QUATRIÈME PARTIE

Car en faisant dans le second cas x"=b*y, on a xn w ou. .

xn=b™' yn '=*I + ?OT(± xf = b. Le premier cas est d'ailleurs une suite du second.

Ce théorème offre déjà un grand nombre de cas où l'on peut rappeler immédiatement l'équation 6=30 (a) à la forme x"± i=iïi(a). Il indique en même temps une infinité d'autres cas où l'équation x* — /;=3TL(a) se décompose d'elle-même en un nombre n' d'équations de degré inférieur a?w — b* y=ïfo>(a).

Exemple I.

(348) Soit l'équation x'+ 49=f^(aa3), qui est résoluble (Th. I), parce qu'on a ( — 49)?4= 1 • Le* nombres 3 et 74 étant premiers entre eux, on aura, suivantle théorème précédent, x= ( — 49)''^ = — (fày, y étant une racine de l'équation/5 — 1 = JTt(aa3).

Remarquez que si on eût proposé l'équation x*+ 7 = 30,(333), il eût été facile de voir qu'une de ses racines est .r =6. Or il suit de là que dans l'équation ^-1-49=30(233), on a x= — 36. En effet, les trois racines de cette dernière sont x — — 36 , — 66 , 1 02.

En général , si a est une solution de l'équation x* — &=30 (a) , «' en sera une de l'équation a? — &' = 30(a).

Exemple II.

(349) Étant proposée l'équation x* + 30 = 30, (61), où l'on a bz=z — 20, il faut d'abord, pour que cette équation soit possible (11*339), qu'on en négligeant les multiples de 61 , b"= 1. Or on trouve &s = — 1 , et par conséquent b"= 1 ; donc l'équation est possible. Ensuite, puisque les exposants 6 et 5 sont premiers entre eux, on aura, suivant lethéorèm»,x= — zoy, ety* + 1 =30(61). Or l'équation y* — 1 =30,(61) a pour solution complète y— .29'; donc a? = — 20.ao/*-*" = 3o. i3'. Les nombres qui en résultent sont ± 7 , ± 34 , ± 3o.

ao THÉORIE DES NOMBRES

Exemple fil.

(350) Soit l'équation a:'0 — 5=3K-(6oi), on trouve Z>° = — i ; mais comme 10 et 6 ont pour commun diviseur 2, on fera, suivant la seconde partie du théorème, x'—U'y et j* — i =^(Goi). Celle-ci donne y={ — 169/; ainsi 1 équation proposée peut se décomposer en cinq autres du second degré, qui sont :

x' — iao=JiL((5oi), x' — i54=3t(6oi), x' + i83=3IL(6oi), x' — 276= ait (601), x* — 234=^(^01).

Mais cette décomposition est peu avantageuse, car il suffit d'avoir une valeur de x qu'on multipliera par les racines de l'équation y" — 1 = (60 1 ) ; on peut donc n'employer qu'une de ces équations, et la troisième, qui est la même que x' -h a8*=3lt(6oi), est celle d'où l'on tirera le plus aisément une valeur de a?(n°*87).

(351) Théorème V. « Soit l'équation à résoudre x"— b—.cm (a), « dans laquelle b<ù= 1 , u étant diviseur de ; soit ar=ô" la soft lution complète de l'équation xnb> — i=at (a); b devant être un des « nombres fl*,ea", G3". . .^~~^n, je suppose b=tf-* : cela posé,

« je dis que la solution complète de la proposée sera x = bm** *\ » En effet, cette valeur de x donne x'=b, quelle que soit m; il suffit donc de faire voir que b se trouvera toujours parmi les nombres 0" , etc. Or puisque 6" est la solution complète de l'équation xn%* — i=0lt(rt), on aura ôm" pour celle de l'équation x* — i=3IL(#); et puisque ba— 1, il est clair que b doit être un des nombres représentés par <r\

Cette méthode pour résoudre l'équation x"— b—cm. («), n'est sujette à aucune exception; mais il peut être plus ou moins long de chercher b dans la suite 9", ô^etc, et pour qu'elle réussisse complètement , il faut que le nombre u ne soit pas bien grand. Si l'équation

&w= 1 résultait de l'équation &T<f>== — 1 , il ne faudrait chercher/» que dans suite 0" , 6U, ô5", etc.