Lorsque les poids sont soutenus et manœuvres sur

DES MACHINES SLMPLES. i65

un tambour ou sur une poulie par des chaînes , au lieu de l'être par des cordes, le frottement des chaînons qui se plient pour envelopper la poulie, produit une résistance analogue à la roideur des cordes. Dans la fig. 20, nous supposons la chaîne composée d'une très grande quantité de chaînons : chaque chaînon est Ué au chaînon voisin, au moyen d'un axe : le n® 2 de laj%. 20 représente un chaînon vu de champ. Si l'on suppose que ce soit le poids P' qui entraîne le poids P, la pression qu'éprouve l'axe du chaînon en a, qui correspond au diamètre horizontal de la poulie, sera égale au poids P, et

le frottement de cet axe sera ^, tz étant la quantité constante

qui mesure le rapport de la pression au frottement. Si r est le rayon de l'axe du chaînon, le momentum du frottement

du poids P, relativement à cet axe, sera — ; ainsi il faut, pour

satisfaire à cette condition, qu'en élevant une verticale par le centre de gravité du poids P, elle rencontre le diamètre horizontal CR de la poulie en un point^ tel que l'on ait toujours

V .af——, a étant le centre de l'axe : ainsi, si P' est tel que

l'on ait (P' — V)Ca—V.af^—y le mouvement pourra être

continu, et l'on aurait, dans ce cas, pour le frottement d'un des côtés de la chaîne, en nommant R le rayon de la poulie,

augmenté de la moitié de l'épaisseur de la chaîne, P'— P= ^;

mais conmie il faut vaincre le frottement des axes des chaînons des deux côtés de la poulie, l'on aura très approchant

(P' — P) = ^. Ainsi, la résistance due au frottement des chaînons sera proportionnelle au produit de la tension par l'axe des chaînons, divisé par le rayon de la poulie, augmenté do la moitié de l'épaisseur de la chaîne.

i64 THÉORIE

II y a ici une analogie entre les résistances produites par le frottement des axes des chaînons^ et celles trouvées pour la roideur des cordes très flexibles^ qui pourrait peut-être avoir quelque utilité dans la théorie de la roideur des cordes.

SECTION DEUXIÈME

^application des Expériences qui précèdent au calcul des

Machines.

i5o. Dans le premier Livre de ce Mémoire, nous avon^ déterminé le frottement d'un traineau mené par une puia^ sance parallèle au plan de contact, et nous avons fait glissa successivement y l'une sur l'autre, des sur&ces de différentes natures et de différentes étendues : dans le deuxième Livre, nous avons déterminé le frottement des axes, et la roideur des cordes pliées sur différens rouleaux : dans les observations que l'on trouve jointes à nos expériences, nous avons été obligés^ pour les réduire, de calculer les différentes machines qui ont servi à nos épreuves. L'objet de cette Section se trouve donc déjà en partie rempli : ainsi il ne nous reste qu'à chercher des formules générales qui puissent s'appliquer à toutes les machines d'usage dans la Marine.

Nous allons d'abord commencer par le calcul du plan incliné, en supposant que la force qui élève un corps sur ce plan a une direction quelconque r nous calculerons après cela les machines de rotation, et principalement le palan, composé d'un nombre de poulies quelconques, en supposant que la direction des cordes soit verticale, et en faisant entrer dans le calcul le frottement et la roideur des cordes : nous chercherons ensuite la théorie de ces mêmes machines, en supposant que les puissances agissent suivant dea directions quelconques :

DES MACHINES SIMPLES. t65

nous appliquerons les formules qui résulteront de notre théorie au Cabestan.

Théorie du plan incliné.

i5i. Le pldn incliné^ représenté par la ligne CB(^^ 21)^ forme^ avec la ligne horizontale CA^ un angle n.

La direction de la corde TF forme en D, avec le plan incliné^ un angle m.

Le poids du traîneau chargé est P.

La tension de la corde TF est T.

Décomposons ces forces en deux autres^ Pune parallèle «u plan incliné^ et Fautre qui lui soit perpendiculaire^ nous aurons :

Force suivant BC, dépendante du poids P. . . . P sin n.

Force suivant BC^ dépendante de la tension T. . T cos m.

Force perpendiculaire à BC^ dépendante de P. . . P cos 72.

' Force perpendiculaire à BC, dépendante de T. . T sin m.

G)mme nous avons trouvé, dans le premier Livre, que le frottement du trdneau, une fois en mouvement, est égal à une petite constante dépendante de la cohérence des surfaces, plus à une partie constante ^ de la pression, nous aurons, dans le cas d^un mouvement uniforme très lent,

H = T cos m — P sm n, d où

m A^+P(C 08 n+fêi\n n)

"" ^cos/n-f-sinm

Cette formule estsuffîsante dans la pratique, quels que soient les degrés de vitesse et de pression,lorsqueles bois frottentsans enduit sur les bois, ou les métaux sur les métaux; mais lorsque les bois frottent sur les métaux^ la quantité /i diminue

i66 THÉORIE

iin peu à mesure que la vitesse augmente : Ton trouve, dans les expériences du premier Livre, toutes les données nécessaires pour déterminer cette quantité /jl, suivant la nature des surfaces^ l'ancienneté et la nature des enduits , et suivant le degré de vitesse.

Si, dans la formule qui précède, en supposant Pangle n du plan incliné constant. Ton voulait faire varier l'angle m, ou, ce qui revient au même, la direction de la corde qui soutient le traîneau, de manière que la tension T fût un îmrdniMm,

l'on aurait i^= ^?^. Si, dans la formule, l'on fait tz et ot= o .

l'on aura T = A h- - ; c'est le cas du traîneau tiré horizooh

talement sur un plan horizontal ; c'est le cas de toutes les expériences du premier Livre.

PREMIÈRE REMARQUE

162. Nous avons vu, par les expériences du premier Livre, qu'il y a deux espèces de frottement; celui qu'il faut vaincre pour détacher le traîneau après un certain temps de repos, et celui du traîneau une fois en mouvement. Nous avons trouvé que, dans les bois glissant sur les bois, le premier genre de frottement est toujours beaucoup plus considérable que le dernier : dans le chêne, par exemple, glissant à sec sur le chêne, il est à peu près comme 4 à 1 ; ainsi, toutes les fois que le traîneau s'arrête, il faut employer un grand effort pour lui faire reprendre son mouvement. Cet effort est aussi nuisible aux hommes qu'aux machines dont il délie bientôt toutes les parties. Il faut donc, autant qu'il est possible, que, dans cette espèce de frottement, les agens puissent produire un mouvement continu, ou au moins il faut que, par quelques moyens asse? simples, l'on puisse ébranler et dé-

tacher les surfaces après un certain temps de repos. Dans les expériences du premier Livre ^ je faisais souvent glisser mon traîneau à force de bras sous de très grandes pressions; mais toutes les fois que le traîneau s'arrêtait, les forces de deux hommes que j'employais n'auraient pas été suffisantes, si je ne les avais aidés en détachant le traîneau d'un coup de mar^ teau. Il y a des cas où l'on pourrait faciliter l'ébranlement du traîneau, en le faisant porter {Jig* 22) par une courbure convexe sur le plan incliné : car, pour lors, au moindre ébranlement, il roukrait sur cette courbure; mais, si l'on ne veut pas employer ce moyen , et que, par la destination de la marine, l'on se trouvç nécessité d'arrêter souvent le mouvement des traîneaux, il faudra se conformer aux expériences du premier Livre, et ne mettre en contact que des surfaces qui puissent se détacher aisément l'une de l'autre; telles sont, par exemple, deux surfaces hétérogènes, comme les bois et les métaux; tels sont aussi les métaux glissant sur les métaux avec enduit de suif.

Ile REMARQUE.

i53. Les dififérens résultats trouvés dans -notre premier Livre, pourront peut-être servir à perfectionner une des opérations des plus importantes de nos ports; c'est celle de lancer les vaisseaux à l'eau sur un plan incliné : cette ma-nœuvre s'exécute ordinairement en soutenant le bâtiment par un assemblage de charpente et de cordage que l'on appelle son berceau; deux pièces de bois posées parallèlement à la quille, et à peu près de même longueur, servent de base au berceau. Ces deux pièces de bois sont posées et glissent sur un chantier très solide et très uni , formé par des lits de pièces de bois qui se joignent et qui sont posées perpendiculairement à la direction de la quille : ce chantier est couvert, dans tous

i68 THÉORIE

les points où la base du berceau doit glisser^ d'un enduit de suif très épais; on donne au chantier une inclinaison du côté de la mer^ qui est rarement de moins de lo lignes par pied et de plus de i4 lignes^ ce que Ton fait dépendre du plus ou moins de pesanteur du vaisseau : dans cette opération^ les surfaces de contact sont souvent chargées de plus de 7000 livres par pied carré.

La grande quantité de suif dont le chantier est enduit^ les difiTérentes accores et les clefs qui soulèvent le vaisseau^ et que ]^on ne fait sauter que dans l'instant où Ton veut le mettre à l'eau, empêchent que le plan des deux pièces de bois qui forment la base du berceau , et qui doit glisser sur le chantier, ne s'engrène dans la surface de ce chantier; le vaisseau part ordinairement tout seul par le seul ébranlement qu'il éprouve en coupant deux gros câbles qui le soutiennent au sommet du chantier. Il est absolument nécessaire, pour le succès de cette opération , que la couche de suif interposée entre la base du berceau et le chantier, soit très épaisse, très pure, et que le suif ait beaucoup de consistance : quelquefois l'on met sur le suif un second enduit de vieux oing; mais il parait, par toutes nos expériences, que ce procédé est vicieux , que le vieux oing ne fait que ramollir le suif, accélérer le rapprochenient des surfaces, et augmenter le frotlement.

Lorsqu'une fois le vaisseau est en mouvement, il paraîtrait, d'après Vart. 63 et suivans, que le frottement des bois enduits de suif n'étant que le vingt-septième de la pression, et l'inclinaison du plan étant toujours au moins de 10 lignes par pied, le vaisseau devrait s'accélérer avec beaucoup plus de rapidité; c'est aussi ce qui arrive presque toujours; mais cependant, quelquefois il s'arrête au milieu de sa marche. Voici, d'après nos expériences, les raisons de cet événement; il s'en

DES MACHINES SIiMPLES. 169

faut ^e beaucoup que les surÊices du bois qui sortent de la main de Fouvrier aient acquis le degré de poli qu'elles avaient dans nos expériences successives ; mais nous avons trouvé que des bois polis à neuf^ et enduits de suif, donnent beaucoup dlrrégularité dans les frottemens^ qui^ au lieu d'être le vingt* septième de la pression^ sont souvent le douzième et le treizième : or^ comme l'inclinaison du chantier^ à 10 lignes par pied^ ne donne pas tout*à-fait^ pour la force accélérante^ le quatorzième dç la pression^ il n'est pas étonnant que le bâtiment s'arrête souvent au milieu de sa course : un moyen de prévenir en partie cet événement, serait de faire glisser à plusieurs reprises, en enduisant de suif, un traîneau chargé d'un grand poids, sur les surfaces qui doivent se trouver en contact lorsque le berceau court sur le chantier : par cette opération préparatoire, l'on ferait disparaître les inégalités qui rendent les firottemens irréguliers dans les surfaces neuves; mais ce qui pourrait peut-être encore mieux réussir, ce sériait de former le dernier lit ou la surface du chantier avec des pièces de bois d'orme, en donnant une plus grande largeur aux surfaces en contact. J'ai toujours trouv^^ en mettant en expérience un traîneau de chêne porté par un madrier de bois d'orme enduit de suif, le fil du bois se recoupant à angle droit, que non-seulement le frottement est moindre que dans le chêne sur le chêne, mais qu'il est, surtout dans les surfaces neuves, beaucoup moins irrégulier : il paraîtrait que les inégalités dont la surface du bois d'orme est couverte, étant trèsflexibles, se plient avec &cilité dans la marche du traîneau, et produisent moins d'irrégularité que le chêne dont les fibres sont beaucoup plus dures. D'ailleurs, ce qui est décisif ici, c'est que l'engrenage des parties , qui produit la grande rési^ stance que l'on éprouve en détachant les surfaces après un

certain temps de repos ^ se fait dans le bois d'orme glissant sur le chêne ^ beaucoup plus lentement que dans le chêne contre chêne.

Voici encore une cause des irrégularités du frottement du berceau glissant sur le chantier; le vaisseau qui part d'abord lentement^ s'accélère ensuite^ et la vitesse est telle, que les surfaces de contact contractent un degré de chaleur capable de les enflammer. Par là il arrive que la couche de suif interposée entre les surfaces de contact se fond, et perd toute sa consistance; en sorte que la base du berceau joint la surface du chantier , comme s'il n'y avait point de suif interposé entre les sur&ces de contact : or, dans le cas où les surfaces sont seulement onctueuses^ nous avons trouvé que le frottement est le seizième de la pression : ici il doit être encore plus grand , parce que la chaleur fond le suif jusque dans les pores du bois : si, par cette cause ou par quelque autre, le vaisseau vient à «'arrêter, le suif interposé entre les surfaces se trouvant entièrement fondu, elles s'engrèneront, dans un instant^ comme si les bois étaient secs, et il Êiudra, pour détacher de nouveau le berceau, employer une force qui soit au moins le tiers de la pression ; aussi arrive-t-il souvent qu'après un pareil accident, il n'y a d'autre moyen, pour faire mouvoir le vaisseau, que de séparer les surfaces en contact, et d'y mettre un nouvel enduit.

JNous n'étendrons pas plus loin nos réflexions sur cet objet; nous laissons à MM. les Officiers de marine qui dirigent actuelr lement les constructions des vaisseaux du Roi, à décider si, d'après nos eq)ériences, il n'y aurait pas quelque moyen certain d'assurer le succès de cette importante opération; l'on peut tout attendre de leur capacité, de leur zèle, de cette fermentation générale qui, dans nos ports, embrase tous les esprits, et qui se modifiant, suivant les circonstances^ mène

également à la gloire dans les combats^ et aux découvertes utiles dans les Arts. Je voudrais que la destination de ce Mémoire me permît de rendre ici justice au commandant respectable du département où j'ai fait mes expériences : tout ce qui peut être utile à la perfection de TArt et au bien du fiervioe y est accueilli^ encouragé et protégé : les officiers qui le secondent 6e prêtent à ses vues avec autant d'honnêteté que de zèle, et le plus faible talent qui veut se rendre utile, rencontre partout des hommes de génie qui Téclairent. Si des occupations et des voyages nécessités m'avaient permis de profiter à loisir d'une position aussi heureuse, ce Mémoire serait probablement meilleur (*).

Théorie des machiriea de rotation.

i54. Nous avons vu, dans toutes les expériences qui précèdent, que le frottement des axes est toujours proportionnel aux pressions : nous avons vu que les forces nécessaires pour plier une corde autour d'une poulie, peuvent toujours être

représentées par la quantité --^ — , dans laquelle {art. 1 46),

A=n/^j et B=n'rf^, r étant le rayon de la corde, R celui de la poulie, T la tension de la corde, n et n' sont des coefficiens constans donnés par nos expériences; q, dans la pratique , peut être supposé égal à a^ ^ quantité qui varie suivant la nature de la corde, suivant qu'elle est plus ou moins usée.

(^) Note ajoutée depais le jugemait de t Académie. Les expériences détaillées dans ce Mémoire ont été faites dans le port de Rochefort , à la fin de 1779. M. de la Touche , que la mort a enlevé au commencement de Tannée 1781 > y commandait alors le département de la Marine : dès qu'il fut convaincu que mon travail avait un objet utile , il voulut bien s'en occuper avec cet air d'intérêt si précieux et si rare dans les gens en place , mais qui caractérise toujours le citoyen honnête et le chef éclairé.

Roue ou poulie chargée de deux poids.

i55. Au lieu de supposer la poulie mobile autour de son axe, fixons-la {figure 23) à cet axe dont le rayon est CB, et supposons que cet axe soit porté par la chape FtzBR, dont le rayon est plus grand que celui de l'axe de la poulie ; que R soit le rayon de la poulie chargée d'un côté par le poids F, de l'autre par le poids P', qui est suj^posé suffisant pour entraîner le poids P, vaincre le frottement et la roideur de la corde. G)mme le plus ou le moins de vitesse du système change très peu l'énergie de cette double résistance, le poids P' continuera à descendre avec la vitesse qui lui sera imprimée sans s'accélérer ni retarder; mais comme nous supposons ici du jeu entre l'axe et la boîte qui le porté, l'axe roulera d'abord jusques en B, en sorte que la tangente BN fera, avec la ligne horizontale QBQ', un angle QBN, tel que le frottement de tout le système porté et en équilibre sur le point B, l'empêche de glisser le long de BN; ainsi, si m = le rapport

de la pression au frottement, l'on aura ^^^^î^=^^ ^t ^^ supposant le rayon des tables égal à l'unité , l'on trouvera

sinQBN = — ^, et cosQBN= — 2î--r;

si actuellement du centre de l'axe C l'on abaisse la verticale CK, et que la ligne horizontale QQ' rencontre les verticales qui passent par le centre de gravité des deux poids en Q et Q', l'on verra que, puisque le système est en équilibre autour du point B lorsque le poids F emporte d'un mouvement insensible et uniforme le poids P, l'on doit avoir

P(QK + KB) = F(Q'K— KB); or QK=R, rayon de la poulie, et KB=CB sinBCK= ^— ,

d'où l'on tirera

L'on pourrait encore avoir la même valeur de P' par un autre moyen plus direct : la somme des forces qui agissent suivant la résultante et verticale £B est P + P'; ainsi la près-

sion du plan de contact en B est ^ / ; or, lorsque le mou-*

vement est parvenu à l'uniformité, le centre C de l'axe doit rester immobile dans l'espace; ainsi toutes les forces et les réactions du frottement doivent être en équilibre autour du

centre C, et puisque le frottement du point B= — ^ — 7,

nous aurons PR -f- ^^-^' — r = FR qui se trouve exactement

la même formule que nous avions eue tout à l'heure par la première méthode ; la quantité P' donnée par cette dernière formule dépend seulement du frottement ; si l'on avait égard à la roideur des cordes , elle serait

pr^.(L+i?:)j:+Ah^bp = p'R,

(I +mr

parce que la force nécessaire pour plier une corde autour d'un rouleau dont le rayon est R, étant — ^ — , le momentum de cette force agissant avec un levier R , sera A -h BP.

PREMIÈRE REMARQUE

i56. Le frottement des axes dans les boîtes, que nous avons rigoureusement déterminé dans V article qui précède,

et que nous trouvons égal à — ——r, est plus petit que celui dont nous nous sonmiea servis dans nos expériences, où nous

avons supposé le frottement égal à la quantité --^— ; mais

comme dans nos expériences, m n'a jamais élé moindre que le nombre 6, les erreurs qui auraient pu en résulter sont insensibles; puisqu'en prenant pour m le nombre 6, Ton

trouve (i-t-w*)*= 6,083^ qui ne diffère du nombre 6 que d'une quantité que l'on peut négliger dans des recherches de ce genre.