1,5314789 .1 , . /. / 0.38987 \'
c' log 6,879
log'x= 9,8771166 = log* 0,7635579
S 10. Métbode de* ear»ctérls tiques négmiM.yre%*.
84. Ainsi que nous Tavons dit, comme un nombre plus petit que l'unité n*a pas de logarithmes , on élude la difficulté en le multipliant par une certaine puissance de 10, ce qui exige une correction après le retour au nombre.
Exemple I. Soit le nombre 0,96205.
Je le multiplie par 10, et il vient 9,6205 ; ce nombre étant plus grand que Vunité, a un logarithrine 0,9831976; mais ce logarithme appartient à un nombre 10 fois trop grand, en
* GeUe- méthode suppose Quelques conaaissaiices du calcul algébrique.
54 THyOiil£ PR$ LOGÀR^THMSS.
sorfa que si je faisais le retour au nombre, je devrais le diviser par 10. La division par 10 revient c^ retrancher une unité du logarithme (38); mais ici cette soustraction est impossible ; on peut né^UBoins l'endiguer comme en algèbre , et écrire 0,9831976— 1, en se rappelant qu'icf— 1 n'est qu'an symbole pour rappeler qu'iiprès le retour de 0,9831976 au nombre, on devra faire upe division par 10.
Pour plus de commodité , pn écrit — 1 à la place de la caractéristique, et pour que Ton ne croie pas que tout le nombre 1,9831976 est négatif f on place le signe — au-dessus de la ca-
ractéristiqueî oii a ainsi 1,9831976, et l'on regarde cette expression , qu'on énonce moins un^ virgule ^ neuf cent quatrevingt-trois, mille neuf cent soixante et seize, eon^me le logarithme de la fraction décimale 0,96205; mais il ne faudra pas oublier que le non^bre qu'on a en vue est 10 fois plus petit que celui dont le logarithme aurait la même partie décimale, avec zéro à la caractéristique. Or, les plus hautes unités du nonibre 9,6205 correspondant au logarithme 0,9831976, sont des unités simples; après la division par 10, elles deviendront
des dixièmes ; voilà pourquoi on dit que : î (moins un) est la caractéristique des dixièmes.
Exemple U. Soit le 4ombre 0,096205.
Je le piultiplie par 1000 afin de le rendre plus grand que rpnité, et j'obtiens 9,6205, dont le logarithme est 0,9831976. Si je revenais au nombre, je devrais le diviser par 100 ; la division par 100 reviendra à retrancher 2 unités du logarithme: ici, cette souitraction est impossible; je l'indique, et j'ai 0,9831976—2, ou 2,9831976, en me rappelant qu'il faudra diviser par 100 après le retour au nombre, effectué comme si la caractéristique était zéro : or, pour la caractéristique Oj le chiffre des plus hautes unitos exprime des unités simples; donc, après la division par 100, il exprimera des centièmes; ainsi , 2 {moins deux) est la caractéristique des centièmes.
Exemple IlL Soit le nombre 0,0096205.
Je multiplie par lOQO, et j'ai log 9,62(05=: 0,9831976^ par suite log 0,0096205= 3,9831976; après être revenu au nombre sans m'occuper de la caractéristique , j'observe que le chiffre
THÉORIS PES LOGIRITHMES. 65
des plus hautes unités doit exprimer des millièmes, et ainsi des autres exemples.
En résumé^ la caractéristique du logarithme d'un noml)rea«t négative toutes les fois que ce nombre est plus petit que l^uçité; par opposition » la caractéristique est dite positive quand il s'agit du logarithme d'un nombre plus grand que l'unité.
Si Ton rapproche les propriétés des caraotéristiques négatives de celles des caractéristiques positives (37), on voit que : la caractéristique indique le rang des plus hautes unités du nombre à partir des unités simples ; à gauche quand elle est positive , à droite quand elle est négative.
D'après cela , on peut écrire :
log 962,05 r== 2,9831976
log 96,205 = 1,9831976
log 9,6205 = 0,9831976
log 0,96205 = r,9831976
log 0,096206 = 2,9831976
log 0,0096205 = 3,9831976
log 0,0000096205 = 6,9831976 Ces considérations conduisent aux deux règles suivantes :
85. Règle I. Pour trouver le logarithme d'une fraction décimale proprement dite , on prend pour caractéristique le nombre qui exprime le rang des plus hautes unités décimales; on place le signe — au-dessus, et l'on cherche dans la table la partie décimale^ (abstraction faite de la caractéristique.
86. Règle IL Réciproquement, pour trouver le nombre correspondant à un logarithme dont la caractétistique est négative , on opère, abstraction faite de cette caractéristique y et Von met un§ virgule dans le nombre trouvé, de manière que les plus hautes unités soient d'un ordre décimal marqué par la valeur absolue de (q caractéristique.
87. Puisque les logarithmes à caractéristiques négatives n*ont pas été déduits de la conception primitive des logarithmes , et qu'une convention nouvelle a été faite pour attribuer un loga-
5(5 THÉOEIB DBS LOGÀRITHMBS»
rithme à un nombre plus petit qiie Tunité « il est nèeeuaire de voir si ces logarithmes peuvent être soumis aux mêmes règles de calculs que les logarithmes des nombres plus grands que l'unité. Or, toutes ces règles dépendent du principe fonc^amental (25); voyons donc, en premier lieu, si ce principe subsiste dans le cas c'ictuel.
Extension du principe fondamental.
