THÉORIQUES ET EXPÉRIMENTALES

Sur la force de torsion et sur F élasticité des fils de métaL Application de cette théorie à remploi des métaux dans lès Arts et dans différentes ex^ périences de Physique. Construction de différentes balances de torsion y pour mesurer les plus petits degrés de force. Observations sur les lois de t élasticité et de ta cohérence.

Ces Recherclies ont deux objets : i^. de déterminer la force élastique de torsion des fils de fer et de laiton^ relativement à leur longueur, à leur grosseur, et à leur degré de tension. Pavais déjà eu besoin, dans un Mémoire sur les aiguilles aimantées, imprimé dans le neuvième volume des Savons étrangers, de déterminer la force de torsion des cheveux et des soies ; mais je ne m'étais point occupé des fils de métal, parce que Fobjet utile à mes recherches, n'était pour lors que de choisir, à forces égalfes, les suspensions les plus flexibles, et que j'avais trouvé que les fils de soie avaient incomparablement plus de flexibilité que les fils de métal. Le second objet de ces Recherches est d'évaluer l'imperfection de la réaction élastique des fils de métal, et d'examiner quelles sont les conséquences que Fou en peut tirer, relativement aux lois de la cohérence et de l'élasticité des corps^

FORCE DE TORSION ET ÉLAST. DES FILS DE MÉTAL. aiS^

La méthode pour déterminer la force de torsion, d'après l'expérience, consiste à suspendre par un fil de métal, un poids cylindrique, de manière que son axe soit vertical ou dans la direction du fil de suspension. Tant que le fil de suspension ne sera point tordu, le poids restera en repos; mais si l'on fait tourner ce poids autour de son axe, le fil se tordra, et fera efibrt pour se rétablir dans sa situation naturelle; si pour lors l'on abandonne le poids, il oscillera plus ou moins de temps , suivant que la réaction élastique de torsion^ sera plus ou moins parfaite. Si, dans ce genre d'expérience, l'on observe avec soin la durée d'un certain nombre d'oscillations , il sera facile de déterminer, par les formules du mouvement oscillatoire, la force de réaction de torsion qui produit ces oscillations. Ainsi, en faisant varier la pesanteur du poids suspendu, la longueur des fils de suspension , et leur grosseur, l'on peut espérer de déterminer lea lois de la réaction de torsion, relativement à la tension, à la longueur, à la grosseur, et à la nature de ces fils.

Si le fil de métal était parfaitement élastique, si la résistance de Pair n'altérait pas l'amplitude des oscillations, le poids soutenu par le fil de métal, une fois en mouvement, oscillerait jusqu'à ce qu'on Farrètàt. La diminution des amplitudes des oscillations ne peut donc être attribuée qu'à la résistance de Pair, et qu'à l'imperfection de l'élasticité de torsion ; ainsi , en observant la diminution successiye de Pamplitude de chaque oscillation, et en retranchant la partie de l'altération qu'il faut attribuer à la résistance de Pair, l'on pourra, au moyen des formules du mouvement oscillatoire, appliquées à ces expé-

3i4 FORCE DE TORSION

riences, déterminer suivant quelles lois cette force élastique

de torsion est altérée.

Ces Recherches seront divisées en deux.sections; dans la première, l'on déterminera la loi des forces de torsion, en supposant les forces de torsion proportionnelles à Fangle de torsion, supposition conforme à Fexpériencei lorsque Ton ne donne pas une trop grande amplitude à l'angle de torsion : l'on donnera quelques applications de cette théorie à la {Mratique.

Dans la seconde section, l'on cherchera, par l'espérience , suivant quelles lois la force élastique de torsion est altérée dans les grandes oscillations : l'on fera usage de cette recherche pour déterminer les lois de la cohérence et de l'âasticité des métaux et de tous les corps solides.

SECTION PREMIÈRE

Formules du mouvement oscillatoire, en supposant la réaction de la force de torsion proportionnelle à F angle de torsion, ou altérée par un terme trèspeUt.

Un corps cylindrique B {fig. 3 a, ^^• i ) est soutenu par un fil RC, de manière que l'axe du cylindre est vertical, ou se trouve dans la prolongation du fil de suspension; Fon &it tourner ce cylindre autour de son axe, sans déranger cet axe de son à-plomb : il faut déterminer, dans la supposition^ des forces de torsion proportionnelles à l'angle de torsion, les formules du mouvement oscillatoire.

Le n* ^,fig^ 32, représente une section horizontale du cylindre; tous les élémens du cylindre sont projetés sur cette

ET ÉLASTICITÉ DES FILS DE MÉTAL. ai 5

section circulaire en tt, ^, V', etc. L'on suppose que Tangle primitif de torsion soit ACM=A, et qu'après le temps t, cet angle soit hCm, ou qu'il soit diminué de l'angle MC/7i=S, en sorte que ACm = (A— ^S),

Puisque l'on suppose la force de torsion proportionnelle à ' l'angle de torsion^ le momentum de cette force sera représenté par /}(A — S)> n étant un coefficient constant^ dont la valeur dépendra de la nature du fil de métal ^ de sa longueur et de sa grosseur. Si l'on nomme p la vitesse d'un point quelconque 9r, au bout du temps t, lorsque l'angle de torsion est ACm^ l'on aura , par les principes de Dynamique ,

n{k — S) dt^f'TFrdv, .ir>A*^: ^^ .^^ . .

où r est la distance Ctt du point ^ à l'axe de rotation C.

Mais si le rayon CA' du poids cylindrique =a, et que la vitesse d'un point A' de la circonférence du cylindre^ soit au

bout du temps t, représentée pap u, l'on aura v = ^i d'où résulte

et comme cU = —, l'on aura^ pour l'équation intégrée^ . d'où l'on tire

Mais -TjTjjg-^ggi représente un angle dont A est le rayon

et S le sinus verse, qui s'évanouit lorsque S=o, et qui devient égal à 90"" lorsque S= A.

ai6 FORCE DE TORSION

Ainsi, le temps d^une oscillation entière sera

Pour comparer la force de torsion avec Ift force de la gravité dans un pendule, il &ut se ressouvenir que dans le pendule, le temps T d'une oscillation entière

OÙ X est la longueur du pendule^ et^ la force de gravité. Ainsi un pendule isochron'e aux oscillations du cylindre , donne

de cette formule ^ Ton tirera facilement la valeur de n, d'après l'expérience^ puisque les dimensions du cylindre ou du poids sont données^ ainsi que le temps d'une oscillation qui détermine la valeur A.

Si l'on voulait ensuite chercher un poids Q^ qui agissant à l'extrémité du levier 6, eût un momentum égal au momentum delà force de torsion^ lorsque l'angle de torsion est (A — S), il faudrait faire Qb = n{k — S),

Il faut actuellement chercher^ pour uji cylindre, la valeur de pTTr^, que l'on trouvera égale à ^—r^-, où <P est le rapport delà circonférence au rayon, cT est la densité du cylindre, et a son rayon. Mais comme la masse M du cylindre

= ^. l'on a r^i- = î^',et conséquemment T=-(^yi8o^;

en comparant, comme à VarUcle précédent, a.vec\e pendule

isochrone^ il en résulte - = — , et comme ^M est le poids P

du cylindre , nous aurons tz. = -^ , ce qui donne une formule très simple pour déterminer tî d'après l'expérience.

Si la force de torsion , que nous avons supposée 7z(A — S), était altérée par une quantité R^ la formule du mouvement oscillatoire donnerait pour lors

et mettant comme plus haut^ à la place de dt, sa valeur -— , l'on a pour l'intégration

7i(aAS — SS) — a/RdS = imf-.

Si l'on veut étendre cette intégration à une oscillation entière^ il faut la diviser en deux parties^ la première depuis M jusqu'en A , où la force de torsion accélère la vitesse u , tandis que la force retardatrice la diminue ; la deuxième depuis A jusqu'en M', où toutes les forces concourent à retarder le mouvement.

Exemple I*'. Supposons R =At(A — S)*; l'on aura^ pour l'état de mouvement dans la première portion MA ,

ainsi lorsque l'angle de torsion sera nul , ou que (A — S) = o, l'on aura

m + 1 J aa

si8 FORCE DE TORSION

G)nsidéron8 actuellement l'autre partie du mouvement depuis A jusqu'en M', et supposons Fangle AGm! = S'j nous trouverons , en nommant U la vitesse au point A ,

m+1 ''^ a J aa*

Substituant à la place de U* sa valeur

Ton aura pour Fintégration totale^ lorsque la vitesse deviendra nulle ^ ou lorsque l'oscillation sera achevée ^

(^""^^-ïOM^o A+sf — ^

et si les forces retardatrices sont telles qu'à chaque oscillation^ l'amplitude soit peu diminuée , l'on aura , pour valeur très approchée de (A — S') ,

et si.cette quantité (A — S') était assez petite pour être traitée comme une différentielle ordinaire, l'on aurait alors, pour un nombre Z d'oscillations,

OÙ S représente ce que devient A après un nombre d'oscillations Z. Ainsi l'on aura

ET ÉLASTICITÉ DES FILS DE MÉTAL; aig

qui détermine la valeur de S^ après un nombre quelconque Z d'oscillations.

Exemple II. Si

f^ et m' ayant d'autres valeurs que fjL et m. Ton aura , en suivant le procédé du dernier exemple ^

et si la force retardatrice est beaucoup moindre que la force de torsion , Ton aura pour valeur approchée^

En général^ si

R=;*(A — S)"+^'(A— S)-"H.;*"(A — S)'^'+etc.^

Ton aura toujours pour une oscillation y en supposant R beaucoup plus petit que la force* de torsion ,

Expériences pour déterminer la force de torsion.

Préparation.

Sur une petite planche KA {fig. 33), soutenue par quatre pieds, s'élève une potence ABD; le poteau montant AB, a quatre pieds de hauteur, la traverse horizontale DE glisse le long du montant, et se fixe au moyen d'une' vis E; le cylindre ou le poids P, porte dans sa partie supérieure, dans la prolongation de son axe, un bout d'aiguille b, fixée à ce cylindre. Cette aiguille est saisie par la partie inférieure d'une double

aao FORCE DE TORSION

pince Uy qui se serre par des vis; la partie supérieure de cette pince saisit l'extrémité inférieure du fil de suspension; la partie inférieure de cette même pince saisit l'extrémité de l'aiguille fixée au cylindre. L'extrémité supérieure du fil de suspension est prise par une autre pince g^ attachée à la traverse DE. Sur la planche AK, qui sert de base à l'appareil, l'on pose un cercle divisé en degrés, dont le centre C doit être placé dans la prolongation de l'axe du cylindre ; l'on attache au-dessous du cylindre un index eo, dont l'extrémité 6 réponde aux divisions du cercle»

Expériences sur la torsion des fils de fer.

J'ai pris trois fils de clavecin, tels qu'on les trouve répandus dans le commerce , roulés sur des bobines, et numérotés.

Le fil de fer n° 1 2, supporte, avant de se ronapre, 3 liv. 1 2 onces; les six pieds de longueur pèsent 5 grains.

Le fil de fer n° 7, supporte, avant de se rompre, un poids de 10 liv. ; les six pieds de longueur pèsent i4 grains.

Le fil de fer n*^ 1, casse sous une tension de 33 liv.; les six pieds de longueur pèsent 56 grains.

PREMIÈRE EXPÉRIENCE

Fil de fer n* 1 2 , fe cylindre pesant une dend-livre.

lion a pris un cylindre de plomb pesant une demi-livre^ que l'on a suspendu au fil de fer n® 1 a ; ce cyliodre avait 1 9 lignes de diamètre et 6 lignes ^ de hauteur; le fil de suspension avait 9 lignes de longueur. L'on a fait tourner le cy- lindre autour de son axe, sans déranger cet axe de son aplomb,^ et l'on a eu les césultajts suivans :.

ET ÉLASTICITÉ DES FILS DE MÉTAL. aaï

I*'' Essai, Lorsque Ton fait tourner le cylindre autour de son axe^ d'un angle plus petit que 180 degrés^ il fait vingt oscillations sensiblement isochrones en 120".

ïb Essai. Mais en tordant de trois cercles, les dix premières oscillations ont été de 2 à 3 secondes plus longues que les dix premières ; et après les dix premières oscillations , Pam- . plitude des oscillations, qui était d'abord de trois cercles, se trouvait réduite à cinq quarts de cercle.

Fil de fer tz^ 12, (cylindre pesant deux livres.

P*^ Essai. En suspendant au même fil de fer n^ 12, un cylindre qui pesait 2 livres, ajant le même diamètre que le précédent, mais 26 lignes de hauteur, l'on a eu, pour un angle de torsion de 180 degrés et au-dessous, vingt oscillations sensiblement isochrones en 242''.

iir expérience.

Fil de fer tv 7,, cylindre pesant une demi-livre.

V^ Essai. En suspendant au fil de fer, n"* 7, le cylindre d'une demi-livre , l'on a eu , pour une torsion de 1 80 degrés et au-dessous , vingt oscillations sensiUement isochrones en 42".

IV* expérience.

Fil de fer n* 7, qylindre pesant deux livres.

Essai. En suspendant au même fil un poids de 2 livres , les vingt oscillations ont été achevées en 85'^

-12 a FORCE DE TORSION

Fil de fer m \, cylindre pesant une demi-liçre.

EasAi. Lorsque l'on suspend à ce fil de fer de 9 pouces de longueur^ un poids de demi-livre^ sa roideur est si considérable^ que ce poids n'est pas su£Gisant pour le redresser; en sorte que les oscillations sont très irrégulières^ parce qu'dles dépendent , non-seulement de l'angle de torsion , mais encore de la courbure que le fil de fer conserve en sortant de dessus la bobine^ quoiqu'il soit tendu par un poids de demilivre,

Fil de fer n* i, cyUndre pesant deux Uvres.

Essai. Mais en suspendant à ce fil de fer de 9 pouces de longueur^ un poids de deux livres^ le :G1 est sensiblement redressé^ et l'on a^ pour un angle de torsion de 45 degrés et au-dessous^ vingt oscillations sensiblement isochrones^ en 23''.

Continuation des Expériences.

Fil de laiton.

L'on a pris trois fils de laiton , correspondans par le numéro et à peu près par la grosseur , aux trois fils de fer que l'on vient de soumettre aux expériences.

Le fil de laiton n° 12, portait^ au moment de sa rupture, 2 liv. 3 onces ; les six pieds de longueur pèsent 5 grains.

Le fil de laiton n^ 7, portait, au moment de sa rupture , i4 liv.; les six pieds de longueur pèsent 18 grains j.

Le fil de laiton n° 1 ^ casse sous une tension de 22 liv.; les six pieds de longueur pèsent 66 grains.

ET ÉLASTICITÉ DES FILS DE MÉTAL. 2a5

Fil de laiton n* 12, cylindre pesant une demi-liçre.

ESSAI. La longueur du fil de suspension était de 9 pouces , comme dans les expériences qui précèdent; Ton y a suspendu le cylindre pesant une demi- livre , et Ton a eu pour un angle de torsion de 36o degrés et au-dessous^ vingt oscillations sensiblement isochrones en 220''

Mais avec un angle primitif de trois cercles de torsion les vingt^premières oscillations ont duré 2a5 secondes; et après ces vingt premières oscillations^ Fangle de torsion était encore de deux cercles à peu près.

Fil de laiton n* 12, cylindre pesant deux liçres.

Essai. Le fil de suspension étant de 9 pouces^ et le cylindre pesant 2 livres^ l'on a eu^ pour un angle de 36o degrés et au-dessous^ vingt oscillations sensiblement isochrones en 442^

Avec un angle primitif de trois cercles de torsion^ les vingt premières oscillations ont duré à peu près 444 secondes , et l'angle primitif de torsion s'est trouvé réduit à deux cercles un quart.

Fil de laiton n* 7^ cylindre pesant une demi-liçre.

Essai. La longueur du fil de suspensioa toujours de 9 pouces^ l'angle primitif de torsion étant de 36o degrés et audessous^ l'on a eu vingt oscillations sensiblement isochrones en 57".

sa4 FORCE DE TORSION

Fil de laiton n* 7, cylindre pesant deux livres.

Essai. La longueur du fil de suspension toujours de 9 pouces^ Fangle primilif de torsion étant de 36o degrés et audessous^ Ton a eu vingt oscillations sensiblement isochrones en 110".

Mais Fangle primitif de torsion étant de deux circonférences de cercle , l'on a eu les vingt premières oscillations en 1 1 1 secondes^ et l'angle primitif de torsion , qui était de deux circonférences, s'est trouvé réduit à une circonférence et demie.

Fil de laiton w 1 , cylindre pesant une demirUçre.

Essai. Sous une tension d'une demi-livre, le fil de suspension n'est pas entièrement redressé, et le temps des oscillations, dépendant en partie de sa courbure primitive, est in« certain.

Fil de laiton tz* 1 , cylindre pesant deux livres.

Essai. La longueur du fil de suspension toujours de 9 pouces, l'angle primitif de torsion étant de 5o degrés et audessous, l'on a eu vingt oscillations sensiblement isochrones en 32".

Mais l'angle primitif de torsion étant de cinq quarts de cercle, l'on a eu les vingt premières oscillations en 53 secondes ^; et au bout de ces oscillations, l'angle primitif était réduit à un quart de cercle.

ET ÉLASTICITÉ DES FILS DE MÉTAL. 4a5

Fil de Icdton rC 7, cylindre pesant deux livres.

ESSAI. lia longueur des fils de suspension dans toutes lesr expériratces précédentes^ était de 9 pouces : comme l'on avait besoin de déterminer la force de torsion^ relativement à la longueur des fils^ l'on a donné 36 pouces de longueur à la suspension de cette expérience^ et l'on a eu jusqu'à trois cercles de torsion et au-dessous^ vingt oscillations sensiblement isochnmea en aaa''.

Résultat des expériences qui précèdent.

1a force ou la réaction de la torsion des fils de métal doit être relative à leur longueur^ à leur grosseur > à leur tension. Ainsi > pour pouvoir déterminer généralement la loi de cette réaction^ nous avons été obligés^ dans les expériences qui précèdent^ de suspendre différens poids à des fils de fer et de laiton de grosseur et de longueur di£férentes : voici les résultats que ces expériences présentent.

Si l'on fait tourner autour de son axe le cylindre^ sans déranger cet axe de la ligne verticale , ce fil se tordra ; lorsque Ton abandonnera le cylindre, le fil, par sa force de réaction, fera effort pour reprendre sa situation naturelle ; cet efibrt fera osciller le cylindre autour de cet axe, plus ou moins de temps, suivant que la force élastique sera plus ou moins parfaite.

Mais nous trouvons, par toutes les expériences qui précèdent, que lorsque l'angle de torsion n'est pas très considérable , le temps des oscillations est sensiblement isochrone ; ainsi nous pouvons regarder comme une première loi, que

âa6 FORCE DE TORSION

pour tous les fils de métal > lorsque les angles de torsion ne sont pas très grands^ la force de torsion est sensiblement proportionnelle à Fangle de torsion.

Ayant trouvé par l'expérience que la force de réaction de torsion est proportionnelle à l'angle de U^rsion^ il en r^ulte que toutes les formules oscillatoires que nous avons dootmées, articles iv et aim^ans, d'après la supposition d'une force de torsion proportionnelle à l'angle de torsion , ou altérée par un terme très petit , peuvent être appliquées à ces expériences.

Ainsi ^ conmie nous avons eu^ article vu ^ au moj^i de œs

formules T = (^"V . 180 degrés^ et que dans toutes les ex*

périences qui précèdent^ les cylindres de demi-livre et de s livres avaient le même diamètre^ il en résulte que n doit être

(IVf \

Ainsi , si la tension plus ou moins grande du fil n'a point d'influence sur la force de torsion^ pour lors la quantité n pour un même fil , sera la même dans une tension de demi^ivre et une tension de â livres, et par conséquent l'<m aura T proportionnel à M*^. Comparons nos expériences faites avec deux poids, l'un d'une demi-livre^ l'autre de 2 livres, dont les racines sont comme 1 est à 9.

Première expérience. Le fil de fer n^ 12^ tendu par le poids d'une demi-livre, fiiit 20 oscillations en • . . i2o\

Deuxième expérience. Le même fil, tendu par un poida de 2 livres, fait 20 oscillations en 242^

TaoïsiÈMB EXPÉRIENCE. Fil de fer n^ 7, tendu par le poids, d'une demi-^livre , fait 20 oscillations en 43''.

QujLTRiÉME EXPÉRIENCE. Fil de fer n^ 7, tendu par le poid» de 2 livres, £dt 20 oscillations en 80''.

ET ÉLASTICITÉ DES- FILS DE MÉTAL. a 17

La CINQUIÈME EXPERIENCE ne peut pas se comparer avec la