PREMIÈRE PARTIE : «éométrie plftae
Aire du rectangle «ou du paralléiogramme donl on coanatl la base
et la hauteur.
Données.
Formule. Résultat.
S — BXH S=:0«ii,099W442 log B = 4,2642273 log' H — 7,7345598
log' S = 8,9987874 = log' 0,099721 42
Aire du carré dont on connaît le côté.
Donnée.
Formule. Résultat.
S=c« 8=709925-1,3 loge — 2,9256060 loge =2,9256060
log S = 5, 854 21 20 = log 709925, 3
Aire du triangle
dont on connaît la base et la hauteur.
Données.
Formule. Résultat.
log B= 3, 926^910
log H — 4,7622283
cMog 2 — 9,6989700
log 8=5,3874893 =log 244055,9
TaÈOAUC DES LOOA&mmS. •
Aire du triangle dont on coimatt les trois cdtés
Données.
Formole.
Sb= v^p(p— a) (p—5)(p—c)
RéiulUt.
logp =4,4639347
iog(p—o) =0,754 5293
log(p — 6) = 0,8407994
log(p — c) = 0,3035524
logS*=: 3,0598155 log S = 4 ,5299077 =± log 33,87722
Aire du triangle équilatéral dont on connatt le côté.
Donnée.
log 3=0,47742425
formulé.
Résultat.
log a = 0,8796234 log a= 9,8796234
log v^3"= 0,23866062 c» log 4 =9,39794004
log S = 4 ,3967474 = log 24,8744 9
iiiti ■
riT *•
Aire du trapèze dont on oonnait les deux bases et la hauteur.
Données.
Formule.
^ (B+6)XH ^-" 2
Résultat.
S = 0«ï,045«66tè
log'(B+ 6) tt= 9,7473497
log' H ±2 8)7345598
b*l0js2s= 9,6989700
lo^ Ss=8,480a796 =logO,04 54 6629
t>8 THBOttlB DES LOtiÀRlTUMBS.
Aire du Irapèze dont on conoatl les quatre côtés.
Donuéeë. Formole. Réinlut.
p-6— c=U2,46 log(p—a)=4, 2447748
P-.6— ci=439,87 log(p— 6) =2,476544 8
log(p— 6 — c) =2,4527774
log (p — 6— d) = 2,4 457246
log v/"" = 4,0099078
log (0+6) =2,75944 85
cMog (0 — 6) =7, 5497047
log S = 4,3490340=4og 20846,4
Longueur d'une circonférence dont on connattie rayon.
Données. Formule. RésalUt.
R = 0",0005792 C = 2:cR C=0-,003639224
log 2=0,30403000 log :u=0,4974 4987 log' R= 6,7628286
log' C = 7,56400847 = log' 0,003639224
Longueur d'une circonférence dont on connaît le diamètre.
Donnée. Formule. Résultat.
D=4'",00027 C=7cD C=3",f42444
log «=0,4974 4987 log D= 0,0004 4724
' log C= 0,49726744 =log 3,442444
THiORIB DIS LOGARITHMIS.
Longueur d'un arc dont on oooiiatt li graduation et le rayon du cercle.
Données.
Forande.
__icRA__ ffRxi6S2 **"" 480 *~ 480X60
log7c== 0,49744987
log'R= 9, 76267856
log 4652 = 3,24804004
c*log 480=7,74472749
cMog 60=8,22484875
log'o = 9,44444474 = log' 0,2782368
RésnlUU
Rayon d'une circonférence dont on connaît la longueur.
Donnée.
Donnée.
Formule.
Aéinlua.
log C = 0,2533380 cMog 2 = 9,6989700 c* log ic = 9,5028504 3
log' R= 9, 4554 584 3 = log* 0,2852057
Aire du cercle dont on connaît le rayon.
Formule. Résultat.
S = 7cR« S = 479"«,7067
log 75=0,49744987 log R = 4,0919430 log R±=: 4,0949430
1<^ S = 2,68097587 = log 479,7067
Aire du cerde dont on connaît le diamètre.
Donnée, D=0",07923
Formule. Résultat.
log 71=0,49744987 log' = 8,8988897 log' D = 8,8988897 cMog 4 = 9,39794004
log' S = 7,69286928 = log' 0,004930254
70 TliOin DIS UMARITHMIS.
Rayon du eerclê dont oa oonnatt la iiirfaeo.
DoBBte. Formait. Rétnitat.
log S = 2,7386537 c' log9ç = 9,5038504 3
logR* «s 9,24450388 log R = 4 ,4 20754 92 s log 4 3,20544
Diamètre du cercle dont on connaît la surface.
Donnée. Formule. Résultat.
log* S = 7,94200805
log 4 ~ 0,60205999
cMogic = 9,5028504 3
log' D«= 8,04694847 log' D= 9,02345909 =e log' 0,40555024
Aire de l'anneau circulaire, connaissant les rayons des deux circonférences.
Données. Formule. Résultat.
R = 42-578 S = w(R*— î^)=7c(R + r)(R — r) S = 456~i,Tn6 r = 3»,579
R + r = 4 6, 4 57 log tc = 0, 4974 4987
R—r= 8,999 log (R+r) = 4,2083607
log(R — r) = 0,9544943
log S = 2;65970487 = log 456,7776
Rayon d'un cerclé ; différence de deux autres.
Données. Formule, Résultat.
R = 8'»,7592 X = \/R« — r« = v/(R + r)(R — rj x = 8«,747087
R + r = 9,6474 log (R-fr) = 0,9830444
R - r =7,9043 log(R— r) = 0,8976986
loga^ = 4,8807427
log a? = 0,940374 35 = log 8,74 7087
THiORIB PES L06AR1THMJ(S. 71
Aire du seet^ur, eoiifiaifisant aoD angle et le rayon de la circonférence.
Données.
Formule.
Réinltat.
iog 71 = 0,4974 4987 logR = 2,4540556 IogR = 2,4 540556 log a = 2, 25042000 c»log 360 = 7,4436976
logS = 4,49937857 == log 34677,55
Aire de rellipse dont on eonaatt le demi-grand axe et ledemi-petit ase.
Données. Formule. EésqltHi.
a = 4»,6427 S = 7co6 S = i«'ï,626046
log « = 0,4974 4987
loga = 0,24 55583
log'b = 9,9524049
log S = 0,6654 4 307 = log 4, 62504 5
Calcul approximatif du nombre % au moyen des périmètres des poly|;ones réguliers inscrits dans la circoqférenc^ dont le diamètre est 1.
Soit A6 = c le côté d*un polygone régulier 4e n côtéi^ inscFit4ana upn circonférence dont le rayon OC =: R est codqu , auquel cas le périmètre p = no est également connu.
Soit AC = a!; le côté du polygone régulier inscrit d'un nombre double 2 n de côtés, et dont le périmètre ^ = 2n£c doit être exprimé en fonction des quantités données. Soient epfin P \e périmètre (]u polygone régulier circonscrit de n côtés , et r Tapothème OE.
Le triangle rectangle CAD donne
a^ = 2R(R— r), d*oà a3:;=v/|R(R37);
or
72 THÉORIE DKS LOGABITHMES.
d'ailleurs
donc
ou [4J y
Telle est la formule qui va nous servir à calculer le périmètre d'un polygone régulier d'un nombre pair de côtés quand on connaît le périmètre d'un polygone régulier d'un nombre sous-double de côtés. Mais cherchons au préalable' une limite de l'erreur que l'on commet lorsqu'on prend le périmètre p pour la circonférence elle-même C.
La relation C — p < P — p donne
remplaçant r par dia valeur, et posant E = C— p, il vient
ou [2] P^ ' "-
formule d'où l'on tirera la limite de l'erreur B dès que l'on connaîtra p etn. Lorsqu'on veut calculer tc, on fait le diamètre égal à l'unité, d'où R= j, et les formules [4] et [2] deviennent
y/an» (4-^/4
Si d'ailleurs dans cette relation [4] on remplace p par des valeurs plus grandes, l'inégalité aura lieu à fortiori j et l'on obtiendra une limite de l'erreur commise en prenant p pour tc.
La limite ci-dessus peut servir à reconnaître jusqu'où les calculs doivent
THKORIE DES LOGARITHMES. 73
être poussés pour que Terreur tombe au-dessous de rr;^» de r^t par
exemple.
Supposons, pour fixer les idées, que Ton prenne pour point de départ le périmètre du carré inscrit, auquel cas les polygones dont nous calculerons les périmètres seront successivement représentés par les nombres:
dès lors, il suffira de calculer une limite supérieure de n, et de voir entre lesquels de ces nombres elle se trouve comprise ; le plus grand indiquera par son rang une limite supérieure du nombre des périmètres que Ton doit calculer.
On satisfera à /brttort à la condition prescrite K < jrrrrz en posant
iT^rT"^-
et, à plus forte raison, en remplissant la condition
'tà-')^«'
car on a /)< 4 ; 4 étant le périmètre, du carré circonscrit. De cette inégalité on déduit successivement :
et comme on a y/sÔÔÎ > 89, il suffira de poser
74 TQÉOEU DS8 LOGARIT9HI|5.
puis comme celte limite est comprise entre 428 et 256, on peut conclure qu'il sera inutile d'aller au delà du polygone régulier de 356 eôtéa: il est môme probable qu'il suffira de s'arrêter au polygone de 4 28 côtés : on fera donc le calcul du périmètre de ce polygone de 428 cOtés; oi^ wlculera la limite de Terreur commise a Taide de la formule [4], puis op verra p'U pon- 7ient de s'arrêter, ou d'aller jusqu'au polygone de 256 côtés. Effectuons ce calcul par logarithmes : à cet effet, en nous reportant à la
formule [3], nous calculerons ^parlogarithines;nousr9traQcberon8lenom-
bre trouvé de l'unité; poQSc^lpulerpnSâ A -^ ^ par logarithmes ; nqus retrancherons de l'unité, et finalement nous calculerons
Quant au polygone de 4 côtés, nous calculons son périmètre directement. En ce qui regarde l'octogone régulier, nous ne calculons pas ^» car nous avons immédiatement
c'est*à-dire le quart du périmètre du carré.
il convient aussi de remarquer que, dans chaque calcul, il n'est pas nécessaire de chercher log p, puisqu'il est le même que log y, fourni par le calcul précédent.
On peut aussi observer qu'à la rigueur on peut se dispenser de calculer y, puisqu'on n'a besoin que de log y, qui , dans le calcul suivant, devient log p. Mais on a ainsi une espèce de vérification. (On n'a biBsoin de y que pour te polygone auquel op s'arrête.)
Actuellement que la marche des opérations se trouve complètement indiquée , leur exécution par logarithmes ne présente aucune difficulté.
