PROPOSITIONS PRÉLIMINAIRES

1. Soit le plan ahcde [frg. Sy) sollicité par des forces quelconques situées dans la direction de ce plan, en équilibre sur la ligne AB; la résultante de toutes ces forces sera perpendiculaire à la ligne AB, et tombera entre les points a et e.

2. Si toutes les forces qui agissent dans ce plan sont décomposées suivant deux directions, l'une parallèle à AB, l'autre qui lui soit perpendiculaire, la somme des forces décomposées parallèlement à AB, sera nulle, et la somme des forces, perpendiculaires à AB, égalera la pression qu'éprouve la ligne AB.

3. Si la pression qu'éprouve la ligne AB est exprimée par P, le même plan pourra être supposé sollicité par toutes les forces qui lui sont appliquées , et de plus par la réaction de la pression. Mais si toutes ces forces , ainsi que la réaction de la pression, sont décomposées, suivant deux directions quelconques perpendiculaires l'une à l'autre, il suit de l'équilibre

ET L'ÉQUILIBRE DES VOUTES. 5a5

et de la perpendicularité des deux directions , que la résultante suivant chaque direction^ sera nulle.

Du frottement.

4. Le frottement et la cohésion ne sont point des forces actives comme la gravité, qui exerce toujours son effet en entier , mais seulement des forces coercitives; Ton estime ces deux forces par les limites de leur résistance. Lorsqu'on dit, par exemple , que dans certains bois polis, le frottement sur un plan horizontal d'un corps pesant neuf livres, est trois livres, c'est dire que toute force au-dessous de trois livres ne troublera point son état de repos.

Je supposerai ici que la résistance due au frottement est proportionnelle à la pression, comme l'a trouvé M. Amontons ; quoique dans les grosses masses le frottement ne suive pas exactement cette loi. D'après cette supposition. Ton trouve dans les briques , le frottement, égal aux trois quarts de la pression. Il sera bon de faire des épreuves sur les matériaux que l'on voudra employer. Il est impossible de fixer ici le frot* tement des pierres, les essais faits pour une carrière ne pouvant point servir pour une autre.

De la cohésion.

5. La cohésion se mesure par la résistance que les corps solides opposent à la désunion directe de leurs parties. Comme chaque élément des solides , lorsqu'ils sont homogènes , est doué de cette même résistance, la cohésion totale est proportionnelle au nombre des parties à désunir , et par conséquent à la sur&ce de rupture des corps. J'ai cherché à déterminer par quelques expériences, la force de cette cohésion ; elles m'ont donné les résultats suivans :

5a4 SUR LES MURS DE REVÊTEMENS

PREMIÈRE EXPÉRIENCE

Pai pris un carreau abcd {fig. 38) , d'une pierre blanche^ d'un grain fin et homogène (*); ce carreau était d'un pied carré, avait un pouce d'épaisseur; je l'ai fait échancrer en e et en jT, en sorte que ef formait une gorge de deux pouces , par laquelle les deux parties du carreau restaient unies. J'ai suspendu ce carreau par cette gorge, en j introduisant deux Gardes nouées en fronde ; et par deux autres cordes j'ai suspendu un plateau de balance que j'ai chargé d'un poids P. Il a fallu augmenter ce poids jusqu'à 43o livres, pour rompre le carreau en ef, ce qui donne, pour la force de la cohésion ^ â lô livres par pouce.

J'ai voulu voir si en rompant un solide de pierre, par une force dirigée suivant le plan de rupture, il fallait employer le mâme poids que pour le rompre , comme dans l'expérience précédente, par un effort perpendiculaire à ce plan. Pour cela j'ai introduit le petit solide ÂBCD {fig. Sg) dans une mortoise ACe^, j^ai suspendu un bassin à la corde ^P, qui enveloppait le solide et qui joignait la mortoise ; le petit solide avait deux pouces de largeur, un pouce de hauteur, ce qui donne la même surface de rupture que dans l'expérience pré* cédente; il n'a rompu que lorsque le bassin a été chargé de 44o livres. J'ai répété plusieurs fois cette expérience, de même que la première, et j'ai presque toujours trouvé qu'il &llait une plus grande force pour rompre le solide, lorsque cette

(*) Cette pierre se trouve autoar de Bordeaux et sert i construire les façades des grands édifices de cette yille.

ET L'ÉQUILIBRE DES VOUTES. BaS

force était dirigée suivant le plan de rupture, que lorsqu'elle était perpendiculaire à ce plan. Cependant, comme cette différence n'est ici que -^ du poids total, et qu'elle s'est trouvée souvent plus petite , je l'ai négligée dans la théorie qui suit.

m* EXPÉRIENCE.

J'ai voulu voir comment Se fait la rupture d'un corps lorsqu'il est rompu par une force qui agit sur lui avec un bras de levier; en conséquence j'ai encastré dans une mortoise ACeg {fig. 4o) un solide de la même pierre que dans l'expérience précédente, ayant i pouce de hauteur, 2 pouces de largeur, et 9 pouces de longueur de g en D, où j'ai suspendu un poids P ; ce poids s'est trouvé de 20 livres lorsque le solide a cassé en eg.

6. J'ai répété les mêmes épreuves sur des briques de Provence d'une excellente cuite et d'un grain très uni, j'ai trouvé que leur cohésion, en les rompant par une force perpendiculaire au plan de rupture, conformément à la première expérience, était de 280 à 3oo livres par pouces. J'ai trouvé encore qu'un mortier composé de quatre parties de sable et trois de chaux ^ employé depuis deux ans, supportait, perpendiculairement au plan de rupture ,^ 5o livres par pouce. Cette dernière épreuve, faite à la Martinique,^ ne peut point être généralisée; la force du mortier varie quelquefois du double, et même du triple, suivant la nature du pays humide ou sec, suivant les qualités du sable, de la chaux, de la pierre employée dans le corps de la maçonnerie, suivant l'ancienneté de cette maçonnerie; l'on ne peut rien fixer, il faut dans chaque lieu des observations particulières^.

Remarques sur la rupture des corps.

7. Si l'on suppose un solide 072KL {fig. 4i) dont les angles soient droits, alongé œmme une poutre ordinaire, et fixé en on, de manière que les côtés de ce solide soient horizontaux et verticaux ; si l'on suppose ensuite que ce solide est coupé par un plan vertical représenté par AD, perpendiculaire au côté 072KL, et sollicité par un poids ^, attaché à son extrémité en Lj il est évident, en ne considérant qu'une fece verticale de ce solide, les autres étant égales et parallèles, que tous les points de la ligne AD résistent pour empêcher le poids <p de rompre le solide ; que par conséquent une partie supérieure AC de cette ligne &it effort par une traction dirigée suivant QP, tandis que la partie inférieure fait effort par une pression dirigée suivant Q'F. Si l'on décompose toutes les forces, soit de traction, soit de pression, suivant deux directions , l'une verticale et l'autre horizontale , exprimée par QM et PM y et si par tous les points M l'on fait passer une ligne BMCe , cette courbe sera le lieu géométrique de tous les efforts perpendiculaires qu'éprouve la ligne AD, Ainsi , la tranche ADKL doit être supposée sollicitée par toutes les forces horizontales PM, par toutes les forces verticales MQ, et par la pesanteur du poids (p; par conséquent, puisqu'il y a équilibre , il faut , art. 3 , que la somme des puissance» hori* zon taies soit nulle; que, par conséquent, l'aire des tensiona ABC égale l'aire des pressions CeD. Il faut, de plus, par le même article, que la somme des forces verticales QM soit égale au poids ?; mais par les principes de Statique l'on a encore la somme des momentum autour du point C de toutes les forces , soit de traction , soit de pression , égale au /womentum du poids ^ autour du même point; ce qui donne

ET LlQUILIBRE DES VOUTES. 327

réquatîon fYp . MP . CP = <pLD. Nous avons donc , quel que soit le rapport entre la dilatation des élémens d'un solide et leur cohésion, les trois conditions précédentes à remplir.

Je suppose, par exemple, que Ton veuille chercher le poids que peut supporter une pièce de bois parfaitement élastique j c'est-à-dire qui se comprhne ou se dilate chargée dans la direction de sa longueur proportionnellement à la force qui la comprime ou qui la dilate; que l'élément qfnh, qui touche le mur, représente une portion très petite de la pièce de bois dans son état naturel ; si l'on charge cette pièce de bois d'un poids ^, la partie supérieure de la ligne j^ se portera en ^, et la partie inférieure se portera en m; la ligne j^ deviendra gm ; mais comme par hypothèse Içs tensions , de même que les pressions, sont représentées par les parties '^/^ du triangle /ge, il suit que le triangle de compression emh doit égaler le triangle de dilatation^e. Ainsi, si l'on nonmie cT la tension du point/", représentée par^,yè égalera ^fh; l'on aura,

pour le fnomentum du petit triangle de traction , — g^ , qui ,

ajouté au momentum du petit triangle de compression , doit

donner -^-i.=:<p . nL, ou ^.fh, dans l'instant de rupture,

exprime la résistance que l'adhérence opposerait à un effort qui agirait perpendiculairement à la ligne /%, en supposant cependant que les tractions MQ n'influent que très peu sur la résistance des solides ; ce qui est assez vrai, lorsque le bras du levier tzL du poids ? est beaucoup plus grand que l'épaisseur fh.

Mais si l'on supposait le solide, prêt à se rompre, composé de fibres roides , ou qui ne soient susceptibles ni de compression, ni d'alongement; si l'on supposait encore que le corps se rompît en tournant autour du point A; pour lors, chaque

point de l'épaisseur /% ferait un efifort égal; le point h éprouverait une pression égale à ^fh, et le Tiwmentum du petit

triangle de cohésion serait ^ . Appliquons cette dernière

hypothèse à nos expériences.

J'ai trouvé , par la première expérience , qu'une surface de deux pouces de largeur sur un pouce de hauteur^ opposait une résistance égale à 43o livres. Dans la troisième expérience j'ai les mêmes dimensions^ et de plus KL égale 9 pouces; par conséquent^ si la dernière hypothèse était vraie

j'aurais dû trouver P = ^, à peu près a4 livres ; mais l'expé-

rience donne pour P, 20 livres; ainsi l'on ne peut pas supposer dans la rupture des pierres , ou que la roideur des fibres soit parfaite^ ou que le point d'appui de rotation soit précisément en h. Une remarque assez simple aurait fait prévoir ce résultat^ c'est qu'en prenant h pour point de rotation , il faudrait que ce point h supportât une pression finie ^ sans que sa cohésion fût détruite^ ce qui n'est pas possible^ puisque cette cohésion est une quantité finie pour une sur&ce finie. Il faut donc^ dans le cas qui précède celui de rupture^ que cette force, porte en un point h\ tel que l'adhérence de h'q soit en état de supporter par sa résistance la pression ^fhf, qu'éprouve la ligne hk, décomposée suivant h'q. Nous donnerons, dans la suite, les moyens de déterminer l'angle q du triangle h hq.

M. l'abbé Bossut, dans un excellent Mémoire sur la figure des digues, ouvrage où l'on trouve réunie, à l'esprit d'invention , la sagacité du physicien et l'exactitude du géomètre , parait avoir distingué et fixé, le premier , la différence qui se trouve entre la rupture des bois et celle des pierres.

ET L'ÉQUILIBRE DES VOUTES. Ssg

Résistance des piliers de maçonnerie,

8, Soit {Jîg. 42) un pilier homogène de maçonnerie^ que je suppose d'abord carré, chargé d'un poids P; l'on demande la direction de la ligne CM, suivant laquelle ce pilier se rompra, et la pesantçur du poids nécessaire pour celte rupture.

Je suppose ici que l'adhérence oppose une égale résistance, soit que la force soit dirigée parallèlement ou perpendiculairement au plan de rupture , conformément à la première et à la deuxième expérience. Je suppose encore le pilier d'une matière homogène, dont la cohésion soit /; soit prise une section quelconque CM, inclinée à l'horizon, et perpendiculaire au plan vertical ABDM, face de ce pilier. Si l'on suppose pour un instant l'adhérence de la partie supérieure ABCM infinie, de même que celle de la partie inférieure CDM, il est clair que la masse de cette colonne tendrait à glisser le long de CM^ et par conséquent, si les deux parties étaient unies par une force d'adhérence égale à la cohésion naturelle du pilier, pour rompre cette colonne, suivant CM, il faudrait que la pesanteur du poids P, décomposée suivant cette direction , fût égale ou plus grande que l'adhérence de CM. Soit l'angle en M. . . j? , DM. . .a , P le poids dont la pression repré* aentée par ^q, se décompose suivant les directions ^ r et rq^ perpendiculaires et parallèles à la ligne de rupture. Si l'on néglige, pour simplifier, la pesanteur de la colonne, l'on aura

J^CM = — ^, et rq = V sinx) par conséquent^ dans le cas d'équilibre, l'on trouve P = -: — 2 — • mais comme la colonne

doit être en état de porter le poids P sans se rompre, quelle que soit la section CM, il &ut que le poids P soit toujours

55o SUR LES MURS DE REVÊTEMENS

plus petit que la quantité ^.^^^^^^ ^ quelle que soit la valeur de x; ce qui aura lieu lorsque Ton déterminera P, tel qu'il soit un minimum, d'après l'équation P = 7-— — ; ce qui donne dP = ^^-l-Mcosxy+Ms^nxY ]^ ^t conséquent. . . .

I sin jb • coSwb 1 *'

sinâ? = coso;. Ainsi ^ le plus grand poids que la colonne puisse supporter sans se rompre, égale 2J'aa, le double de la résistance qu'elle opposerait à une force de traction, et l'angle de moindre résistance ou de rupture , sera de 45 degrés.

Nous avons supposé dans cette recherche, que la section représentée par CM était perpendiculaire au côté vertical ABDM^ mais l'on aurait trouvé les mêmes résultats pour une section quelconque, pourvu qu'elle eût eu la même inclinaison sur le plan hori2ontal; en remarquant que par la théorie des projections , les sections obliques d'un pilier sont à leur projection horizontale comme le rayon est au cosinus d'inclinaison de ces deux plans; ainsi, en nonmiant x le sinus d'inclinaison de ces deux plans , et A la sur&ce de la base , égale ici à a% l'on aura, pour l'adhérence de la section oblique

-, et P sin:r, pour la force qui tend à faire couler la partie

cos

supérieure de la colonne sur le plan incliné qui lui sert de base, de quelque manière que soit situé le plan de section. G)mme ces quantités sont précisément les mêmes que les précédentes, elles doivent par conséquent donner les mêmes résultats; d'où l'on peut conclure que, quelle que soit la figure de la base horizontale d'un pilier, si la surface de cette base est ' constante, sa force sera la même.

9. Nous n'avons point fait entrer, dans la solution précédente, le frottement qui s'oppose à la rupture du pilier. Si

ET L'ÉQUILIBRE DES VOUTES. 53i

Ton voulait j avoir égard > en condervant les dénominations précédentes^ Ton trouverait, pour la pression du poids sur CM, Pcosj?; et comme le frottement est proportionnel à la

pression , il sera égal à .~221f ^ n étant une quantité constante ;

la masse du pilier ABCM, pressé par le poids P, est donc retenue par la cohésion et par le frottement ; ainsi , en augmentant le poids jusqu'à ce qu'il soit prêt à rompre le pilier, Ton aura

-—-H = rsm4?, et r^zd'aa'A cosorlsmar — t— -) •

C08JP • n ' L. \ tosx/J-

Il Êiut, par les principes qui précèdent, pour avoir le poids que le pilier peut porter sans se rompre, faire P un minimum, ce qui donne

cZairsinar^sinaf — ^7^)j — ciIroos«(œ8af -+--—) = o, et par conséquent

flsinxoosx

cosit)'H — = (smx)*j

d'où l'on tire

d'où

tàIkgX =

v/0+ii)-j

Si le pilier était en briques , l'on aurait ( art. 4) - = f; tango? = 2; sin^ = acosx; par conséquent,

cosa; = (i)', et P= , ^^ . r = 4JVia;

33a SUR LES MURS DE REVÊTEMENS

l'angle en M sera de 63^ a6'; ainsi, la force qu'il Ëtudrait pour rompre une colonne en briques par une force pressante, serait qua^uple de celle qu'il faudrait pour rompre cette même colonne par une force de traction.

M. Musschenbroeck {Essai de Physique, traduction/ran'^ çaise, vol. I,page 354) a trouvé qu'un pilier carré en briques, de 11 pouces et demi de longueur sur 5 lignes de côté^^^ a été rompu par un fardeau de 196 livres. Dans l'expérience de M. Musschenbroeck, les côtés étant -r de pouce, la coupe horizontale était 1^*;^ d'un pouce carré. Or, par Yari. 6, nous avons trouvé qu'un pouce carré de brique supporte, perpeadiculairement au plan de rupture, 3oo livres; ainsi, dans cette expérience, craa=3ool. X tt; =^^ li^., qui exprime la force de traction; mais comme P=4cra*, il suit de notre théorie et de nos épreuves, que ce physicien aurait dû trouver 208 livres, quantité peu différente de 196 livrés, résultat de son expérience.

Au reste, je suis obligé d'avertir que la manière dont M. Musschenbroeck détermine la force d'un pilier de ma^nnerie, n'a aucun rapport avec celle que je viens d'employer. Un pilier, pressé par une force dirigée suivant sa longueur, ne se rompt, dit ce physicien célèbre, que parce qu'il commence à se courber ; autrement il supporterait toute sorte de poids. £n partant de ce principe, il détermine la force des piliers carrés, en raison inverse du carré de leur longueur, et triplée de leurs côtés; en sorte que si le pilier, dont nous venons de calculer la force, n'avait eu que la moitié de sa première longueur, il aurait supporté un poids quadruple du premier, c'est-à-dire 832 livres; au lieu que je crois avoir démontré qu'il n'aurait guère supporté que le même poids de A08 livres.

L'on conclut de la formule^ que les forces des piliers homogènes 9ont entre elles comme les sections horizontales.

L'on déterminerait par les mêmes principes^ l'angle de rupture d'une colonne incompressible^ qui serait pressée par une force inclinée à sa base horizontale ; pourvu que la direction de cette force tombât dans cette base; car si elle tombait en dehors de cette base^ il j aurait quelques autres considérations qui rendraient la solution de ce problème un peu plus difficile.

L'on trouve aussi^ par les principes précédens, la hauteur où l'on peut élever une tour sans qu'elle s'écrase sous son propre poids. Supposons^ pour simplifier^ que cette hauteur est beaucoup plus grande que la largeur; pour pouvoir négliger le petit prisme CDM^ il faudra substituer dans les formules ^ à la place de la quantité P^ la masse d'une tour qui aurait le même poids : supposons-la^ par exemple^ construite en briques; le pied cube de briques pesant à peu près i44 Uv.^ un petit prisme^ qui aurait un pouce de base sur un pied de hauteur^ pèserait une livre; ainsi ^ conmie une base d'un pouce p«ut supporter uiie force de traction égale à 3oo livres , et une force de pression double, lorsque l'on néglige le frottement, il est clair qu'en substituant à la tour une masse de petits prismes ^ d'un pouce de base sur 600 pieds de hauteur , il serait aussi soutenu par la cohérence. Si l'on avait égard au frottement, l'on pourrait^ par les mêmes principes, élever cette tour jusqu'à 1200 pieds de hauteur; si à la place de la tour on substituait une pyramide, elle pourrait s'élever à une hauteur triple.

Si cette tour était portée sur plusieurs piliers , la hauteur à laquelle on pourrait l'élever, serait en raison directe de la section horizontale de ces piliers; en sorte que si la section de

quantité qui exprime la pression y lorsque l'adhérence et le frottement deviennent nuls^ ou lorsque le triangle est supposé fluide.

Il est donc démontré que lorsque la cohésion et le frottement contribuent à l'état de repos du triangle^ les limites de la force que l'on peut appliquer en F^ perpendiculairement à CB^ sans mettre le triangle en mouvement^ seront comprises entre A et A'.

lo. Mais si l'on remarque^ comme on l'a déjà fait dans l'Introduction^ que dans une masse de terres homogène l'adhérence est égale dans tous les points^ ilfaut^ pour soutenir cette masse indéfinie^ que non-seulement la force A puisse sup« porter un triangle donné CBa^ mais même que parmi toutes les surfaces CBe^^ terminées par une ligne courbe quelconque l^egy celle qui^ soutenue par son adhérence et son frottement^ et sollicitée par sa pesanteur^ produirait la plus grande pression ; car^ d'après cette supposition ^ il serait évident que si l'on appliquait en F une force qui ne différât de celle qui serait suffisante pour soutenir la surface de la plus grande pression^ que d'une quantité très petite^ la masse des terres ne pourrait se diviser que suivant cette ligne ^ toutes les autres parties restant unies par la cohésion et le frottement. Il &ut donc^ pour avoir une force A suffisante pour soutenir toute la masse^ chercher parmi toutes les surfaces CBe^^ celle dont la pression sur la ligne CB est un maximum. De mème^ si l'on voulait déterminer la plus grande force qui puisse a^ en F^ sans troubler l'état de repos ^ il faudrait chercher une autre courbe Be'^', telle, que la force A', suffisante pour faire couler la surface CBe'^ suivant Be'^, soit un minimum^ et les limites de la force horizontale, que l'on peut appliquer en F

ET rËQUlLIBRE DES VOUTES. 35?

sans mettre le fluide en mouvement^ seront comprises entre les limites A et A', où A sera un maximum , et A' un minimum.

Ainsi ^ il résulte que la différence entre la pression des fluides^ dont le frottement et la cohésion sont nuls^ et de ceux où ces quantités ne doivent point être négligées, consiste en ce que dans les premiers, le côté CB du vase qui les contient ne peut être soutenu que par une seule force, au lieu que dans les autres, il j a une infinité de forces contenues entre les limites A et A^, qui ne troubleront point l'état de repos.

Conmie il ne s'agit ici que de déterminer la moindre force horizontale que puisse éprouver * le revêtement qui soutient une masse de terre, sans que l'équilibre soit rompu, je ne chercherai que la force A.

Je supposerai d'abord que la courbe qui produit la plus grande pression est une ligne droite; ce qui est conforme à l'expérience, qui donne une surface très approchante de la surface triangulaire, pour celle qui se détache lorsque les revètemens sont ébranlés par le poids des terres.

D'après cette supposition , et les remarques précédentes, il &ut donc, parmi tous les triangles CBa, qui ont pour côté invariable CB et l'angle C droit, chercher celui qui demande la plus grande pression A pour l'empêcher de glisser le long de àR. Ainsi, comme nous avons pour un triangle quelconque.

ax

Ton aura pour le triangle de la plus grande pressicm^ par les

règles de maximis et minimis ,

dA dx

(f.+OC'"-'^")

et par conséquent

Substituant cette valeur de x dans l'expression de A^ l'on aur« A = ma^ — cT/a^ m et l étant des cofficiens constans^ où il n'entre que des puissances de ti; cette force A sera suJBQisante pour soutenir une masse indéfinie CBlff.

L'on peut conclure de la 'formule précédente, que l'adhérence n'influe point sur la valeur de a;, ou que les dimensions du triangle qui produit la plus grande pression, dépendent absolument du frottement.

Si le frottement est nul, quelle que soit l'adhérence, le triangle de la plus grande pression sera isoscèle, ou celui dont Tangle sera de 45 degrés.

11. Dans la formule précédente, A = ma^ — ^la; si l'on fait a variable, l'on aura dA = da{2ma — J'I) qui exprimera la différence des pressions des surfaces indéterminées CBI, ÇBl; et puisque la verticale CB ne peut pas porter une moindre force que A , la ligne BB' ne pourra point être supposée d'une moindre force que dA; ainsi, le momentum élémentaire de la force A autour du point E, base du revêtement, en nommant i> la hauteur totale CE, sera (ô — a) {2ma^— S'l)da, et intégrant , l'on aura pour le momentum total autour du point E ,

"3 j^ . Il faudra égaler cette quantité au momentum de

la pesanteur du revêtement pour en déterminer les dimensions.

Quant à la forme et aux dimensions des revètemens^ Ton n'a rien de mieux à consulter dans ce genre que les Recherches sur la figure des digues, ouvrage que j'ai déjà cité.

EXEMPLE

Si l'on suppose que le frottement soit égal à la pression^ comme dans les terres qui y abandonnées à elles-mêmes , prennent 45 degrés de talus; si l'on suppose l'adhérence nulle , ce qui a lieu dans les terres nouvellement remuées ,

pour lors on aura x=~-^a yj{\ + i.) = jL^ elk=^^œ^,

m sera donc égale à ^^ ^ et le momentum total autour de 6

sera ^ = 35 O î ainsi, si le mur qui soutient les terres était sans talus, que son épaisseur fûtc, et que sa densité fût la

même que celle des terres , l'on aurait c = ^^ , un peu

moindre que le quart de la hauteur.

Mais si le revêtement avait | de talus , en nommant c son épaisseur au cordon CD, l'on aura, dans le cas d'équilibre,

la formule gg = ^^ (^ + g) "*" TTsl; î ^'^^ ^^^ tire à peu près c = — . Si l'on voulait augmenter la masse de la maçonnerie d'un quart en sus de celle qui serait nécessaire pour l'équilibre, l'on trouverait c = -; en sorte que si l'on avait 35 pieds

(^ Dans cet exemple , comme dans ceux qui sniyent, Ton suppose qne le re« Tétement DCEG est solide et indivisible; que son frottement, exprimé par une fraction de sa masse, est plus grand que la poussée horizontale A; l'on cherche donc seulement quelles doivent être te^ dimensions, pourquoi ne puisse point tourner autour de son point G. .

54o SUR LES MURS DE REVÊTEMENS

de hauteur de terre à soutenir^ il faudrait faire CD = 5 pieds^

ce qui donne les dimensions usitées dans ce cas par la pratique.

Je crois la quantité c = - suffisante dans l'exécution^ d'autant

plus qu'outre l'augmentation de solidité^ d'un quart en sus de celle qu'exige l'équilibre, l'on a négligé le frottement qu'éprouve le revêtement, lorsque dans l'instant de rupture les terres sont prêtes à couler le long de CE , ce qui diminue en même temps la force A et augmente le momentum àxk revêtement.

Le maréchal de Yauban , dans presque toutes les places qu'il a fait construire, a donné 5 pieds de largeur au cordon^ sur I de talus. Comme les revêtemens construits par cet homme célèbre passent rarement 4o pieds, sa pratique se trouvé dans ce cas assez d'accord avec notre dernière formule. Il est vrai cependant que Vauban ajoute des contre-forts à ses murs; mais- cette augmentation de solidité ne doit point être regardée comme superflue dans les fortifications , dont les enveloppes ne doivent point être culbutées par le premier coup de canon.

Il résulte de cette théorie , que dans les terres homogènes, nouvellement remuées, les épaisseurs des murs qui les soutiennent, mesurées au cordon CD, sont comme les hauteurs CE, ce qui paraît devoir diminuer l'épaisseur que l'on donne ordinairement aux revêtemens qui n'ont que 1 5 à 90 pieds . de hauteur.

12. Dans les terres dont la cohésion est donnée, l'on tire de la formule K = mc^ — cTfe, qui exprime la pression des terres, un résultat assez utile dans leur excavation. Je suppose qu'il s'agit de déterminer jusqu'à quelle profondeur l'on peut creuser un fossé, en coupant les terres suivant un plan verti-

£T L'ÉQUILIBRE DES' VOUTES. 54i

cal^ sans qu'elles s'éboulent; car puisque Ton a^ en général,

A = maa — cT/a, si l'on fait A = o, l'on aura a = -. qui exprimera cette hauteur»

Par des principes analogues^ si la hauteur de l'excavation était donnée, l'on trouverait l'angle sous lequel il faudrait couper les terres pour qu'elles se soutinssent par leur propre cohésion.

i5. Si la masse de terre CaB était chargée d'un poids P, il faudrait, dans les formules précédentes > à la place de ^

{flrt. lo) substituer P + ^^, et l'on aura

d'où il résulte

Pour avoir les dimensions des revètemens, il faudra substitueçd'abord cette valeur de x dans la formule qui exprime A, et faire le reste comme dans l'article 1 1 .

i4. Jusqu'ici nous n'avons point eu égard au frottement qu'éprouve le triangle CBa, en coulant contre CB dans l'instant de rupture; mais pour peu que l'on y fasse attention, l'on voit que ce triangle est non-seulement retenu par son frottement sur Ba, mais encore par le frottement qu'il éprouve, en glissant le long de CB, de la part du revêtement; ce dernier

frottement pourra être exprimé par -,. où - marque le rapport du frottement et dé la pression , lorsque les terres font

34a SUR LES MURS DE REVÊTEMENS

eSoTt pour couler sur la maçonnerie. Or, dans le cas d'équilibre , le frottement sur CB équivaut à une force dirigée suivant BC j il faut donc , dans la formule qui donne la valeur

de A {arl. lo) , substituer à la place de 9 la quantité (^ — -), ce qui donne

d'où l'on tirera , en supposant que A est un maximum , et en faisant i-Hi = m, et 1 — zr. —/^>

n. éj ^ nu r ^

n V ' nv

mma

Substituant cette valeur de x dans l'expression de A, et opérant comme ci-dessus jjdjb^ déterminera les dimensions

des revètemens.

EXEMPLE

Si l'adhérence ^ est supposée nulle, comme dans les terres nouvellement remuées ; si le frottement est égal à la pression, comme dans toutes ceUes qui prennent 45^ de t^us naturel, abandonnées à elles*-mêmes ; si tz est supposé égal à p, l'on

trouvera pour lors A = ^ (a — x)^ et a; = ^ , l'angle

CBa = 36*^ 34', et A = ^. , le momentum total de la pression des terres autour du point G sera j^; d'où l'on tirerait, pour un mur de terrasse sans talus, dont l'épaisseur serait c, en ayant égard à la réaction du frottement qui con-

tribue à augmenter le momentum de la résistance du revêtement , de la quantité ^ , Téquation

Ifl ccb . cb

et par conséquent c= — b,k peu près ; c'est-à-dire qu'uR

mur de 3 pieds de largeur serait , dans cette hypothèse , en équilibre avec la poussée d'une terrasse de 20 pieds de hauteur.

L'on appliquerait avec la même facilité les hjpothèses de cet exemple à un revêtement qui aurait ^ de talus , comme on le pratique ordinairement dans les murs de terrasse; mais les épaisseurs que donnerait cette application seraient beaucoup plus petites que celle que la pratique ^mble avoir fixée. Plusieurs causes^ en effet ^ concourent à faire augmenter les dimensions des revêtemens ; en voici quelques-unes.

1^. Le frottement des terres contre la maçonnerie n'est pas aussi fort que celui des terres sur elles-mêmes.

fi^. Souvent les eaux filtrant à travers les terres^ se rassemblent entre les terres et la maçonnerie et forment des napes d'eau qui substituent la pression d'un fluide sans frottement à la pression des terres; quoique , pour obvier à cet inconvénient^ l'on pratique derrière les revêtemens des tuyaux verticaux et deségouts au pied de ces mêmes revêtemens^ pobr laisser écouler les eaux; ces égouts s'engorgent^ ou par les terres que les eaux entraînent^ ou par la gelée^ et deviennent quelquefois inutiles.

3^. L'humidité change encore non-seulement le poids des terres, mais encore leur frottement. Je puis assurer avoir vu des terres savonneuses qui , se soutenant d'elles-mêmes, lors-

qu'elles jetaient sèches^ sur une inclinaison de 45 degrés^ avaient de la peine ^ quand elles étaient mouillées^ à se soutenir sur une inclinaison de 60 à 70 degrés. Ënfin^ il faut^ pour que l'on puisse compter sur les dimensions fixées par les formules^ que l'eau ne pénètre point les terres dont on cherche la pression^ ou qu'en les pénétrant^ elle en augmente peu le volume. Cette augmentation de volume que l'humidité {MToeure aux terres^ et dont nous avons un exemple dans les lézardes que la sécheresse occasionne à la surface de nos campagnes^ produit contre les revêtemens une pression que Fexpérience seule peut déterminer.

Ces remarques sont encore indépendantes de la honte de la maçonnerie , qu'il faut toujours laisser sécher avec soin avant de la charger : elles sont encore indépendantes de la gelée ^ ennemi sans contredit le plus dangereux dont les maçonneries aient à craindre les effets ; car, outre l'augmentation de pression que la gelée produit dans les terres humides, par l'augmentation de volume, outre les engorgemens des tuyaux d'écoulement , l'on peut être sûr que tout mur qui éprouvera de fortes gelées avant d'être sec, perdra nécessairement la plus grande partie de son adhérence, et sera incapable de résistance.

^algré toutes ces remarques, qui paraissent conduire à conclure qu'il faut des dimensions particulières aux revêteinens , suivant la nature des remblais dont ils éprouvent la pression; que dans les pays secs et chauds il y a moins d'inconvénient à diminuer les murs de terrasse, que dans les pays humides et froids; je crois cependant que dans toutes les espèces de terre l'on pourra sans danger fixer les revêtemens à I de talus, sur le septième de la hauteur^ pour l'épaisseur au cordon (conformément à V article \i).

De la surface de plus grande pression dans les fluides

cohérens.

i5. Jusqu'ici nous avons supposé que la surface qui produit la plus grande pression était une surface triangulaire; la simplicité des résultats que donne cette supposition , la facilité de leur application à la pratique^ le désir d'être utile et entendu des artistes^ sont les raisons qui nous ont décidé; mais si Ton voulait déterminer d'une manière exacte la surface courbe qui produit la plus grande pression : voici^ je crois^ comment on pourrait s'y prendre.

Que C^ {fig^ 44) représente la surface courbe qui produit la plus grande pression sur CB, le frottement des terres et la cohésion étant supposés les mêmes que ceux du fluide indéfini gQhl. Si l'on prend une portion de la surface CB^ , comme PM^, il est évident que cette portion PM^sera, de toutes les surfaces que l'on peut construire sur PM , celle qui produirait sur cette ligne la plus grande pression; mais pour avoir la valeur de cette pression^ on verra quedans le moment où l'équilibre est prêt à se rompre, cette surface P^M est soutenue par son frottement et sa cohésion sur ^M , son frottement et sa cohésion sur PM, et sollicitée par sa pesanteur <p. Ce que l'on dit par rapport à la portion PM^, on peut le dire par rapport à la portion P'M'^. Or, comme dans l'instant de rupture toute la masse est en équilibre, il s'ensuit qu'une portion PMP'M', soit élémentaire ou non , sollicitée par sa pesanteur, et retenue par ses frottemens, sa cohésion et les différentes pressions qu'elle éprouve de la part du fluide qui l'entoure , doit aussi être en équilibre; mais pour peu que l'on j fasse attention. Ton remarquera qu'une masse PM^ ne peut être retenue par

546 SUR LES MURS DE REYÉTElif ENS

son adhérence et son frottement , qui l'empêche de glisser -le long de PM^ sans que le même frottement et la même adhérence n'agisse par sa réaction sur la masse CBPM^ dans le sens contraire. Ainsi en nommant A la pression horizontale qu'éprouve la ligne FM , et A' celle qu'éprouve la ligne FM' j un élément quelconque PMPM', qui doit être en équilibre^ sera retenu suivant une ligne horizontale Fe,par la pression (A'— A), sera sollicité suivant la ligne verticale PM^ par la réaction du frottement exprinié par - , par la réaction de l'adhérence «T . PM,

et retenu par le frottement et la cohésion de fM\ par le frottement et la cohésion de MM'; l'on peut donc regarder cette surface élémentaire PFMM' comme un triangle MM'^^ chargé du poids de l'élément sollicité par toutes les forces verticales que nous venons de détailler. Soit fait

gP X, PM .

^P' x', VU' y,

gP" x", pw .y.

Nous avons trouvé (art. 9 et 10) qu\ine surface triangulaire dont a serait le cdté vertical et a; le c6té horiaontal , sollicitée par une puissance verticale ^, donnerait ta pression

horizontale A = -^ — j«y /(aa+5^ . ^ comparant cette

é<}uation avec celle cjui aurait lieu pour l'élément PP'MM', Pou trouvera que A représente (A' — A) , que

que^ a = iy—^) et ^ = (ar'— a?) j ainsi Téquation qui ex-

ET VÉQTJtUBKE DES VOUTES, prime Pétat d'iéquilibre deTlendra

Séf

(A- -, A) - HK»'- X) + 4=* +Ji[y-y ')

Supposons, pour simplifier, / = o, od qtii a lieu pour les terres nouvellement remuées; Ton aura

Par le même raisonnemciiit > Ton trouvera

et par conséquent, en ajoutant ensèmiblé ces deux équations, l'on aura

I» ^ '\ nn/ n ^ ^\ nnj

mais puisque la pression horizontale de la surface PM^ doit être un maximum^ de même que la pression horizontale de la surface P'TVI"^, il suit que les quantités y, y, y" et x, x" restant constantes^ af, seul variable, doit être tel qu'il rende A'' — A' un maximum, ce qui donne, en dififérentiant et &isant y —y =y' — y = dy.

mais comme lea différentes parties correspondantes de cette équation sont des fonctions consécutives semblables , il suit, en intégrant et substituant dx klà place de x' — x.

Si, dans cette équation, l'on fait zdy = dx, l'on trouvera

Comme ^ dans cette équation réduite^ z n'est élevé qu'à la deuxième puissance^ elle aura la forme suivante

**-»- F + Gy *^^ F + Gy "*

et par conséquent,

* -T- fl(F + Gy) — ^LW + Gy)y' F + Gy J »

F, F, F", de même que G, G' et G", sont des coefficicna conslans.

Si l'on avait eu égard à l'adhérence , l'on aurait eu pré-* cisément une équation de la même forme , et l'on n'y trou-verait dé différence que dans les coefficiens.

L'on peut conclure de cette dernière recherche, que si un fluide dont la cohésion et le^frottement seraient donnés, était contenu dans un vase GQg^ la pression contre la paroi CB serait la même, quelle que fût la figure de ^^, si l'on pouvait y inscrire la surface courbe Beg- , qui produirait un maximum dans une maâse de fluide indéfinie; mais si la courbe Be^, qui produit la plus grande pression, était extérieure au vase, pour lors il faudrait déter* miner, de toutes les surfaces que l'on pouvait inscrire dans ce vase, celle qui produirait la plus grande pression.

Cependant, il faut remarquer que si l'adhérence et le frottement du vase et du fluide étaient plus petits que ceux du* fluide avec lui-même; pour lors, il se pourrait que la pression du fluide contenu dans le vase fût plus grande que celle du fluide indéfini. Le développement de ces remarques, de même que l'application des formules qui précèdent , demandent un travail exprès et m'éloignerait de la simplicité que je me suis prescrite dans ce Mémoire ; j'espère cependant pouvoir une autre fois traiter cette matière dans la théorie des mines, qui, dépendant en partie des principes que je viens d'expliquer , demande encore la solution de quelques problèmes assez curieux.

Des Voûtes.

16. Soit {fig. 45) la courbe F AD, décrite sur l'axe Fi>; soit une seconde courbe fady décrite extérieurement à la première; soit divisée la courbe FAM en une infinité de

66o SUR LES MURS DE REYÊTEMERS

partiee MM^^ et de chaque point M^ aoit tirée la li^e Mm, perpendiculaire à la courbe intérieure en M ^ ou formant avec rélément MM' un angle anivant une loi donnée; si Ton suppose les deux lignes ¥AD,/ad, telles qu'une pwtion quelconque AaMm, sollicitée par la pesanteur et retenue par la cohésion et le frottement, soit en équilibre , Ton aura formé le profil d'une route. Si l'on suppose ensuite que ee profil se meut parallèlement à lui-même et forme une enveloppe solide, comprise entre le tracé du mouvement des deux courbés, l'équilibre, démontré par rapport à ce profil, seii encore vrai par rapport à cette enveloppe, et la voûte ainsi formée sera celle que l'on app^e voûte en her^ ceau. C'eàt celle dont je me suis occupé dans les recherches qui suivent^ Les principes que l'on j explique pourront s^appliquer à toutes les autres espèces de voûtes.

Des f^oûtes dont les joints rHont ni frottement^ ni cohésion.

17. Soit aB {Jîff. 46) le profil d'une voûte, d*une épaisseur infiniment petite, dont les joints soient perpeikLiculaires à la courbe aB; l'on demande la figure de cette voûte, sollicitée par des puissances quelconques.

Que toutes les forces qui agissent sur la portion oM, soient décomposées suivant deux directions,, l'une verticale et l'autre horizontale ; que la résultante de toutes les forces verticales soit QZ, que je nomme 9 ; que la résultante de toutes les forces horizontales soit Qh, que je homme tt; soit, de plus, àP. . .j, VU. . .x , Mq. . .dx, qM'...dy; il est évident {art. 1) que ta résultante de toutes les forces qui agissent sur la portion cM doit être perpendiculaire au joint en M; et par Varticle 3, que toutes les forces qm

ET ^ÉQUILIBRE DES TOUTES. 55i

sollicitent cette partie de voûte ^ étant décomposées suivant deux directions , Tune verticale et l'autre horizontale, perpendiculaires l'une à l'autre , la somme des forces, suivant chaque direction , doit être nulle ; ainsi , si l'on nomme P la pression du joint en M, et que l'on décompose celte pres^

sion en deux forces , l'une horizontale -37 > ^t l'autre verticale -j^, l'on aura les deux équations suivantes -gj- = ^, et «2^ = ç , et par conséquent , en divisant l'une par l'autre ,

pour faire disparaître P, l'on aura ^ = ^j équation qui exprime la figure d'une voûte, sollicitée par des puissances quelconques.

Cette formule se trouve exactement ]a même que celle qui a été déterminée par Ëuler ( dans le troisième volume de V académie de Pétersbourg) , pour la figure d'une chaîne, sollicitée par des puissances quelconques , ce qui doit effectivement arriver; car en renversant la courbe et substituant la tension à la pression, la théorie précédente s'applique également à l'un ou l'autre cas et donne précisément la même expression. Au reste , la méthode d'Euler n'a rien de commun avec celle-ci, que le résultat.