Soit P= AXB le produit faire quatre hypothèses
de deux nombres.
On
peut
et
et
et
et
Dans la première, le principe est démontré; la quatrième rentre dans la troisième à cause de la permutation des facteurs; reste donc à s'occuper des deux autres.
l*' Cas.
A<1 et B<1.
D'après les principes qui ont d'abord été posés, le logarithme de A se compose d'une partie entière négative et d'une fraction décimale positive. Soient E la valeur absolue de la partie entière, ou de la caractéristique négative, et F la fraction décimale, je puis poser
logA=Ë,F, et de même togB=E', F'.
Pour appliquer rigoureusement le calcul logarithmique à la recherche du produit AB, il faut éviter dans le cours dit calcul remploi des caractéristiques négatives. Je multiplie le facteur A par 10«, et le facteur B par 10*', ce qui fait passer la première décimale à la place des unités simples; les deux facteurs auront alors des logarithnaes dont les parties décimales seront les mêmes qu'auparavant , et dont les caractéristiques seront ;
THÉORIE' DBS LOGARITHltlS. 57
le produit P sera multiplié par 10». 10»' ou par 10**-«' (Traité d'Aïgèbre), et j'aurai
Comme ici les deux facteurs sont chacun plus grands que runilé, je puis appliquer le principe fondamental, et écrire
log (P. lO''-^'^0= log (A . 10») +log (B . 10»') ; or, log(A.10*)==0,F,
log(B.10«')=0,F', donc log(P.10«-*"»')=0,F+0,F'.
L addition des deux fractions décimales 0,F etO,F' donnera une partie décimale 0, / et une partie entière e qui peut être 1 ou ; je puis alors écrire
log(P.10=+*0=«+0,/.
Si je revenais au nombre, je devrais, pour avoir P, diviser le résultat trouvé par lO***"*'; celte division reviendrait à retrancher E-f-E' de la caractéristique e. Or, deux cas peuvent se présenter : si la soustraction c— (E+E') eu possible y la différence^ est ^05i7iw, et j'ai en premier lieu
log P=p,f.
Si la soustraction est impossible, c'est-à-dire si E-f-E' surpasse e, je commence par supprimer e; puis, d'après la convention , je prends une caractéristique négative égale à l'excès p de E-(- E' sur c, et j'ai en siecond lieu
logP=p,/*.
D'un autre côté, si je fais la somme algébrique des logarithmes de A et de B, comme log A=— E +0, F et que log B=— E'+o, F', j'obtiens successivement
logA+logB=— E-f-0,FH — E'+0,F'=:— E— E'-f.O,F+0,F'
=— (E-f-E')-f-c+0,/'=p-f-0,/'=p,/*si la soustractions — (E -f E') est possible ; = — p-^-Oyf^p/fsi la soustraction est impossible : or ces résultats sont les mêmes que ceux qui ont été trouvés tout à l'heure par une méthode rigoureusement démontrée ; il est donc permis de poser
logAB=logA-f-logB.
58 niûWi DS6 L0GARITHIII6.
Eo conséquence , le logarithme d'un produit est la somme algébrique des logarithmes des facteurs, lorsque chaque facteur est plus petit que runité«
3* Cas. A<1 et B>1.
logA=È,F, logB=E',F.
Je multiplie A par 10^, et j'ai
P.10»=A,10«XB,
d'où log (P, 10«)=log (A . 10»)4-log B ;
mais log (A . 10«) = 0, P,
donc log(P.10*) = 0,F+E'+0,F'.
Jçposp Q,V+0,r=e+OJ
etiUient [1] log(P.10«)=E'+<?+0,/:
Soient en premier liçu E' +c>E, et p la diffi^rençe ; j'aurai
log(P.lO«)=E+i?+0,/:
Divisant le nombre par 10^, ou, ce qui revient au même, supprimant E à 1^ caractéristique du logarithme, il vient
iogP=p,/:
Soit en second lieu E'-f c<F;, d'où E=E' + c+;?; Tégalité [1] devient
log (P . 10^'+^) = E' + e+ 0, f.
Divisant le nombre par 10*'-+^% ou bien retranchant E'+ç du k)garitl|iqe, j'obtiens
log(P.10'j = 0,/;
ou, d'après la notation des caractéristiques négatives ,
logV=pJ.
D'autre part/ si je fais la somme algébrique des logarithmes, commelogA=— E-4-Û,F, et quelûgBc=:E'+0,F, j'ai, dans
THiûRIS PKS L0GARlT91fpS, 50
un cas, logA4-IagB;=— K+E'+6+0,/«?p+0/=p,/; et dans un autre, log A+ log B= — j»+ 0/3=/),/; c'esUèrdire les mémas résultats que j'ai trouvés par un^ méthode rigoureuse ; donc il est permis de dire sans restriction que :
Le logarithme d'un produit est la aamme algébrique des logéh rithmes de ses facteurs.
La généralité de ce principe entraînant celle des conséquences qui eu ont d'abord été, déduites aux n^' 8S, 86, 87, nous récapitulerons les propriétés des logaritbmeii ainsi qu'il suit :
89. V Le logarithme d'un produit est la somme algébrique des logarithmes de ses fçcteurs,
2" Le logarithme de la puissance d'un nombre est le produit algébrique du logarithme de ce nombre par le degré de la puissance.
3" Le logarithme d'un quotient est algébriquement égal au loga* rithme du dividende moins le logarithme du diviseur,
4° Le logarithme d'une racine d'un nombre est égal au quotient algébrique du logarithme de ce nombre par l'indiee de la racine à extraire.
n nous reste maintenant à examiner comment on introduira dans le calcul un logarithme à caractéristique négative. On peut avoir à le soumettre à quatre opérations distinctes ! V ajouter ^ le soustraire^ le multiplier et le diviser*
g 11. Des «u»tFe opérattons relatives à vn logarltlime
à car|iç|érittique né§pative.
00. Addition. On écrit les logarithmes les uns au-dessous des autres, tels qu'ils sont; on fait Taddition des parties décimales d'après la règle ordinaire ; on ajoute ensuite la retenue entière et positive avec les caractéristiques, en ayant égard {t la fois aux valeurs absolues et aux signes de ces caractéristiques se-^ Ion le9 règles de l'algèbre.
9t. Soustraction. Soit un logarithme \ soustraire dans l'ensemble d'un calcul logarithmique.
Je le désigne paa^ E,F ; E indiquant la caractéristique négative ou nulle, et 0,F la partie décimale. Soit A le nombre correspondant, j'aurai log A == E,F se E + 0,F; or, soustraire |og A» c'est la même chose qu'ajouter— log An dans
l'ensemble des logarithmes. Cela posé, pour ne pas avoir de partie décimale négative , j'ajoute une unité pour en soustraire la partie décimale, et, par compensation , je retranche une unité en augmentant de 1 la valeur absolue de la caractéristique négative, de telle sorte que
-logA = — (E + 1) + (1-^0,F).,
La partie 1 — 0,F est ce qu'on appelle le complément de la partie décimale 0,F à Tunité, et qui peut s'écrire à vue d'œil. Donc,
98. Règle. Pour soustraire un logarithme, on prend la caractéristique en signe contraire après y avoir ajouté une unité , puis on écrit à la suite le complément de la partie décimale •à l'unité.
Exemple I. Soustraire log A = 2,3768619.
Avant (le soustraire, j'augmente la caractéristique 2 de 1, et je dis: 2 et 1 font 3, cl pour soustraire, 3 (moins 3); au lieu de la partie décimale 0,3758619 je lis à vue d'œil 6241381, en sorte que j'écris, dans la colonne des logarithmes,
— log A = 3,624l38l.
Exemple IL Soustraire log A = 0,3758619.
Je dis : et 1 font l pour soustraire, 1 ; puis prenant le complément à l'unité de la partie décimale, j'écris — log A =1,624 1381 .
Exemple III. Soustraire log A = 4,3958619.
— 4 -|- 1 = — 3, et pour soustraire , + 3 ; par conséquent,
— log A =3,6241381.
93. Multiplication. L'opération correspondante^ à la formation de la puissance consiste à multiplier le logarithme par le degré de cette puissance, c'esl-à-dire par un nombre entier. Si la caractéristique est positive, il n'y a aucune difficulté. Si elle est négative, on multiplie d*abord la partie décimale, puis, après avoir multiplié la caractéristique, on ajoute à ce produit la retenue qui a pu provenir de la multiplication du chiffre des dixièmes.
Exemple. Multiplier log A = 4,8758619 par 5.
Je dis comme h l'ordinaire : 5 fois 9 font 45; je pose 5 et je
THÉORIE DES LOGAHITHMES. 61
retiens 4; 5 fois 1 font 5, et 4 font 9; et ainsi de suite. Parvenu aux dixièmes, je dis : 5 fois 8 font 40, et 3 de retenue font 43, je pose 3 et je retiens 4 ; 6 fois — 4 font — 20; — 20 et + 4 font — 16, en sorte que j'écris dans la colonne des logarithmes 16,3^93095.
94. Extraction des racines. L'extraction de la racine correspond à la division du logarithme par l'indice de la racine à extraire. Si la caractéristique est positive , pas de difficultés. Si elle est négative, on la rend multiple de l'indice en augmentant sa valeur absolue d'un certain nombre d'unités, et le plus petit possible, ce qui revient à la diminuer algébriquement du nombre d'unités ajoutées ; on ajoute par compensation autant de dizaines au chiffre des dixièmes avant de diviser par l'indice, et Ton continue la division de la partie décimale comme à l'ordinaire.
Exemple. Prendre le cinquième de 3,4238256.
Au lieu de compter — 3 pour caractéristique, je compte — 5 ; mais au lieu de compter 4 dixièmes, j'en compte 24, puis je dis : le cinquième de 5 est T, et j'écris ï ; le cinquième de 24 est de 4 pour 20, j'écris 4 à la droite de î, et j'ai ï,4 ; je continue ainsi, et j*écris dans la colonne des logarithmes ï, 4847651 .
98. Pour exécuter un calcul logarithmique lorsqu'on a sous les yeux le tableau des opérations à faire sur les nombres, on se dis[)ense d'indiquer celui des opérations auxquelles doivent être soumis les logarithmes; les unes doivent rappeler les autres.
On cherche à faire tenir , autant que possible, tous les calculs dans une seule colonne; c'est ce qui se peut, en général, lorsque l'expression dont il s'agit de calculer la valeur ne renferme ni le signe + ni le signe — , c'est-à-dire aucune quantité combinée par addition ou soustraction; toutefois, il est bon de remarquer que les extractions de racines peuvent rompre la colonne logarithmique, et exiger des opérations auxiliaires faites à part, dont on rapporte ensuite les résultats dans le calcul principal. C'est ce que nous allons écjaircir en reprenant la plupart des exemples que nous avons déjà traités par la méthode des compléments.
62 TliÉOlllk DBS LOGÂRITâlltlSS.
EtEitPLiE I. Calculer Tetpressioii
