Disposition des tables de Callet
41. Les tables de Callet comprennent trois parties principales :
hdi première y sous le titre de Chiliade 1 *, renferme les 1200 premiers nombres en regard desquels se trouvent des nombres de 8 figures qui représentent les parties décimales des logarithmes; les caractéristiques n*y sont point inscrites.
* Qui signifie premier mille ; mais il y a 200 nombres de plus , puisque la Chiliade va Jusqu'à 1200.
THiORIE DBS LOGARITHMBS. 17
La seconde donne directement avec 7 figures les parties décima* les des logarithmes des nombres de cinq chiffres, depuis 10200 jusqu'à 100000; elle finit au milieu de la page qui porte en tétc hors du cadre l'indication N 096.
Enfin, la troisième commence dans la page que je viens d'indiquer , et donne immédiatement aTec 8 figures les parties décimales des logarithmes des nombres de 100000 à 108000.
I'* Partie. La Chiliade I déroge à la remarque II' du n"" 40, mais elle aTavanlage de donner les logarithmes des 1200 premiers nombres avec 8 figures au lieu de 7 , et par conséquent avec une plus grande approximation. Ces 1200 nombres sont disposés dans chaque page en quatre colonnes , en haut desquelles on voit la lettre N. Â côté et à droite de ces colonnes, on en trouve d'autres qui renferment des nombres de 8 chiffres ; ce sont les parties décimales des logarithmes des nombres placés à gauche et sur la même ligne.
D'après cela , on voit immédiatement que : . ^
log 58 = 1,76342799 log 534 = 2,72754126 logl200 = 3,07918125
411. n* Partie. Cette seconde partie est véritablement le fond de la table. Les deux premières colonnes sont étrangères à notre sujet.
Cette deuxième partie, dont la disposition est toute différente 'de là précédente, commence à la page N 102; elle renferme tous les nombres de 5 chiffres depuis 10200 jusqu'à 100000, ainsi que la partie décimale de leurs logarithmes avec 7 figures. Les colonnes intitulées N contiennent les 4 premiers chiffres^ de ces nombres; le chiffre des unités se trouve au commencement de chaque pa^e parmi les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que l'on voit inscrits dans une même ligne h la suite de la lettre N. La même disposition est répétée à la fin de chaque page. Le chiffre des unités qui est lu en télé de chaque colonne doit être rapproché par la pensée de la co-* lonne N, afin d'avoir des nombres de 5 chiffres.
La colonne se distingue des autres en ce qu^elle est divisée elle-^méme en deux colonnes : dans la première, se trouvent des
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nombres de trois chiffres disposés de place en place, plus ou moins espacées, et, dans la seconde, des nombres de 4 chiffres.
Un nombre de 5 chiffres a ses dizaines exprimées par un nombre de la colonne N ; si le chiffre de ses unités est 0, son logarithme ne compose du nombre de 3 chiffres pris à côté ou mu-'demtus dans te colonne 0, le plus pris possible, et du nombre de 4 chiffres de ia même colonne, qui est vis^à^yis des quatre premiers chiffres du nombre proposé.
Si le chiffre des unîtes est 1, voici ce qu'indique la table : il faut prendre les quatre chifflres qui se trouvent dans la colonne intitulée 1, vis-à-vis des quatre premiers chiffres du nombre donné (si la place est vide, on prend les quatre chifftres au-dessous). Ces quatre chiffres doivent être précédés des trois chiffres de la colonne N qui sont à leur gauche, ou, si la place est vide , des trois qui sont au-dessus de cette place vide.
Semblablement , si le chiffre des unités est 2,3, 4,-.., 9, les quatre derniers chiffres du logarithme se trouvent sur la même ligne horizontale, et dans les colonnes intitulées 2, 3, 4,..., 9; on voit donc que cette partie de la table est une table à double entrée^ puisqu'on lit les dizaines dans la colonne N, et les unités dans la ligne 0, 1, 2, 3,..., 9.
Les trois premiers chiffres qui, dans une page, commencent une colonne intitulée N, sont inscrits en dehors du cadre ^ et on les a fait précéder de la lettre N; pareillement, et aussi en dehors du cadre, se trouvent placés les trois premiers chiffres des logarithmes qui commencent la page, et que Ton voit précédés de la lettre L. La recherche du logarithme d'un nombre, ou d'un nombre correspondant à un logarithme, se trouve facilitée par cette indication extérieure.
Cela posé, j'ouvre la table à un endroit quelconque de te deuxième partie, à te page, par exemple, qui porte en dehors du cadre l'indicaiion N 756. Je fixe mon attention sur le nom* bre 7d99 de te colonne N, et sur le chiffre 6 de te première ligne, auquel oas le nombre en question (pris d'ailleurs au hasard) est 75698. La partie décimale du logarithme de ce npmbre se compose des quatre chiffres 0844 que je trouve sous le chiffre 8 de te première ligne, et vis-à^-vis des dizaines du nombre, précédés des trois chiffres 879 que je trouve dans la première colonne à gauche de 0844 et le plus proche en re-
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montant. Quant à la caractéristique, elle est 4, parce que les plus hautes unités du nombre sont du cinquième ordre , en sorte que 4,8790i44 est le logarithme de 75698.
On trouve le plus ordinairement les quatre derniers chiffres de la partie décimale du logarithme sous le chiffre des unités Yis-à-tis le nombre de quatre chiffres qui exprime les dizaines. Or, souvent dans la table, on trouve un espace btànc au lieu de ce nombre. Dans ce cas, on lit les quatre chiffres immédiatement au^essous du blanc , et les trois premiers se trouvent, comme Je l'ai déjà dit, dans la première partie de la colonne , sur la même ligne que les quatre derniers.
K , par exemple, j^ouvre la table à la page N 246, je vois que
log 25177 = 4,4010040 , et & la page N 528,
iog52969=: 4,7240218.
4S. m* Partie. La dernière partie de la table qui, je ie répète, commence à la page N 996 , a exactement la même c^ position que la précédente ; elle n'en di£fère qu'en ce que les dizaines des nombres dont on cherche les logarithmes, sont exprimées par cinq chiffres au lieu de quatre, et que les parties décimales de ces logarithmes renferment 8 figures au lieu de 7. Les quatre premières décimales se trouvent dans la première des deux parties de la colonne 0; les quatre dernières soiit rangées comme dans la seconde partie de la table. Ainsi, j'ouvre la table à la page N 1068 , et je vois que 106809 a poiir logarithme 5,02860785.
44» Avant d'aller plus loin, je ferai remarquer une propriété fondamentale de la table.
J'ouvre cette taUe à la page qui porte en dehors du cadr^ Tindication N 726, et je vois que la différence des logarithoiss des nombres ^itiers consécutifs de cinq chiffres qu'elle renferme, est constamment 60 jusqu'à la moitié de la page suivante. (Du moins, au degré d'approximation des logarithmes tabulaires, elle est constamment 60 depuis 72600 jusqu'à 73459 environ). Ainsi, au degré d'approximation de la table, pour des différences égales entre les nombres, on a des différences égales entre les logarithmes; d'où il suit que les diffé^
20 THÉ0R1£ DES LOGÀRITHMBiS.
rences entre les nombres sont proportionnelles aux différences des logarithmes qui leur correspondent.
Par exemple, la différence 3 entre les nombres 73167 et 73164 est triple de la différence 1 entre 73167 et 73164, et en même temps la différence 178 des logarithmes des premiers ne diffère que de 2 unités de 180 triple de la différence 60 des logarithmes des derniers, et encore faut-il peut-être forcer 178 de 1 pour être plus près de la vraie différence.
Quand on prend la différence entre les logarithmes des nombres 73165 et 73164, on a 0,0000060, qui est le logarithme du quotient ^{^ ou de* l+rshi* De même, on trouve avec la table que 0,0000060 est le logarithme du quotient ^\ii ou de 1H-73TS5* Ces logarithmes égaux ne correspondent donc pas à des nombres parfaitement égaux; conséquemment, l'égalité des différences des logarithmes ne répond pas exactement à Fégalité des différences entre les nombres ; par suite, la proportiojinalité qui s'en déduit n'est elle-même qu'approchée.
Hais plus les nombres sont grands , plus les fractions y^l^^ , Tïhs > Tsms > sont petites en même temps ; d'où il suit qu'il y a moins d'erreur relative à les prendre les unes pour les autres. Donc,
La proportionnalité des différences entre les nombres aux différences entre leurs logarithmes est d'autant plus approchée que les nombres considérés sont plus avancés dans la table.
On reconnaît, en effet, qu'en remontant vers le commei^cement, on trouve, entre les logarithmes des nombres consécutifs, des différences de plus en plus inégales. Lors donc qu'on voudra faire usage de la proportionnalité énoncée , il faudra préparer les nombres de manière qu'ils soient le plus près possible de la fin de la table. Ces considérations trouveront leur application dans ce qui suit.
§ 5« Usagre des tables.
AS. La {Nremière des trois parties dont nous avons successivement parlé est d'une application immédiate. La seconde, qui st la plus étendue, est celle dont on fait le plus d'usage. Occupons-nous-en d'abord.
THÉOEH DB8 LOOÀllTHMIS. %\
Deux questions principales se présentent : mu nombre étant donné, trouver son logarithme; réciproquement, nn logarithme étant donnée trouver le nombre qui lui correspond.
Trouver le logarithme d'un nombre.
