CHAPITRE ONZIEME

l'expression suivante :

a (/' -hc)(n-h P') (jr^ -h log — ml.

D'un autre côté, la résistance se compose alors de la charge utile p de la maîtresse pompe, mesurée par unité de la surface du piston, et rapportée à la vitesse du piston, c’est-à-dire en tenant compte des bras de levier de la pompe et du piston relativement à l’axe du balancier; du contre-poids que nous exprimerons par II, en le supposant réparti par unité de la surface du piston; de la pression p subsistant sous le piston, eu raison de la condensation imparfaite de la vapeur; et enfin du frottement f' ■+- S (p' -+- II) de la machine chargée de la résistance p' -+- 11, en appelant f' le frottement de la machine non chargée, et <5 l’accroissement que subit ce frottement par unité de la charge, accroissement qui est également produit par le poids du contre-poids. Nous entendons ici par frottement de la machine non ehargée, non-seulement son frottement propre, ou l'effort nécessaire pour mouvoir les divers joints et surfaces frottantes du mécanisme, mais encore toutes les résistances non comptées dans l'effet utile, comme l'effort nécessaire au travail de la pompe d’eau froide pour condenser la vapeur, de la pompe d’eau chaude pour alimenter la chaudière, et autres pompes indispensables à l'action de la machine et qui seraient mises enjeu dans cette course.

D’après ces notations, le travail exécuté pendant la course par l'ensemble de ces diverses résistances sera donc

[( 1 -H <5j (f -f- II) -h p H-/*] al.

Par conséquent on aura la relation

«(/'-l-e)(/t-t-P') (/+c+l°g7'^c) — n«f=[(i -t-i)(p'-hn)->-p-hf']al.

et en écrivant, pour simplifier,

1' ‘ il *

k - r^c +■ lo& T^Tt

MACHINES DE WATT A SIMPLE ACTION. 4oi)

l’expression obtenue plus haut deviendra

Ce sera donc la première des relations cherchées, entre les données et les inconnues du problème.

2°. Pour avoir maintenant la relation pareille pour la course montante, il faut exprimer que la même égalité y existe entre les quantités d’action développées par la puissance et par la résistance.

Or la puissance est ici le contre-poids; et la résistance se compose de l’opposition exercée par la vapeur après la clôture de la soupape d’équilibre, de la résistance opposée par la pompe préparatoire, ordinairement mise en jeu dans cette course, et qui sert à élever l’eau du puits dans le réservoir de la maîtresse pompe, et enfin du frottement de la machine.

Nous entendons également ici par frottement la somme de toutes les résistances non employées à l’effet utile, que doit surmonter la machine pour opérer son mouvement; c’est-à-dire, non-seulement le frottement des divers joints du mécanisme, mais encore l’effort nécessaire au travail de la pompe d’air et de toute autre pompe de service qui pourrait être mise en jeu dans cette course; et nous y comprenons aussi la résistance toujours très-petite exercée contre le piston par les gardes du mouvement, lorsqu’ils sont frappés par le balancier à la fin de la course. Le frottement de la machine non chargée, dans la course montante, n’est donc pas exactement le même que le frottement de la machine supposée non chargée dans la course descendante, et nous l’exprimerons en conséquence par f" , au lieu de J'.

Cela posé, la quantité de travail développée par le contre-jHiids durant la course est

Celle qui est développée par le frottement f” et par la pompe préparatoire f est

f” al p" al;

car on doit remarquer que la pompe préparatoire, étant mise en jeu

CHAPITBE onzième.

4io

par l’action directe et immédiate du contre-poids et sans l’intermédiaire du balancier, ne cause par elle-même aucun frottement additionnel de la machine. Enfin, quanta celle qui est développée par la résistance de la vapeur, elle exige un court calcul, analogue à celui qui a été fait déjà pour la détente.

Pendant le mouvement ascendant du piston, et avant la clôture de la soupape d’équilibre, la pression de la vapeur située au-dessus du piston est nécessairement un peu plus considérable que celle de la vapeur située au-dessous, puisque c’est en vertu de la différence entre ces deux pressions que la vapeur s’écoule d'un côté à l’autre . Cependant, comme cette différence est toujours très-faible quand la soupape d’équilibre est suffisamment large, et qu’on peut par conséquent la négliger sans erreur, nous supposerons ici que, jusqu’au moment de la clôture de la soupape d’équilibre, le piston se trouve en équilibre dans la vapeur, c’est-à-dire se trouve pressé également sur ses deux faces.

Or, pendant tout le temps que la soupape d’équilibre reste ouverte, les deux parties du cylindre se trouvent occupées par la vapeur qui a subi la détente dans la course descendante antérieure. Cette vapeur, au moment où elle est arrivée dans le cylindre, avait la pression ly, et elle occupait la longueur (/' -t- c) du cylindre. En ce moment, elle se trouve répandue dans la totalité du cylindre, y compris les deux espaces libres que ne parcourt pas le piston. Donc, d’après la relation (c) démontrée entre les volumes et les pressions d’un même poids de vapeur pendant son action dans les machines, chap. IV, art. II, §1, la pression delà vapeur, après sa dilatation dans les deux parties du cylindre, est devenue

En outre, soit !" la longueur déjà parcourue par le piston dans sa course montante, au moment où l’on ferme la soupape d’équilibre. A partir de ce point, le piston continuant encore son mouvement en vertu de sa vitesse acquise et de l’effort du contre-poids, la vapeur enfermée au-dessus, et qui ne peut plus s’échapper, prend par la com-

MACHINES DE WATT A SIMPLE ACTION. 4l>

pression une force élastique de plus en plus grande; et celle qui existe au-dessous en prend au contraire une de plus en plus petite .

Soit donc le piston parvenu à la distance A du commencement de sa course, et soient en ce point W la pression de la vapeur inférieure au piston, et ns' celle de la vapeur qui lui est supérieure. Supposons alors que le piston parcoure de plus un espace élémentaire dh, le travail correspondant, produit par la résistance de la vapeur, sera

(<sr — *3") atl\.

Mais comme les pressions ns et ns" , qui ont lieu dans les deux parties du cylindre, résultent des espaces respectivement occupés par la vapeur, soit au-dessus, soit au-dessous du piston, et qu'à l’origine de cette compression et de cette dilatation de la vapeur, les deux portions considérées du cylindre étaient remplies de vapeur à la pression 'a, on aura encore, entre les pressions et les volumes respectivement occupés par la vapeur, la relation

Donc le travail élémentaire ci-dessus sera

(•'— ) «<& = a(n-h*>) [(/ — f + c) tJ\K+c — (l" -h c) j^-j.

Ou bien, en mettant pour «sa valeur donnée plus haut, cette expression deviendra

(•'- «O adx = aÇ±£ («H- F) [(l-r+c) ^ - {^c)î~\-

Actuellement, comme cet effet de compression d’un côté, et de dilatation de l’autre, se produit depuis la longueur l" du cylindre jusqu’à la lin de la course, en prenant f intégrale de oette expression entre les limites l" et l, on aura la quantité de travail total développée

Sa,

4l2 CHAPITRE ONZIEME.

par la vapeur dans son action résistante contre le piston, savoir,

« (« + F) \(l — 1“ ■+■ c) 1ok 1 lc+c- ~ (*"+ c) lo8 •

Mais si Ton fait, pour abréger,

r=-~-t-fiog/-r+c.

/" 4- c l -f- ac

on pourra écrire l’expression précédemment obtenue sous la forme k"al (n -H ly)

C’est donc l’expression du travail produit par la compression de la vapeur; et l’on remarquera que si, dans une machine de ce système, on ne fermait la soupape d'équilibre qu’à la lin de la course, ce cas ne se trouverait pas moins compris dans la formule, puisqu'il suffirait alors de faire l" = /, ce qui donnerait k" = o; et alors le travail produit par la compression de la vapeur serait nul pour ce cas particulier.

Ainsi, en se reportant à ce qu’on a dit plus haut du travail exécuté pendant la même course, par le contre- poids, la pompe préparatoire et le frottement de la machine, on trouvera que l’égalité entre l’action développée par la puissance et celle développée par la résistance, pendant la course montante du piston, produit l’équation

k" at(n P') -+• fui -+- p al = n al,

C’est donc la seconde relation entre les données et les inconnues du problème.

3°. Knfm, pour obtenir la troisième relation, exprimant l’égalité entre la dépense et la production de vapeur, il faut observer qu’il ne se condense, et par conséquent qu’il ne se dépense, à chaque coup

MACHINES DE WATT A SIMPLE ACTION. 4l3

«le piston, que la vapeur «pii, pendant la course remontante, est passée au-dessous du piston ; car celle qui a été interceptée au-dessus se trouve refoulée vers la chaudière et sert à la course suivante.

Or la pression de la vapeur qui doit être condensée, prise au moment où l’on en fait la séparation, est donnée par l'équation

En outre, le volume de cette vapeur «jui doit être condensé à chaque coup de piston est

S’il se donne un nombre M de coups de piston par minute, le volume de œtte vapeur dépensé par minute sera donc

Ma (/' -+- c).

Mais V étant la vitesse moyenne du piston, ou l’espace qu’il parcourt dans une minute, tant en montant qu’en descendant, on aura V=aM/; ou bien si, pour se conformer à l’usage adopté avec raison pour ces machines, on ne compte que l’espace v parcouru par le piston en produisant l'effet utile, espace qui est moitié de celui parcouru par le piston dans les deux courses, on aura

v — M/, ou M = y

Donc le volume ci-dessus, dépensé par le cylindre, pourra être exprimé par

f+c av — j —

D’un autre côté, si l’on représente par S le volume d’eau vaporisé par minute dans la chaudière, le volume de vapeur qui en résultera sous la pression P de production sera, d’après ce que nous avons vu, cliap. 11, art. I, § VI,

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