La formule qui précède, où nous trouvons, par ap
proximation , le frottement égal à —^ ci + mm)^ •
offre quelques réflexions, relativement à l'angle (H+H') que doivent former entre elles les directions de la puissance et de la résistance, pour que le frottement s'évanouisse, ou au moins pour qu'il devienne un minimum; il est clair d'abord que ce frottement diminuera à mesure que cos(H h- H') diminuera s'il est positif, et augmentera s'il est négatif; et comme, à cause du rayon égal à l'unité, cos(H-f-H') pris négativement, ne peut pas être plus grand que — 1 , il s'ensuit que le frottement sera le moindre possible lorsque cos(H-|-H')= — 1,
tant que g?; -h 1 sera plus grand que ^ ; car s'il était plus
petit, il faudrait déterminer cos(H-i-H'), en faisant
g;4-n-'^cos(H^-H0=o,
DES MACHINES SIMPLES. i85
ce qui rendrait le frottement nul ; ainsi ^ par exemple ^ dans les poulies où R = R', si cos(H+ H') = — i, le frottement s'évanouit^ dans lequel cas la puissance et la résistance sont opposées et dirigées suivant une même ligne.
Du Cabestan.
162. La théorie qui précède, et l'équation qui en résulte ^ s'appliquent facilement au calcul du cabestan.
La figure 27 représente le plan d'un cabestan , ou une section perpendiculaire à son arbre vertical; les puissances Q> Q'> Q"> etc. , sont placées à l'extrémité des bras CQ , et comme elles sont distribuées également, il n'en résulte aucune pression sur l'axe; l'axe qui frotte contre la boite, a pour rayon CT = r; l'arbre autour duquel ^'enveloppe la corde, a pour rayon CP = R; les bras du cabestan mesurés depuis le point C, centre de rotation du cabestan, jusques aux points Q, Q^, etc., où les puissances sont appliquées, ont pour rayon CXJ = R' ; l'on remarquera que, comme dans le cabestan, les puissances Q, Q', etc., sont développées uniformément autour du centre C, il s'ensuit que la somme des forces estimées suivant une direction quelconque , sera égale à o, d'où la pression de l'axe sur la boîte, et conséquemment le frottement qui en résultera sera nul; ainsi, dans l'équation de V article 160^ où nous trouvons
L (i + mm) \ J ^ >
la puissance Q , qui se fait équilibre à elle-même , ne doit pas entrer dans le terme qui représente le frottement; ainsi l'on
iB4 THÉORIE
aura
«t en faisant entrer dans le calcul la roideur du cable PN, nous aurons généralement
PR , Pr , y»
OÙ y représente le demi-diamètre de la corde.
EXEMPLE
i63. Pour faciliter aux artistes Tintelligence de la théorie qui précède^ nous allons donner une application au cabestan en calcul numérique.
L'on veut élever, au moyen de la corde PR, un poids de huit mille livres. La corde PR est une corde goudronnée de cent vingt fils de carret, qui pourrait porter douae à quatorze milliers sans se rompre. L'axe du cabestan est de fer; la boite , dans laquelle il tourne est de cuivre; l'on suppose que cet axe n'a pas été enduit de suif depuis quelque temps ; en~sorte que le rapport de la pression au frottement est, drù. i32, comme 7 et demie à i .
Le rayon CT de l'axe est égal à. a pouces.
Le rayon CP de l'arbre est égal à. ..... . lo
Le bras CQ du cabestan est égal lo pieds. . lao.
L'on cherche la somme des forces Q, Q', etc., qu'il faut distribuer à l'extrémité des bras du cabestan. Nous avons trouvé, art. 1 16, par la méthode de M. Amon*
DES MACHINES SIMPLES. ï8&
tons^ dont, art. lâi ^ il faut doubler le résultat^ qu'une corde goudronnée^ de trente fils de carret^ exige^ pour être pliée au"* tour d'un rouleau de 4 pouces de diamètre , une force constante de 6,6 livres, et une force proportionnelle à la tension, à raison de ii6 livres par millier. C!omme l'arbre de notre cabestan a do ppuces de diamètre, les forces nécessaires pour plier la corde autour de cet ajrbre, ne seront que le cinquième de celles que nous venons de trouver; ce sera i,3 liv. pour la force constante, et 23,a livres par millier; et comme nous avons ici une tension de huit milliers, nous aurons, pour la force totale qui plierait la corde de trente fib de carret autour de notre rouleau , 1 86,9 livres.
Mais nous avons vu, art. 116, que les forces nécessaires pour plier dififérentes cordes goudronnées autour d'un même rouleau, sont assez approchantes entre elles^ comme le nombre des fib de carret qui composent ces cordes; ainsi , comme nous nous servons ici d'un câble de cent vingt fils de carret, il faudra une force pour plier ce câble, quadruple de celle que nous aurions employée avec la corde de trente fils; nous aurons donc ici, pour cette force, 747,6 livres; ainsi nous aurons dans l'équation de l'article qui précède ,
d'où
•£>+^ = |,.747,6 = J^. 747,6 = 62,3 liT. ;
PR 8000.10 cco PR 8000. a
R (i +m*)» io.iaC(7+î)*+
d'où
Q = 666,7 -H 6â,3 + 17,7 = 746,7 liv.
i8ff THÉORIE DES MACmNES SIMPLES.
Comme un homme^ en poussant d'un mouvement continu la barre d'un cabestan y peut faire à peu près un effort de 2 5 liv. ^ il faudrait trente hommes sur ce cabestan pour élever le poids de 8000 liv. ; il y a à peu près 80 liv. de forces employées à plier la corde et à vaincre le frottement des axes; ainsi il y a au moins trois hommes dont l'action est perdue dans l'effet de ce cabestan.
