CINQUIÈME PARTIE. ai

sitives de cette équation sera la valeur de acos.^-; on en déduira la

r=cos. ^ + \/ — 1 > et de là les neuf autres racines de l'équa-

tion X = o.

Nous avons suivi la méthode générale pour parvenir au résultat précédent, mais on y serait parvenu plus simplement en faisant la substitution x* -f- \—px dans l'équation X=o.

Jusque là on ne voit pas quel est l'avantage de la nouvelle méthode dans la résolution de l'équation x" — 1 = 0; cet avantage se fera mieux sentir dans les exemples suivants.

Exemple III. «=i3.

(53a) D'après la racine primitive g= a qui satisfait à l'équation g"= — 1 ou gb+ i=;m,(i 3), on formera la suite des exposants de rdans l'ordre 1 , a,4> 8, 3,6, 1a, 11 ,9, 5, 10, 7 , qui sera celui des puissances égales aux racines de l'équation X=o. Ces racines prises de trois en trois, formeront trois périodes de quatre termes que nous désignerons comme il suit, en nous bornant à indiquer les exposants des puissances de r qu'elles contiennent

p =(4: i)=(i , 8, ia,5) p' =(4 : a) = (2, 3, 1 1 , io) ^'=(4:4)=(4,6,9 , 7);

on tire de là par le théorème de l'art. 5oo,

pp'=p -t- a// + p"=— 1 + p' p*=A + p'+ '2p"=3 — p + p".

Chacune de ces équations en fournit deux autres, mais il suffit de les combiner avec l'équation ordinaire 0=1 + p+p +p", pour en déduire

C'est l'équation qui servira à déterminer les trois racines/»,/*',//'; II. a8

aI8 THÉORIE DES NOMBRES.

connaissant une de ces racines désignée par p , les deux autres se trouveront immédiatement par les formules