OID

VTi* et rx* EXP. 32,00 : 5,33: : -g^ : ~^.

De la première proposition, l'on tirera m = i,32it8 De la deuxième = i,333

En prenant une moyenne. • . ..ot=^i,33= |.

ao4 DU FROTTEMENT

REMARQUE

22. Toutes les fois que nous avons employé des pointes de pivot qui formaient des angles de plus de 20 degrés^ nous avons eu, ainsi que nous venons de le trouver, le momentum du frottement égal à la puissance \ de la pression : ce résultat a eu également lieu, à quelques irrégularités près dont nous avons donné la raison, pour les plans d'agate, pour ceux de grenat, pour ceux de verre, ainsi que pour les lentilles de verre de 3 à 4 lignes de rayon et au-dessus. Lorsque ces lentilles sont faites avec soin, il pardt que le frottement n'est pas sensiblement augmenté par leur courbure, et elles donnent à peu près le même momentum de frottement que les plans de verre. Les chapes coniques, telles que celles que Ton emploie pour soutenir les aiguilles de boussole , ont toujours donné un mjom^ntunj, de frottement plus grand que les plans de la même matière. Mais , sous différentes pressions, ce m^ym,enUmi a suivi souvent les mêmes lois que les plans ; quelquefois cependant l'irrégularité de la courbure de la chape a fait varier le résultat des expériences , de manière à ne pou* voir en rien conclure, lorsque l'on a chargé successivement une pointe de pivot taillée sous un angle de 7 à 8 degrés; le momenr tum. du frottement n'a presque jamais suivi un rapport moindre que la puissance | de la pressioji. Il arrive même quelquefois, lorsque la pointe est très fine et la pression considérable, que cette pointe se plie ou se rompt, ce qui donne des irrégularités qui ne sont plus soumises à aucune loi.

Il faut encore remarquer que lorsque les pivots onl élé soumis à beaucoup d'expériences soua de fortes charges > et que l'on se sert ensuite de ces mêmes pivots pour de nouvelles expériences sou3 des charges plus légères , pour lors l'on trouve

DE LA POINTE DES PIVOTS. 2o5

que le momentum des pressions est à peu près porportionnel aux charges. C'est ce que la théorie indique^ comme nous le verrons tout à l'heure.

Enfin , la dureté du plan qui sert de chape ^ la dureté du pivot^ et la^nature de l'acier dont il est formée paraissent influer beaucoup sui: la valeur du momentum du frottement. Parmi plusieurs aiguilles tirées du même paquet^ delà même grosseur^ et auxquelles j'avais donné une trempe et un recuit communs^ il y en eut qui^ quoique taillées sous le même angle, donnèrent constanmient un mom^entum, de frottement plus grand que les autres : il n'y a au surplus que l'expérience et le tâtonnement qui muaient pu jusqu'ici faire distinguer les aiguilles propres à servir de pivots.

Application de la théorie aux résultats des expériences qui

précèdent

d3. Nous avons déjà donné les détails de cette théorie f pages 33o et suivantes, neuvième volume des Savons étrangers). Nous allons développer ici de nouveau la partie de cette théorie qui est le plus immédiatement applicable aux résultats des expériences qui précèdent.

Que le plan ab ( fig. 29 ) représente la section horizontale d'un ^i vot , sur laquelle porte le corps qui tourne autour du centre C, Le cercle de contact étant représenté en abn^ 2, il est clair que dans la supposition actuelle où deux plans sont en contact^ chaque point m du cercle de contact éprouvera une pression égale à celle des autres points ; et si l'on augmente la charge ou la pression totale^ la pression de chaque point augmentera proportionnément à la charge entière. Ainsi ^ comme nous avons trouvé par l'expérience , que le frottement des corps qui glissent l'un sur l'autre^ est toujours propor-

ao6 DU FROTTEMENT

tionnel aux pressions; si l'on nomme jo la pression d'un point

quelconque m^ \ sera le frottement qui résulte de cette pression^ n étant une quantité constante.

L'on aura de plus, en multipliant la pression j9 de chaque point par la surfoce du cercle de contact aeh, une quantité égale à la pression entière , ou au poids P qui représente la charge du pivot. Ainsi si l'on feit r le rayon du cercle de contact, c le rapport de la circonférence au rayon, Ton aura,

Pcr*

mais si l'on veut avoir le momentum du frottement, l'on trouvera que le nuornentum du frottement pour une surfiice

élémentaire en m, est représenté par EfL^' Faisons, {fig* «9,

n^ 2), bb' = cfe, C/7^ = a;; nous aurons w/t = —, et le momenr tum du frottement en m pour la petite surface élémentaire mm! t^yi! y seront par conséquent ^^^^ ^ d'où résulte pour le

mjom^nUim entier de la surface en contact, la quantité ^«

Nous venons de voir que la pression entière P est égale U^\ ainsi le momentum. du frottement sera représenté par la quantité '4^.

on

Ainsi, toutes les fois que la section du pivot sera une quantité invariable, les momenûum du frottement seront proportionnels aux pressions. Ce résultat se trouve conforme à l'expérience : car toutes les fois que la pointe d'un pivot avait été soumise à une forte pression qui avait écrasé et usé cette pointe, l'on trouvait sous les petites charges les momentum du frottement de ce même pivot , proportionneb aux pressions.

â4. Si au lieu de déterminer les momentum du frottement, en supposant que sous tous les degrés de pression la surface du contact est la même, l'on cherchait, d'après la cohérence ou la compressibilité des parties du pivot supposées données, et égale pour tous les points, quelle serait, sous divers degrés de compression, l'étendue de cette surface, pour que la pression de chaque point fût égale à la cohérence de ce point. Ton

tirerait de l'équation^ = F, r = ( ^ V , et en substituant cette

valeur de r dans la formule ^^ qui, d'après l'article précédent, exprime le momentum du frottement, l'on aura,

(- y X ^* ; ainsi toutes les fois qu'en faisant varier la pression P l'on supposera le rayon du cercle de contact tel, que la pression j9 *de chaque point soit une quantité constante, égale à la cohérence , l'on aura le m^omentum du frottement proportionnel à la puissance \ de la pression P , ou de la charge du pivot ; c'est-à-dire que , dans une expérience où l'on placerait d'abord un poids très léger sur la pointe d'un pivot très fin, et dont les points de l'extrémité conique se rompraient peu à peu jusqu'à ce qu'ils formassent un cercle de contact suffisant pour que la cohérence des parties fût égale à la pression qu'elles éprouvent, le nombre des points de contact serait nécessairement proportionnel aux poids , et le moinentum du frottement d'un pareil pivot , en augmentant peu à peu sa charge, serait proportionnel à la puissance 7 de la pression. C est eflfectivement ce que l'expérience confirme; car toutes les fois que l'on emploie des pivots très aigus et trempés très . roide, le momentum du frottement augmente dans un rapport plus grand que la puissance | de la pression, que nous avons trouvé, par l'expérience, être celui des pivots obtus.

2o8 DU FROTTEMENT

25, Lorsqu'on donne à Texlrémité du pivot la forme d'un angle obtus, pour lors le sommet du pivot peut être regardé comme l'extrémité d'un cône ou d'un solide de révolution , dont chaque point est comprimé par des forces moindres que la cohérence de ce point, et résiste par son élasticité. Le calcul du momentum des frattemens doit se faire de la manière qui va suivre-

Il sera prouvé, dans les Recherches sur là force de torsion/ etc., par des expériences décisives, que lorsqu'un corps est pressé ou tiré , les compressions ou les dilatations de chaque point sont proportionnelles aux pressions et tractions, tant que les forces qui tirent ou qui compriment chaque point sont moindres que leur cohérence. Ainsi ^i{fig* 3o, n® 1 ) B/ô^ représente la courbe génératrice de l'extrémité du pivot , ou la courbe dont la révolution autour de l'axe fO fotme le solide de révolution qui termine le pivot; si cette pointe est pressée par le plan Aa supposé inflexible , et dont le centre de gravité est en/", la pointe, quelle que soit sa figure, sera applatie, suivant un plan droit représenté à la coupe verli-cale par Bô, et au plan {Jîg^ 3o, n^ 2) , par le cercle ^b.

Mais puisque l'on peut supposer la compression de chaque point , proportionnelle à la quantité dont ce point a été déplacé, la pression du point/^sera représentée par/^C , celle du points par ^/7^, celle du point b sera nulle. Ainsi, en nommant '^m,y, la pression du point tt sera représentée par ^^ o étant un coefficient constant relatif à la dureté du pivot ; faisant à présent {Jig. 3o, n® 2), Cm = x, mm' = dx, Cb=r, bb' = ds; l'on aura, par la pression entière qu'éprouve le cercle Bkb , la quantité f^ . mm' . m/i , qui doit être égale à I9

pression totale P; ainsi /(p^— = P, et si le frottement des

DE LA POINTE DES PIVOTS. aog

oorps qui gUssent est> comme l'expérience le prouve^ dans un rapport constant 72 avec la priession ^ la somme àearnomentitm du frottement du iiercle de contact Bifeô sera /<p y^^ds^dx

nr

Pour intégrer ces deux quantités^ il faut substituer à la place de^ sa valeur donnée par la figure du pivot j supposons que cette figure soil celle d^un cône obtus ^ comme dans les expériences VII, vui et IX, qui nous ont servi à déterminer suivaut quelle loi lé mornentum du frottement variait relativement aux pressions. Faisons {fig^ 3o, n"* 1) Cb=^r;fC'—b.r; nous aurons ^/7^==y=ô(r— a;)} ainsi la somme de pression du cercle de contact représentée^^, Sô^n^ 2 , aura pîbur exprès-

^- — ^b{r — a;); cette quantité étant intégrée pour le

cercle entier, en feisant C le rapport de la circonférence au

rayon, est égale à <p -ç-, qui exprime par conséquent la somme

des pressions qu'éprouve là pointe comprimée du pivot. Ainsi

si P est la charge du pivot. Ton aura P=^ --g-.

Le mornentum du frottement dont nous avons trouve la. valeur élémentaire à l'article qui précède, représenté par

^^^ — -, deviendra pour le cône^-~- b(r — x), et cette quantité intégrée pour tout le cercle du contact, sera égale à -^ ^,

dans laquelle, si Ton substitue à la place de r sa valeur ( ggr) »

prise d'après l'équation que Vient de donner la pression , l'on aura le mornentum du frottement représenté par la formule^

. Ainsi , lorsque l'on fera porter un poids sur un pivot co^ nique, dont la pointe se comprimera sans se rompre, le

fiio DU FROTTEMENT

momerUum du Êrottement sera^ sous différentes cdiarges , propcMiMmnel à la puissance | de la pression : or^ nous avons trouyéExp- vu ^ VIII et ix^ et par les résultats calculés de ces çxpériences ^ que le momentum sur la pointe des cône^ obtus^ était comme la puissance i^33 des pressions^ quantité exactement la même que celle que vient de nous donner la théorie.

L'on peut voir dans le IX* volume des Savons étrcaigers , une théorie assez étendue des mêmes frottemens ^ lorsque la pointe du pivot a une forme autre que la figure conique. Si elle était telle qu'à hijîgure 3o^ n"" i^ où la naissance de la courbe de révolution forme à son sommet y*un angle droit avec l'axe/Q du pivot, et s'il n'y avait qu'une très petite pîartie de la courbe de comprimée. Ton trouverait les momentumàds frotiemens, sous différons diegrés de.pre$sion,* paroportioniidis à la puissance I des pressions; puissance moyenne entre celle où le pivot est terminé par un cercle invariable sous toutes les pressions, et celle où il est terminé par l'angle d'un cône obtus : ce qu'il était aisé de prévoir par le simple raisonnement.