On est parti des deux progressions

1, 10, 100, 1000, 10000, etc., 0, 1, 2, 3, 4, etc.,

qui sont, la première, la suite des puissances successives de la base de notre système de numération décimale; la seconde, la suite naturelle des nombres.

Concevons que l'on applique à ces deux progressions ce que nous ayons expliqué d'une manière générale au n"" 24 ; supprimons dans la nouvelle progression géométrique tous les nombres qui ne représentent pas approximativement les nombres entiers2, 3, 4,5,..., Il, 12, 13,..., 101, 102, 103,..., etc., etc., et ne gardons dans la progression arithmétique que les logarithmes correspondants aux termes conservés; prenons même les nombres entiers au lieu des termes qui les représentent approximativement; dressons une table renfermant, d'une part, ces nombres entiers, puis, d'autre part, en regard de chacun d'eux, le terme correspondant de la nouvelle progression arithmétique (ternie que nous prenons pour le logarithme du nombre) ; nous aurons alors une table à colonnes qui nous permettra d'exécuter les opérations indiquées au n° 28.

51. Pour se faire une idée exacte de cette table de logarithmes^ il faut se rappeler que les nombres entiers consécutifs, bien qu'en progression arithmétique, doivent être censés extraits d'une progression géométr ique, et que les logarithmes de ces nombres sont les termes de mémo rang dans une progression arithmétique.

Pour mettre à exécution cette conception , il faudrait insérer un très-grand nombre de moyens entre les termes consécutifs de la progression géométrique, et pareil nombre de moyens entre les termes dç la progression arithmétique.

52. Pour éviter l'extraction des racines de degré supérieur qu'exigerait Tinsertion de ce grand nombre de moyens géométriques, on pourrait insérer d'abord une moyenne géométrique entre tous les termes consécutifs de la première, et une moyenne arithmétique entre les termes consécutifs de la seconde. On aurait deux nouvelles progressions, et les termes de la seconde seraient encore les logarithmes des termes de la première. On recommencerait la même opération , et en continuant ainsi , on aurait deux progressions qui renfermeraient un très-grand nombre de termes insérés entre les termes consécutifs des deux progressions primitives.

THÉORIE DBS LOGARITHMKS. 13

Il est facile de comprendre que la longueur de ces calculs les rendrait impraticables.

Hais , quand on s*attache au calcid du logarithme d'un nombre en particulier, on peut le trouver approximativement en calculant un certain nombre de ces moyennes, et en se contentant de concevoir les autres pour se bien figurer le système des deux progressions.

33. Soit proposé, pour fixer les idées, de calculer le logarithme de 3.

Ce nombre , dans les deux progressions du n"" 30 , tombe entre 1 et 10; donc son logarithme tombe entre le logarithme de 1 et le logarithme de 10, c'est-à-dire entre et 1. J'insère une moyenne géométrique entre 1 et 10; cette moyenne est

v/1 X 10 (17); je la calcule avec trois décimales exactes, par exemple, et je trouve 3,162; la moyenne arithmétique insérée entre et 1 est 0,6 ( 7); donc 0,5 est le logarithme de 3,162; 3 tombe entre 1 et 3,162; son logarithme tombe donc entre et 0,5; j'insère une moyenne géométrique entre 1 et 3,162; j'obtiens 1,778; la moyenne arithmétique insérée entre et 0,5 est 0,26; donc 0,25 est le logarithme de 1,778; 3 tombe entre 1,778 et 3,162; son logarithme tombe donc entre 0,26 et 0,6; insérant, d*une part, une moyenne géométrique, et d'autre part , une moyenne arithmétique , je trouve que 0,376 est le fogarilhme de 2,371. En continuant ainsi à extraire des racines carrées, et à faire des divisions par 2, je vois que 3 se trouvera resserré entre deux moyennes géométriques extrêmement peu diflTérentes Tune de Tautre : la moyenne arithmétique correspondante à Tune d'elles exprimera le logarithme de 3 avec une grande approximation. Il ne faut pas perdre de vue que ces raisonnements supposent les progressions complétées par les moyennes non calculées.

Dans ces opérations, on s'arrêtera dès qu'on aura trouvé deux moyennes géométriques comprenant le nombre 3, et différant Tune de l'autre de moins d'un millième.

Voici le tableau des opérations :

3 est reproduit à moins de un demi*centième par l'une des deux moyennes 2,999 et 3,002; on peut donc prendre pour son logainthme 0,4769 ou 0,4774. Ces deux nombres diffèrent de moins de 0,001 , ils diffèrent donc de L.3, qui est intermédiaire, de moins de 0,001, par conséquent; en prenant 0,477 qui diffère de chacun d'eux de moins de 0,001, je pourrai dire que 0,477 est le logarithme cherché à 0,001 près *.

54. On peut encore abréger la consti^ction de la table. H suffit de calculer las logarithmes des nombres premiers ^ car le principe fondamental donnera le moyen d'obtenir les loga-

* L'existence du logarithme de 3 peut être établie comme celle de la ra,cine carrée d'un nombre qui n'est pas un carré parfait; il suflit pour cela d'imaginer que l'on continue indéfiniment la méthode d'approximation que je viens de décrire.

T0ÉORI8 PES LOGARITHMSS. 15

rithmes des nombres composés. Le logarithme de 40 > par exemple, vaut 3 fois le logarithme de 2, plus le logarithme de 5.

38. Remarque. Bien que cette manière de calculer les loga-^ rithmes soit déjà plus simple que la méthode indiquée au n* 30, les opérations seraient encore extrêmement longues. C'est par des procédés beaucoup plus abrégés (qui ne sauraient trouver place ici) que les tables actuellement en usage ont été construites ; mais les idées très-simples qui précèdent suffisent pour en donner rinlelligence*

De la caractéristique.

36. Les puissances de 10 sont les seuls nombres dont les logarithmes sont des nombres entiers, et les logarithmes de ces puissances contiennent autant d'unités qu'il y a de zéros dans la puissance. Tous les autres nombres ont pour logarithmes des nombres décimaux dont la partie à gauche de la virgule qui est significative ou nulle, s'appelle la caractéristique du logarithme.

D'après les notions générales exposées précédemment, tous les nombres entiers ou fractionnaires compris entre 1 et 10 ont leurs logarithmes compris entre et 1 ; par conséquent^ la caractéristique de ces logarithmes est 0* Tous les nombres corn** pris entre 10 et 100 ont leurs logarithmes compris entre l et 2; ces logarithmes ont donc 1 pour caractéristique. De même, l^s logarithmes des nombres compris entre 100 et 1000 ont 2 pour caractéristique, et ainsi de suite. En général,

37. La caractéristique du logarithme d'un nombre quelconque y entier ou fractionnaire ^ est égale au nombre des chiffres moins un de la partie entière de ce nombre. La caractéristique plus un du logarithme d'un nombre indique donc l'ordre des plus hautes unités de la partie entière de ce nombre.

38* D'après le principe fondamental, si Ton multiplie ou si Ton divise un nombre par une puissance de 10, on augmente ou on diminue la caractéristique du logarithme de ce nombre d'au* tant d'unités qu'il y en a dans le degré de la puissance.

Réciproquement , si Ton augmente ou si Ton diminue la caractéristique du logarithme d'un certain nombre d'unités, on

multiplie ou l'on divise ce nombre par une puissance de 10 d'un degré marqué par le nombre des unités ajoutées ou retranchées. Donc,

39. Tous les nombres de même figure tmt des logarithmes dont la partie décimale est la même^ et gui ne diffèrent que par la caractéristique.

D'après cela , on comprendra {acilement renchainement des nombres suivants :

etc. etc.

Réciproquement ,

2,7735670 = log 593,7 1,7735670 = log 59,37 0,7735670 = log 5,937

Cette propriété des logarithmes est mise à profit dansles tables :

40. 1^ Il est inutile d'y inscrire les caractéristiques, puisqu'on les aperçoit à la seule inspection des nombres.

2" Si l'on veut une table qui renferme les logarithmes de tx)uslês nombres entiers, depuis 1 jusqu'à 100000, il est inutile d'y inscrire les nombres au-dessous de 10000, car le logarithme de 4537, par exemple , aura la même partie décimale que le logarithme de 45370.

Les notions qui précèdent suffisent pour faire bien comprendre la disposition àQ%Xdih\t%,