PR ^ 2+24. = PU

Cette dernière formule offre, relativement aux poulies mobiles sur leurs axes, une remarque intéressante; c'est que le momentum du frottement ne dépend pas du diamètre de Taxe, mais uniquement du trou de la poulie.

Calcul 6tun palan composé d^un nombre quelconque de poulies, les directions de toutes les cordes étant parallèles et i^erticales.

i58. Le palan que nous allons calculer ici est un des plus en usage dans la Marine. Dans X^ figure 26 qui le repré* sente, nous avons beaucoup écarté les poulies l'une de l'autre, sans cependant les séparer par des cloisons , comme elles le sont ordinairement dans la pratique, ce qui aurait rendu notre figure trop confuse.

Lia chape supérieure en A est dormante, et attachée à des crochets; la chape inférieure en B est mobile, et soutient le poids F ; une extrémité de la corde est fixée au point a, et la corde enveloppe successivement les poulies b ,c,dy e,f, g, h, etc., et est soutenue à son autre extrémité par une force en Q.

Soit la tension de la corde qui va de a en é. . ^ T.

Celle de la corde qui va de 6 en c TT.

Celle de la corde qui va de c en rf. T".

Celle de la corde, etc 'F'^.

T"* représentant la tension de la corde, après qu'elle a enveloppé , depuis le point a, un nombre f^. de poulies.

Supposons, pour simplifier, toutes les poulies égales, et ayant R pour rayon (^), et r pour rayon de leur axe, par V article qui précède, lorsque le mouvement sera parvenu à l'uniformité, le frottement de l'axe de la première poulie

b sera '^ y, celui de la poulie c sera } etc., mais

puisque nous supposons le palan en mouvement, il &ut que la tension T' de la partie de la corde qui va de & en c, soit telle, qu'elle fasse tourner la poulie b autour de son axe, quoique retenue, dans l'autre sens, par la tension T de la corde ab , par le frottement de l'axe, et par la résistance due à la roideur de la corde qu'il faut plier sur une poulie dont le rayon est Rj ainsi le mouvement étant supposé parvenu à l'uniformité, nous formerons, d'après les articles qui précèdent^ les équations suivantes pour chaque poulie :

R(T''-T') = CEjti:2î:+ A + Br, R(T'"— T") = 2j±I>^, a + BT',

Ces équations se résoudraient facilement par les méthodes

(*) Par rayon de Taxe r, nous entendons celui du trou de la poulie.

données pour intégrer les différences finies; mais comme c'est ici le cas le plus simple de ce genre d'intégration , et que nous n'avons que des progressions géométriques à somnier, nous n'aurons besoin que de l'Analyse élémentaire. Faisons pour simplifier^

C=l. ^'^^ 21 i, et D =

(m'+Oi (i + "»*)?

nos équations se trouveront réduites par cette substitution^ à

n* rp rp , D(» — 1)

T'= TC -+- D= TC H- D = TCH-5f=^,

T"=T'C-4-D=TC'H-DC-t-D =Te -*- 5îg~^ ,

T"'='PCh- D=Te 4-D(C» + Ch- i)=T(? -*- 5^=^, T"'=T'''^'^ C-hD=TO'-+-D((r-'H- (r--f- etc. h- i)

Remarquons à présent que puisque le poids P est supposé s^élever d'un mouvement uniforme ^ toute l'action momentanée de la pesiinteur est soutenue et détruite par des cordes que nous supposons parallèles et verticales; ainsi

(TH-T'-^T'-f-etc. -hT''^)=P,

oà T^ est la tension de l'extrémité de la corde tenue en Q ; ainsi^ en &isant une somme de toutes nos équations^ noua

yj8 THÉORIE

trouverons

d'où nous tirerons en quantités connues,

En substituant, dans une des équations de notre suite ^ cette valeur de T, nous aurons tout de suite en quantités œnnues la tension de la partie de la corde qui y correspond ; nous trouverons, par exemple, que la force Q, qui peut produire un mouvement uniforme, est

mais si Ton remarqué que nous avons supposé D =

et que A représente la force constante nécessaire pour plier la corde, il suit de nos expériences que, lorsqu'on manoeuvre un palan avec une corde au-dessous de dix ou douze fils de carret, l'on peut négliger la quantité A, et par conséquent D, et pour lors la formule précédente se réduit à

Si l'extrémité de la corde, au lieu d'être soutenue par une puissance Q, passait sur une poulie F, la tension de û corde

DES MACfflNES SLMPLES. 17^^

en Q, étant donnée par la formule de cet article^ l'on aurait facilement la pesanteur d'un poids G, qui, attaché à l'extrémité de cette corde, pourrait entretenir le mouvement uniforme d'un palan.

169. 1/e palan dont nous venons de donner le calcul, est celui qui est le plus en usage dans la Marine; mais*il faut avouer que notre théorie n'est pas parfaitement exacte quant à la pratique, parce que nous supposons ici que toutes les cordes sont exactement verticales et parallèles; au lieu que, dans la pratique, elles sont obligées de biaiser pour aller d'une poulie à l'autre , suivant que Ja chape mobile B est plus ou moins proche de la chape dormante A. Du défaut du parallélisme des cordes, il résulte encore que comme les poulies portées par la même chape sont séparées entre elles par une cloison , s'il y a beaucoup de jeu entre le trou de . la poulie et son axe, la poulie s'incline et frotte contre la cloison; d'ailleurs en s'inclinant, le rapport da diamètre de la poulie au diamètre de son axe diminue, et la poulie ne porte SUT son axe que par les arêtes extérieures de son trou qui est bientôt évasé et dénaturé; par là les frottemens augmentent et deviennent d'une irrégularité qui ne peut être soumise à aucune théorie. Pour diminuer ces défauts , il faut forer les poulies bien perpendiculairement à leur plan , arrondir un peu les arêtes de leur trou; mais surtout faire en sorte, dans les manoeuvres, que la direction des cordes passe, le plus exactement qu'il sera possible, dans le plan de là poulie perpendiculairement à l'axe de rotation.

i«o THÉORIE

Calcul du frottement des axes, lorsque les directions des puissances ne sont pas parallèles entre ^lles.

160. \àdi figure 26 représente le plan d'une roue ou d'un tour coupé perpendiculairement à son axe. Le centre de rotation .est en C ; l'axe a pour rayon CT = r; la puissance Q qui fi^it mouvoir la machine , a pour rayon celui de la roue CQ = R', et agit perpendiculairement à ce rayon, suivant la direction QR'j la résistance P qu'il faut vaincre, agit suivant la direction PR, perpendiculaire au rayon CP= R, qui est celui du cylindre ou de l'arbre du tour.

Prolongeons la direction R^Q, suivant laquelle la puissance Q agit, de manière qu'elle rencontre en S la direction RP de la résistance; que la résultante de ces deux forces soit TS, T sera le point de contact de la boîte, dont nous voyons, dans la figure, une partie TN qui soutient l'axe du tour. Comme nous supposons ici le mouvement parvenu à l'uniformité, et que la roue est entraînée suivant QR', il faut que la direction de la résultante ST fasse, avec la tangente TO, un angle, tel que la force résultante, décomposée dans la direction de la tangente, soit égale au frottement; ainsi, si nous nommons Z la force de la résultante ST, nous aurons

(1 + "mric ) ''' P^^^ ^^ pression de l'axe et de la boîte, d\)ù, en suivant la même marche que dans les articles qui précèdent, l'on tirera PRh-^I^j- = QR'. L'on y joindrait, si Ton

voulait, les forces nécessaires pour plier la corde; mais il n'est question ici que du frottement. Pour déterminer la valeur de Z, par le centre C de la roue et par le point S, soit tiré la ligne CS , qui forme, avec les directions QS et PS , les

DES MACHINES SI9dPLE3. a 81

angles H 'et H' ; décomposons la force suivant SQ en une force suivant SC^ et une force perpendiculaire à cette ligne ; faisons-en autant pour la force suivant SP^ la somme des forces suivant SC, sera QcosH-hPcosH'; la somme des forces perpendiculaires à CS^ à cause que c'est la force Q qui entraîne le système, sera Q.sinH — P.sinH'. Ainsi la force, suivant la résultante ST, sera

Z=[(QcosH + PcosH')*-h(QsinH — PsinH')*] = [Q* + P' -H aPQcos (H -f- H')] ^ ;

ainsi Ton aura, pour l'équation générale des momentum,

PR . Çy+P'-t-aPOcoKH+H')]'» - OR'

d'où Ton tire Q = a + (a* H- ô*)î.

en faisant

« = :?^— , et ô- = -ii±i2l^.

L'on simplifiera beaucoup notre formule relativement à la pratique , si l'on remarque que le frottement étant toujours

• t • PR

une petite partie de la pression, Q = -j, peut être regardé

comme une valeur assez approchée pour qu'on puisse la substituer dans le petit terme qui exprime le frottement ; ainsi l'équation avant d'être réduite , deviendra

PR^Pr [ F.+ '+r<^o'(H+H-)J ^ ^7 + -g; (TMÔI ^'

i83 THÉORIE

Si l'on veut avoir égard à la roideur des cordes, il faudra

ajouter à la quantité qui représente Q celle "^ (ji-i-nT), qui

se détermine, d'après nos expériences, suivant la nature et Fusé des cordes; la quantité Q ainsi déterminée, substituée à la place de Q, dans le terme qui représente le frottement et la roideur de la corde, donnera une seconde approximation , si Ton ne croit pas la première assez exacte. La valeur da Q que nous trouvons ici pour les tours, convient égalemient aux poulies dans le cas où les directions des cordes ne sont pas parallèles; la dernière formule se simplifie même pour la poulie , parce qu'il faut faire R = R'.

PREMIÈRE REMARQUE