THEORIE

Let mUMn» 4$ renvoi relaUr's à l'Ariibinëtique ne iiipporteul à nutre Mcunde édîtiou.

g !• Prépriétéfi prtncipaleB des proirr^ABions.

1. DÉFINITIONS. Une progression arithmétique ^ ou progression par differmce, est une suite de nombres tels^ que chacun d'eux surpasse celui qui le précède ou, en est surpassé d'une quantité constante. Celle quantité constante se nomme la raison de la progression , et les (litTérenls nombres dont la suite compose la progression s'appellent les termes de cette progression.

ExEifVLE I. Les nombres h 2, 3, 4, 5,... forment une progression dont la raison est l ; les termes de cette progression sont

Exemple II. Les nombres 11, 15, 19, 23,... sont en progression arithmétique dont la raison est 4.

Exemple III. Les nombres 23, 19, 15, 11,... sont en progression arithmétique dont la raison est 4.

La progression est dite croissante ou décroissante ^ suivant que les termes vont en augmentant ou en diminuant; dans les exemples I et II, la progression est croissante, et Ton peut la prolonger indéfiniment; dans l'exemple III, la progi-ession est décroissante , et Ton ne peut la prolonger qu wtant que la soustraction est possible.

Dans une progression croissante, la raison s'obtient en diminuant un terme de ^on précédent ; dans une progression dc-

croissante, au contraire, la raison s'obtient en diminuant un terme de son suivant,

2. Connaissant le premier terme et la raison d'une progression arithmétique, chaque terme qui suit s'obtient en augmentant ou en diminuant le précédent de la raison, suivant que la progression est croissante ou décroissante : dans ce dernier cas, on s'arrête dès que |a soustraction devient impossible.

5. D'après ce qui précède, dans une progression arithmétique croissante le second terme est égal au premier, plus la raison; le troisième est égal au second, plus la raison , et, par conséquent, au premier plus deux fois la raison; le quatrième est égal au troisième, plus la raison, et, par conséquent, au premier, plus trois fois la raison; le cinquième est égal au premier, plus quatre fois la raison ; et, en général, un terme de rang quelconque^ dans une progression arithmétique croissante^ est égal au premier^ plus autant de fois la raison qu'il y a de termes avant celui que Von considère.

Par un raisonnement semblable, on voit que, un terme de rang quelconque^ dans une progression arithmétique décroissante^ est égal au premier^ moins autant de fois la raison qu'il y a de termes avant celui que Von considère.

4. Si, dans une progression arithmétique croissante, le premier terme est zéro^ chaque terme est un multiple de la raison dont le degré de multiplicité est marqué par le nombre des termes qui précèdent; réciproquement, un multiple de la raison est un terme de la progression , car pour l'obtenir, il suffit de prendre dans la progression le terme qui a autant de termes avant lui que le multiple donné contient de fois la raison.

5. La loi de composition des termes d'une progression arithmétique permet de trouver un terme de cette progression sans passer par tous les termes intermédiaires^ quand on emnait le pre^ mi^r terme et la raison.

Soit à trouver le lO"" terme de la progression dont 3 est le 1^ terme, et 4 la raison.

Je multiplie la raison 4 par le nombre 9 des termes qui prér cèdent celui que je v^ux obtenir; au produit 36 j'ajoute le 1*' terme dontié 3, et la somme 30 est le terme demandé. En

TgEOaiB P«S liOGARlTHMES. 3

effet , si , d'après le n"" 8 , je forme les termes successifs de la progression, j'obtiens 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, qui satisfait aux conditions de la question.

6. On peut encore trouver tous les termes intermédiaires d'uns progression arithmétique dont on connaît le nombre total des ter^ mes 8, et les deux termes extrêmes 4 et 25.

Le nombre des termes intermédiaires inconnus est de 8 — 2 ou 6 ; il 7 a donc 6 + 1 , ou 7 termes avant le dernier 25 ; donc, le dernier terme 25 vaut le premier 4 plus 7 fois la raison ; par suite, 25 — 4 ou 21 vaut 7 fois la raison; divisant 21 par 7, le quotient 3 est la valeur de la raison ; connaissant le premier terme et la raison, J'obtiens immédiatement 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 pour la progression demandée.

Les nouveaux termes 7, 10, 13, 16, 19, 22 sont ce qu'on appelle des moyens arithmétiques insérés entre 4 et 25. En général, insérer un certain nombre de rnoyens arithmétiques entre deux nombres donnés ^ c'est trouver des nombres qui, placés entre ces deux nombres^ forment avec eux une progression arithmétique; par conséquent ,

Règle. Pour insérer un certain nombre de moyens arithméti^ ques entre deux nombres donnés^ on divise la différence de ces deux nombres par le nombre plus un des moyens à insérer; le quotient de cette division est la raison; on forme la progression «n partant du premier des deux nombres et de la rqison.

7. Rbmârqdb. On pourrait n'avoir qu'un seul moyen à insérer entre deux nombres donnés, 11 et 25 par exemple. On retranche 11 de 25; le reste e&t 14; on divise 14 par 1 plus 1, ou par 2 ; le quotient, ou la raison, est 7, et l'on a 11 , 18, 25 pour la progression demandée.

Ce nombre 18, qui surpasse 11 d'autant qu'il est surpassé par 25, est ce qu'on appelle la moyenne arithmétique entre 11 et 25; or, 18 vaut 11 plus la raison, d'une part, et 25 moins la raison, d'autre part; donc deux fois 18 valent 11 plus 25, et une fois 18 vaut la moitié de 11 plus 25 : ainsi 18 est la demisomme des deux nombres 11 et 25; par conséquent, la moyenne arithmétique entre deux nombres ( ou le nombre qui surpasse l'un d'autant qu'il est surpassé par l'autre) est égale à la demi-

somtne de ces nombres. C'est ce que nous ayons déjà eu Poccasion d'établir en arithmétique au n"" 341.

8. Si y entre les termes consécutifs d'une progression arithmétique on insère un même nombre de moyens arithmétiques, la raison est la même dans toutes les progressions partielles; par suite, ces progressions forment une seule et même progression arithmétique.

En effet, pour obtenir la nouvelle raison, on divise par le même nombre (celui des moyens à insérer, plus un) la différence de deux termes consécutifs; or, cette différence est la même dans toute l'étendue de la progression ; donc ces progressions partielles forment une seule et même progression , puisque le dernier terme de chacune est en même temps le premier terme de la suivante.

Exemple. J'insère 3 moyens entre les termes consécutifs de la progression 11, 19, 27, 36, 43,... et j'obtiens la nouvelle progression 11, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 26, 27, 29, 31,

9. Il suit de là qu'en partant d'une progression arithmétique donnée, on peut établir une nouvelle progression dont les termes consécutifs diffèrent entre eux d'une très-petite quantité. Il suffit pour cela que le nombre des moyens soit trèsgrand, car alors la nouvelle raison sera le quotient de la division de la raison primitive par un très-grand nombre; et même, si l'on conçoit que le nombre des moyens à insérer dépasse tout degré possible de grandeur, la différence des termes consécutifs dépassera tout degré possible de petitesse.

10. Définition. Une progression géométrique ou progression par quotient est une suite de nombres tels, que le rapport de chacun d'eux au précédent est un nombre constant.

Ce nombre constant ^e nomme la raison de la progression , et les différents nombres dont la suite compose la progression, s'appellent les termes de la progression.

Exemple I. Les nombres 1, 10, 100, 1000,... forment une progression géométrique dont la raison est 10.

Exemple H. Les nombres 16, 8, 4, 2, l, ^, ^,... forment une progression géométrique dont la raison est {.

THÉORIK DES LOGARITHMES. 5

La progression est croissante ou décroissante suivant que les termes vont en augmentant ou en diminuant : dans le premier cas, la raison est plus grande que funité; dans le second, elle est plus petite gv€ l'unité.

il. Connaissant le premier terme et la raison d'une progression géométrique , chaque terme qui suit s'obtient en multipliant le précédent par la raison.

12. Le second terme d*une progression géométrique est égal au premier multiplié par la raison ; le troisième est égal au second multiplié par la raison ; donc ce troisième est égal au premier multiplié par le carré de la raison ; le quatrième est égal au troisième multiplié par la raison , et par conséquent au premier multiplié par le cube de la raison; le cinquième est égal au premier multiplié par la quatrième puissance de la raison : en général , un terme de rang quelconque d'une progression géométrique est égal au premier multiplié par la raison élevée à une puissance d'un degré marqué par le nombre des termm qui précèdent celui que l'on considère.

15. Si le premier terme d*une progression géométrique est Vunité , chaque terme est une puissance de la raison dont le degré est marqué par le nombre des termes qui précèdent ; réciproquement, une puisî^ance de la raison est un terme de la progression , car, pour Tobtenlr, il suffit de prendre dans la progression le terme qui a autant de termes avant lui qu'il y a d'unités dans le degré de la puissance donnée.

14. La loi de composition des termes d*une progression par quotient permet de trouver un terme quelconque d'une progression géométrique sans passer par tous les termes intermédiaires quand on connaît le premier terme et la raison.

Soit à trouver le 5* terme de la progression géométrique dont 2 est le premier terme, et 3 la raison.

Avant le 6« terme cherché, il y a 4 termes; je forme la 4* puissance de 3, et j'ai 8 1 ; je multiplie 81 par le premier terme 2, et j'ai 162 pour le nombre demandé. En effet, si d'après le n« 11, je forme les termes successifs de la progression, j'obtiens 2, 6, 18, 54, 162.

18. On peut encore ttouver tons les termes intermédiaires d*une progression géométrique dont on connaît le nombre 5 des termes, et les deuûc termes extrêmes 25 et 15625.

Le i^ombre des termes intermédiaires cherchés est 5 — 2 ou 3 ; le nombre des termes qui précèdent le dernier 15625 est donc 3+1 ou 4; mais 15625 vaut le premier 25 multiplié par la 4« puissance de la raison (12), donc Mfy^, ou 625 , vaut la 4* puissance de la raison; par conséquent, j'aurai la raison en extrayant la racine 4* de 625; or, une racine 4* s'obtient par deux racines carrées successives (Arithm,, n* 567); la racine carrée de 625 est 25; la racine carrée de 25 est 5; connaissant la raison 5 et le premier terme 25, j'obtiens 25, 125, 625, 3125, 15625 pour la progression demandée.

Les nouveaux termes 125, 625 et 3125 sont ce qu'on appelle des moyens géométriques insérés entre 25 et 15625. En général , insérer un certain nombre de moyens géométriques entre deux nombres donnés^ c'est trouver des nombres qui, placés entre ces deux nombres f forment avec eux une progression géométrique; donc,

i6. Règle. Pour insérer un certain nombre dé moyens géométriques entre deux nombres donnés, on divise le dernier nombre par le premier; on extrait de ce quotient une racine d*un degré marqué par le nombre ptiis un des moyens à insérer, puis on forme la progression en partant du premier terme, et en prenant pour la raison la racine obtenue.

Exemple I. Insérer 5 moyens géométriques entre 2 et 1458. Je divise 1458 par 2, et j'ai 729 pour quotient; j'extrais la rocine sixième de 729, en extrayant d'abord sa racine carrée, ce qui donne 27, puis la racine cubique de 27 qui est 3 {Àrithm., n*^567); connaissant le premier terme 2, et la raison 3, j'ai 2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458 pour la progression demandée.

Remarque! L'insertion des moyens géométriques est nonseulement plus compliquée que l'insertion des moyens arithmétiques, mais elle peut amener des racines que nous ne savons pas extraire. Qu'il s'agisse, par exemple, d'insérer quatre moyens géométriques entre deux nombres donnés : il faudra extraire la racine 5* du quotient de la division de l'un des nombres par l'autre, ce que nous ignorons quant à présent.

THÉORIE DIS LOGARITHMIS. 7

Toutefois, on petit insérer entre deux nombres donn^ des moyens géométriques dont le nombre dépasse tel nombfe donné qu^on voudra. Il suffit pour cela que le degré de la racine à extraire soit une puissance exacte de 2, afin qu*on puisse trouver la raison par des extractions de racines carrées successives, et que cette puissance de 2 diminuée d'une unité, c*est* &-dire le nombre des moyens , dépasse le nombre donné.

17. Remarque. On pourrait n'avoir qu'un seul moyen géométrique à insérer entre deux nombres donnés, 2 et 32 par exemple; la raison est la racine carrée de 16 ou 4, et j'ai 2, 8, 32 pour la progression demandée.

Ce nombre 8, qui contient 2 autant de fois qu'il est Contenu dans 32 , est ce qu'on appelle la moyenne géométrique entré S ei32; or, f =r^; multipliant le premier membre de Tégalité par 8, puis le premier membre de la nouvelle égalité par 9 , il vient 8' fis 32 X 2 ; par suite , 8 est la racine carrée du produit des deuw ntnnbre$ 2 ^^ 32. Donc, la moyenne géométrique entPB deux nombres donnés est égale à la racine carrée du produit ëê tes deux nombres.

10. Si, entre les termes consécutifs d'une progression géomé^ trique on insère le même nombre de moyens géométriques^ la raisok est la même dans toutes les progressions partielles; par suite f ces progressions forment une seule et même progression géométrique.

En efTct, pour l'obtenir, on extraira une même racine du quotient de la division des termes consécutifs, quotient qui est le même dans toute retendue de la progression ; d'où il suit que toutes ces progressions partielles formeront une seule et même progression, puisque le dernier terme de chacune sera en même temps le premier terme de la suivante.

Exemple. J'insère 3 moyens entre les termes consécutifs de la progression 7, 112, 1792, 28672, 468762,... et j'ai 7, 14, 88, 66, 112, 224, 448, 896, 1792, 3684, 7168, 14336, 28672, 57344, 114688,229376, 468762,...

19. 11 suit de là qu'en partant d'une progression géométrique donnée, on peut établir, soit exactement, soit approximativement, une nouvelle progression dont les termes consécutifs croissent d'une très-petite quantité. 11 suffit pour cela que le

s THEORIE DES LOGARITHMES.

nombre des moyens soit très-grand, car alors la nouvelle raison sera la racine de la raison primitive, mais d'un degré très-grand : cette racine différera donc très-peu de l'unité; par suite, chaque terme sera égal au précédent multiplié par une fraction très-peu différente de l'unité; et même, si Ton conçoit que le nombre des moyens à insérer dépasse tout degré possible (^e grandeur, la différence des termes consécutifs dépassera tout degré de petitesse.

s. Propriété» des lo|pirithsie«.

80. Si l'on compare les propriétés des progressions arithmétiques avec les propriétés des progressions géométriques , on est frappé d'une analogie remarquable :

Aux additions j soustractions ^ multiplications et divisions dans les preinières, correspondent respectivement des multiplications, des divisions, des élévations de puissances et des extractions de racines dans les secondes.

Ce rapprochement se présente avec plus de simplicité quand le premier terme de la progression arithmétique est zéro, et que le premier terme de la progression géométrique est l'unité. Alors chaque terme de la première est un multiple de la raison (4); chaque terme de la seconde est une puissance de la raison (15), et le degré de multiplicité, ainsi que le degré de la puissance, sont chacun déterminés par le nombre des termes qui précèdent. Si donc j'écris la progression arithmétique sous la progression géométrique, de manière que les termes de même rang se correspondent, le degré de la puissance sera égal au degré de multiplicité dans les deux termes correspondants.

Cela posé, si, d'une part, je multiplie deux termes quelconques de la progression géométrique, j'aurai une puissance de la raison qui la contiendra comme facteur autant de fois qu'il y a de termes en tout avant le premier et avant le second des termes multipliés; si, d'autre part, j'ajoute les deux termes correspondants de la progression, j'aurai un multiple de la raison qui la contiendi'a autant de fois qu'il y a de termes en tout avant le premier et avant le second des deux termes ajou-

THiORU DIS LOGARITHMES. 9

tés ; par conséquent, cette puissance et ce multiple seront euxmêmes des teimes correspondants dans les deux progressions. De là cette propeiétè fondamentalb :

Si. S/ deux progressions croissantes ^ l'une géométrique corn" mençant par l'unité j l'autre arithmétique commençant par zérOy se correspondent terme à terme , le produit de deux termes de la première y ei la somme des deux termes correspondants de la «eeonde, sont eux-mêmes des termes qui se correspondent dans ces deux progressions.

Je vois donc que le produit de deux termes de la progression géométrique peut se trouver nu moyen d'une simple addition; il suffit pour cela de chercher dans la progression arithmétique les termes qui correspondent chacun à chacun aux deux facteurs du produit; de faire leur somme, ce qui donnera un terme de la progression arithmétique; de chercher dans la progression géométrique le terme correspondant à cette somme : le nombre ainsi trouvé sera Ip produit cherché.

Telle est l'origine des logarithmes.

S9. DÉriNrnoN. On appelle logarithmes une suite de nombres en progression arithm^étique^ dont le premier terme est 0, corres» pondants terme pour terme à une suite de nombres en progression géométrique^ dont le premier terme est 1. Chaque terme de la première est le logarithme du nombre correspondant dans la seconde.

Au moyen de cette définition , le principe fondamental du n"* Si se traduira :

85. Le logarithme du produit de deux nombres est la somme des logarithmes de ces nombres.

La multiplication ne dépendrait, comme on le voit, que d'une simple addition ; mais cette abréviation serait restreinte aux termes de la progression géométrique considérée.

Pour que le principe pût avoir un avantage pratique général» il faudrait que tous les nombres , entiers ou fractionnaires , pussent faire partie de celte progression géométrique.

24. Concevons deux progressions croissantes, Tune géométrique et Taulre arithmétique , commençant , la première par Tunité, la seconde par zéro; imaginons que Ton insère entre les termes de la première «un très-grand nombre de moyens

10 tBÉOÏlIE DES LOGARITHMES.

géométriques, et entre les termes de la seconde un pareil nombre de moyens arithmétiques ; nous obtiendrons deux nouvelles progressions (8) et (18), et les différences entre les termes consécutifs de la nouvelle progression géométrique seront très-petites; par conséquent, il arrivera de deux choses Tune : ou les nombres sur lesquels on veut opérer se trouveront parmi les termes de la nouvelle progression géométrique, ou chacun de cçs nombres tombera entre deux termes consécutifs très-peu différents Tun de l'autre. Dans ce dernier cas, l'un des deux termes pourra représenter le nombre compris avec un très-grand degré d'approximation ; le terme correspondant de la nouvelle progression arithmétique sera donc , en général , le logarithme d'un nombre très-peu différent du nombre que Ton considère; par conséquent, en appliquant le principe fondamental des logarithmes , Terreur commise sera très- petite, puisqu'au fond le calcul se rapportera à des nombres très-peu différents de ceux sur lesquels on devait opérer. En conséquence, nous dirons que : le logçirithme du produit de deux nombres quelconques (plus grands chacun que l'unité} est la somme des logarithmes de ces nombres.

Cette propriété s'étend à un produit d'autant de facteurs (Jû'on voudra. En effet, un produit de trois facteurs s'obtient en multipliant le produit effectué des deux premiers par le troisième; or, le logarithme de ce produit de deux facteurs est la somme des logarithmes des deux fadeurs; donc, le logarithme du produit final est la somme de celui-là et du logarithme ^u troisième facteur, et, par conséquent^ la somme des logarithmes des trois facteurs. De même, le logarithme du produit de quatre facteurs est la somme des logarithmes des trois premiers facteurs, augmentée du logarithme du quatrième, et, par conséquent, la^omme des quatre logarithmes, et ainsi de suite; donc, le logarithme du produit d*autant de nombres qu'on voudra (et plus grands chacun que Tunité) est la somme des logarithmes de ces facteurs.

28. Si tous les facteurs du produit sont égaux entre eux, le produit est une puissance de l'un d'eux, et la somme des logarithmes des facteurs est le produit de l'un de ces logarithmes par leur nombre; donc, te logarithme de la puissance d'un nom-

THÉORIS DIS LOOARITfllftS. 11

hre (plus grand que runilé) est le produit du togarithme de &t nombre par le degré de la puissance.

26. Dans toute division , le dividende est égal au produit du diviseur par le quotient complet; par suite, le logarittmie du dividende est égal au logarithme du diviseur augmenté du logariliune du quotient; donc, réciproquement, le logarithme d'un quotient (plus grand que Funité) est égal au logarithme du dividende diminué du logarithme du diviseur.

97. La racine d'un nombre élevé à une puissance d'un degré marqué par Tindice de la racine, reproduit le nombre proposé; donc le logarithme de ce nombre est égal au logarithme de la racine multiplié par son indice; donc, réciproquement, le logmrithme d'une racine d'un nombre ( plus grand que l'unité) est Û quotient de la division du logarithme de ce nombre par Vindicê de la racine à extraire.

88. Rsmarque. a Taidé des quatre principes précédents, la multiplicationy la puissance, la division et l'extraction des racines se trouvent dépendre respectivement de l'addition, de la multiplicationy de. la soustraction et de la division, c'est-à-dire d*une opération où la difficulté est moindre. Mais, pour réaliser cette conception f il faudrait avoir deux progressions renfermant un nombre immense de termes ; heureusement on peut simplifler, à Taide de considérations tirées elles-mêmes des propriétés des logarithmes.

J 8. Vaille de lo|p'arlthme««

20. Toutes tes opérations numériques ont pu dépendre jusqu'à présent du calcul des nombres entiers; par conséquent, les opérations faites à l'aide des logarithmes pourront ne dépendre que des logarithmes de ces nombres. Il suffirait pour cela d'avoir deux progressions telles, que la progression géométrique renfermât, du moins approximativement, tous les nombres entiers sur lesquels on aurait à opérer.