QUATRIÈME PARTIE. a

S III. Résolution de l'équation x' + a=t2my.

(355) Nous avons déjà vu (n° igi) qu'en écartant les cas les plus simples dans lesquels m ne surpasse pas a, cette équation est résoluble pour toute valeur de m , a étant de la forme — i ± 8 a. Voici alors comment on peut trouver la solution générale de cette équation. Considérons d'abord la suite connue

et observons que ses coefficients , réduits à leur plus simple expression , sont :

5 7 ai 33

J> £ïi 27» a»» ai- 1 a.i> etc.;

de sorte que leurs dénominateurs ne sont autre chose que des puissances de a dont les exposants croissent suivant une certaine loi. Pour rendre raison de cette propriété, on peut faire

(1 +z)7=i +Az+Bz, + Czî + etc. ;

puis carrant les deux membres , on aura pour déterminer les coefficients A , B, C, etc. , les équations :

a A= 1 a B = — A* aC = — aAB aD= — a AC — B' etc.

D'où l'on voit que chaque coefficient se détermine à l'aide des pré-

a4 THÉORIE DES NOMBRES.

cédents, sans introduire aucun dénominateur autre que a. Donc tout

coefficient réduit doit être de la forme — , M étant un entier.

(356) Mais pour apercevoir encore mieux la loi de ces coefficients et déterminer en même temps l'exposant de la puissance de 2 qui leur sert de dénominateur, prenons l'expression générale du coefficient de z" , laquelle est.