DU FROTTEMENT

Expériences pour déterminer le frottement qiC éprouvent leB corps qui tournent sur la pointe tCun pivot. Théorie de ce frottement.

1. J'ai déjà essayé de donner f pages ^34 et suivantes, dans le IX" volume des Savans Etrangers) la théorie du frottement des pivots et des chapes ; mais les expériences rapportées dans ce Mémoire ^ ne sont ni assez nombreuses , ni faites d'après une méthode assez exacte ^ pour donner à la théorie l'étendue et la certitude qu'elle exige ; j'ai donc cru nécessaire de revenir sur cet objet , et d'en faire le sujet d'un mémoire particulier qui servira de suite à mon travail sur le frottement des machines.

a. On suspend ordinairement les aiguilles de boussole^ et généralement les corps qui doivent tourner sur la pointe d'un pivot^ au moyen d'une chape d'agathe ou de quelque matière très dure. Les pivots sont d'acier trempé^ et le plus souvent revenu à l'état de ressort; la chape a dans son creux une forme conique^ terminée à son. sommet par une petite calotte concave , dont le rayon de courbure est très petit. La pointe du pivot conique sur laquelle la chape est portée^ forme à son sommet une petite surface courbe ccgivexé, dont le rayon de courbure doit être encore plus petit que ce-

i88 DU FROTTEMENT

lui du fond de la chape; mais malgré tous les soins que Far* liste peut porter dans Texécution des chapes, j'ai toujours trouvé par l'expérience que la courbure du fond était très irrégulière, et que le frottement d'une chape d'agathe, tournant sur la pointe d'un pivot, était souvent cinq ou six fois plus considérable que le momenium du frottement d'un plan d'agathe très poli tournant sur le même pivot. Ainsi des essais faits avec des chapes ordinaires, ne pouvaient pas me servir de guides y pour déterminer les lois du frottement des pivots, et il m'a fallu chercher un genre d'expérience qui fît disparaître autant qu'il est possible, tout ce qui tient à des élémens dont nous n'avons aucun moyen pratique de nous procurer les mesures.

Z. Au lieu de suspendre , par le moyen d'une chape , le corps porté sur la pointe d'un pivot, je le fais porter sur cette pointe par un plan très poli, en ayant soin, pour empêcher le corps de glisser , que son centre de gravité soit très bas relativement au point de suspension ; je fais ensuite pirouetter le corps autour du pivot, en lui imprimant un mouvement de rotation ; j'observe très exactement, au moyen d'une montre à secondes, le temps que le corps emploie à faire les quatre ou cinq premiers tours. J'en déduis un tour moyen pour déterminer la vitesse primitive ; je compte ensuite le nombre des tours qu'il fait avant de s'arrêter.

L'on conçoit que dans ce mouvement, la vitesse du corps est ralentie en même temps par la résistance du frottement de la pointe du pivot, et par celle de l'air qui frappe contre le corps ; mais si l'on donne certaine figure au corps, telle, par exemple , que celle d'une doche de verre , et qu'en por fiant cette clodie sur la pointe d'un pivot, on la fisisse tourner

DE LA POINTÉ DES flVOTS. i8g

autour de son axe; la résistance de Fair^ lorsque lé mouye-* ment sera peu rapide^ et lorsque la cloche pèsera cinq ou six gros, pourra se négliger relativement au momentum du frottement; c'est ce dont il sera d'ailleurs facile de se convaincre par l'expérience , en prolongeant le cylindre qui forme la cloche par un cylindre de carton très léger, qui aura la même longueur que la cloche, car quoique pour lors la résîstanc^e de l'air sous le même degré de vitesse, doive être à peu près douhle de ce qu'elle était avant qu'on eût prolongé le cylindre , l'on trouvera cependant que dans des degrés de vitesse peu considérables le ralentissement du mouvement est à peu près le même dans les deux cas.

- Pour être plus sûr des résultats, j'ai fait une partie des expériences en suspendant dans le vide {Jig. 28), sur la pointe d'un pivot, une fourchette formée d'un fil de laiton akhb, garnie en d d'un plan, ou, ce qui vaut mieux, dans plusieurs expériences, d'une lentille concave de verre, dont le rayon dé courbure était de a à 3 lignes, la fourchette est chargée en a et 6 de deux plaques de métal , l'on imprime un mouvement de rotation à la fourchette au moyen d'une tige mobile eps formant crochet en/V ^t q^^ ^^^ introduit dans le col de la cloche sous laquelle l'on a &it le vide.

Mais il est bon d'avertir que cet appareil est inutile dans presque tous les résultats où l'on ne cherche pas à déterminer l'influence de la vitesse sur le frottement ; car, si l'on se contente de donner un mouvement très lent, tel, par exemple, que la fourchette qui a 2 pouces de distance entre ses bran« ches, fasse son premier tour dans plus de sept à huit secondes ; si d'ailleurs les deux pièces de métal a et 6 réunies avec la fourchette , pèsent un peu plus de cinq ou six gros , pour lors le frottement est assez considérable, relativement à

igo PU FROTTEMENT

la résistance de Fair^ pour qu'il soit inutile d'avoir égard à celte résistance; il suffît de couvrir la fourchette avec une grande cloche pour la mettre à l'abri des courans d'air.

Formules qui représentent le ralentissement d^un corps qui se meut autour d^un axe fixe , le mouçement étant re-tardé par une force constante.

4. La formule qui donne le ralentissement d'un pareil mouvement^ est exprimée par

Adt^-^duf^,

dans laquelle A représente le momentum de la force retardatrice , dt l'élément du temps , u la vitesse d'un point placé à la distance a de l'axe de rotation ; ^ une molécule du corps, dont la distance à l'axe de rotation est r.

Pour le prouver, soit {fig^^i) AB, n** i, le corps qui tourne autour de l'axe CC; que AKB {fig. 3i, n^ a) représente une section du corps perpendiculaire à l'axe de rotatioA. Soit ca = a; la vitesse d'un point donné a = u,cfi — r, la vitesse

d'une petite molécule /^ sera -; et la variation instantanée du momentum de cette molécule autour de CC' sera ^' — ;

comme il y à égalité entre le mo/nentum de la force supposée constante, qui agit pour retarder le mouvement, et la aomme des incrémens du momentum de toutes les molécules yu, il en -résultera l'équation

Kdt^ — duf!^.

En faisant dans cette formule dx l'espace parcouru dans' le temps di par un point dont la visesse est u^ ellp

DE LA POmTE DES PIVOTS. i^i

deviendra

Adx = --^uduf^ ;

et si A ou le momentum qui retarde le mouyement est une quantité constante ; si de plus au commencement du mouvement la vitesse u est égale à 6 ^ la formule intégrée donnera

d'où il résulte que si le momentum A du frottement est une quantité constante; si b est la vitesse primitive^ si X est l'espace parcouru par le point dont la vitesse primitive est b , depuis Tinstant où l'on a observé cette vitesse jusqu'à la fin du mouvement^ Ton aura à la fin du mouvement^

Ainsi > en faisant tourner un même corps sur la pointe d'un pivot avec plus ou moins de vitesse^ si le momentum A de la résistance qui ralentit son mouvement est une quantité

constante^ comme /^ est aussi une quantité constante^ quel

que soit le degré de vitesse primitive b.

^ sera aussi une quantité constante.

PREMIÈRE EXPÉRIENCE

5. J'ai pris une cloche de verre qui avait 48 lignes de diamètre ^ et 6o lignes de hauteur. Elle pesait 5 onces. Je l'ai placée sur la pointe d'un pivot, et après lui avoir successivement donné différons degrés de vitesse autour de ce pivot , j'ai observé très exactement le temps qu'elle employait à faire le premier tour, ce qui me donnait pour vitesse moyenne

i^a DU FROTTEMENT

celle qui répondait à la moitié de ce premier tour; j'ai compté ensuite le nombre dp tours que faisait la cloche avant de s'arrêter, en tenant compte de la moitié du premier tour, auquel répondait la vitesse déterminée ; il en a résulté,

I" EssAt La cloche fait un tour en 4", et s'arrête après

34 tours -rV^

IP Essai. La cloche fait un tour en 6"^, et s'arrête après

i4 tours 7^.

IIP Essai. La cloche fait un tour en ii", et s'firrête après 4 tours tV,

REMARQUE

Pour déterminer d'une manière sufiBisamment exacte dans cette expérience la vitesse moyenne, lorsque cette vitesse est considérable, au lieu d'observer le temps où la cloche parcourt un seul tour, l'on observe celui où elle parcourt les quatre premiers tours, ce qui donne la vitesse moyenne au second tour; l'on observe ensuite le nombre de tours qu'elle parcourt avant de s'arrêter depuis ce deuxième tour,

Mésultat de cette Expérience.

6. Nous avons vu, art. 4, que si b est la vitesse primitive, X l'espace parcouru depuis le commencement jusqu'à la fin du mouvement, A le momentum constant de la force retar-*

datrice, J — la somme du produit de chaque molécule par le

carré de sa distance r à l'axe de rotation divisée par la quan-<tité a distance à l'axe de rotation du point dont la vitesse pri<f miti ve est & , l'on aura à la fin du mouvement ,

DE LA POINTE DES PIVOTS. igî

Mais puisque dans les trois essais qui précèdent^ l'on s'est

servi de la même cloche, T^ est la même quantité; ainsi

^ doit se trouver une quantité constante si A est constant,

et vice versa. Mais, dans chaque essai, nous avons compté le temps employé par la fourchette à faire une révolution entière. Ainsi, la vitesse moyenne ou la vitesse à la moitié de cette première révolution sera mesurée par la circonférence parcourue, divisée par le temps employé à la parcourir. L'espace parcouru jusqu'à l'extinction du mouvement, sera mesuré par le nombre de tours parcourus depuis l'instant où l'on a déterminé la vitesse moyenne jusqu'à la fin du mouvement. Ainsi, en calculant les trois essais, Fon formera la table suivante :

suite

I" Essai, i tour en 4", s'arrête à 54 7^ tour, d'où ré- V X "" 546"

IP Essai 6" ^ i4 tt • • •

IIP Essai. ; . . . . 11" 4 ^^ . . . 55^.

Il résulte donc certainement de cette expérience que la

quantité ^, et par conséquent la quantité A qui exprime le

momentum du frottement, sont des quantités constantes, quel que soit le degré primitif de vitesse; que par conséquent la vitesse n'entre pour rien dans la résistance due au frottement des pivots, qui, d'après cette observation, est nécessairement proportionnelle à une fonction de la pression. En faisant cette expérience dans le vide comme nous l'avons indiqué à Varl. 3, on peut se servir d'un corps beaucoup

ig4 DU FROTTEMENT

moins pesant et d'une forme quelconque^ et l'on trouvera

le même résultat.

Momentum du frottement des pivots sous différentes natures

de contact.

7. L'on a courbé, ainsi qu'il est représenté à laj*^. aS^n fil de laiton de 9 pouces de longueur, les branches parallèles àk, hh sont à 24 lignes de distance l'une de l'autre ; la courbe Jcdh est un demi-cercle qui réunit les deux branches; sa longueur est très approchante de 3 pouces; les deux branches verticales et parallèles ont également chacune 3 pouces de longueur; l'on attache avec de la cire, aux extrémités a et b, deux pièces de métal, et l'on fixe de la même manière en d, pour servir de chape, un petit plan très poli des différentes matières dont on veut déterminer le frottement sur la pointe du pivot. Au sommet du support en g, l'on fixe une petite aiguille d'acier gd trempée, et dont il faut rendre la pointe plus ou moins fine, arrondie ou obtuse, suivant la nature des chapes, et suivant la pression qu'elles doivent éprouver, ainsi qu'on le verra dans la suite de ce Mémoire. L'extrémité de l'aiguille dont nous nous sommes servis dans les expériences qui vont suivre, vue à la loupe, paraissait former un angle conique de 18 à ao degrés.

8. Plan de grenat d très poli servant de chape. Les pièces de métal a et b pesant chacune a gros, et la fourchette 1 gros \.

I"* Essai. La fourchette fait un tour en 12", et s'arrête après 7 tours; d'où résulte ^

IP Essai. La fourchette fait un tour en 25", et

s'arrête après 2 tours ^ d'où résulte ^ = ^-V-

9. Plan d'agate très poli sous la même charge. I*' Essai. La fourchette feît un tour en 9", et

s'arrête après 10 tours ^5 d'où résulte ^ gi-.

II* EssAT. La fourchette fait un tour en i5'', et

s'arrête après 5 tours | ; d'où résulte ^ g^.

10. Plan de cristal de roche très poli sous la même charge. ^

I" Essai. La fourchette fait un tour en i3", et

s'arrête après 4 tours |j d'où résulte" j^ —-.

IP Essai. La fourchette fait un tour en i4" î, et s'arrête après 3 tours ^ ; d'où résulte ^. -g- .