QUATRIEME PARTIE

Exemple.

(35a) Soit l'équation x" — 5=3it(fioi), déjà traitée (345), mais qui n'a pu se décomposer qu'en facteurs du second degré. On aura, en rejetant les multiples de 601 5, //= — 1 , = 1 , et ainsi

« =12. Maintenant la solution complète de l'équation

x"' — 1= oit (601), trouvée parle théorème II, est x=( — 14°)"; et par conséquent celle de l'équation x" — i=OTt(6oi) est...

x=( — i4o),oti ou 120^; donc b doit être compris dans la formule

i2o*\ en prenant pour p. un nombre impair: or on trouve qu'il faut pour cela faire p.= 5. Donc la solution complète de l'équation proposée sera x=^(— i4o)s"^M" ou *— ai4-(i69)"- valeurs qui en résultent sont ± a 1 4 , ± 106, ±: 116, ±229, ±237.

(353) Ayant trouvé un nombre Ô tel que 6" — b est divisible par le nombre premier a, il est facile de trouver une valeur de x fceljeque

af — b soit divisible par une puissance quelconque a* de ce nombre premier. Pour cela, soit 6' — 6=M«, si l'on fait i'a;=8 + Afl, et qu'on détermine A et M' par l'équation M + nî— A=flM', il est clair que x" — b sera divisible par a\

Si on fait a" $'=6+ lia, x=b' + A' a', et qu'on détermine A' et M" par l'équation M' + «&"-• A*=a'M'î la quantités — b sera divisible par a*.

Si on fait 3" ô*=G'-t- A' a*, x=6"+ A" a4, et qu'on détermine A" et M'" par l'équation M" -+- /iô""~' A"=a* M'", le binôme x" — b sera divisible par a*.

On continuera ainsi jusqu'à ce que x' — b soit divisible par et si x n'était pas un terme de la suite 2,4,8, 16, etc., on voit aisément quel changement il faudrait apporter à la dernière des équations indéterminées. Ainsi si on avait «=7, au lieu de la troisième équation M" + *0"— A'=a*M~, on prendrait M" + A^a'M", et la valeur x= 0" A" a* rendrait x* — b divisible par a\

Nota. Si l'exposant n était divisible par a, il pourrait arriver

aa THÉORIE DES NOMBRES.

que quelqu'une des équations qui servent à déterminer A , A', A", etc., fut impossible; mais alors on aurait acquis la preuve que x9 — h

ne peut être divisible par aa.

(354) Maintenant si l'on veut que x* — B soit divisible par un

nombre composé quelconque A = , etc. dont b€ , cl, etc.

sont les facteurs premiers, élevés à des puissances quelconques; il faudra, par ce qui précède, déterminer les nombres X,f/.,v, etc., tels que les quantités

V — B il* — B v— B

a b cl

soient des entiers. Ensuite on combinera ensemble les équations

x=\ + aaz=iL + A6z'=v + Jz"=etc.

Et on obtiendra de cette manière toutes les valeurs de x moindres que 7 A, qui rendent x" — B divisible par A, ou qui satisfont en général à l'équation x" — B = A/.

Si on avait à résoudre l'équation Cx" — B = A/, on pourra supposer que C et A n'ont point de commun diviseur; (car s'ils en avaient un, on le ferait disparaître par la division). Soit donc C|i — A v = i ,

si l'on fait y=zy.y — vit", l'équation à résoudre deviendra

x" — B|a=Aj\ et ainsi sera ramenée au cas déjà traité.