P ^TZ^— 2 — %P P

11 faut maintenant subdiviser chaque période de quatre termes eu deux autres de deux termes (i), savoir :

><> j 7 =(' : ia) = r' + r" P —'/+<! | ,y'»(8: 5) = r»+r*

( q = («: Il) = r,^-r" 7 ( q" =(3: io)=rJ + r"

On trouvera d'ailleurs les produits qq"'=q" + q*=p" , 7' </"=/• q"q'z=p'; d'où il suit que

y et 7"' seront les racines de l'équation 7* — /y q+p"=o q' et 7" 7* — P'f/+P — 0

7" et 7' ' ,f-p"q+p'=o

Au reste il est aisé de voir qu'en prenant pour p" la racine négative de l'équation (A) , l'équation q'~-pq + p" — o aura les deux racines

q = a cos. > 7" == — a cos. ~j ; avec la racine positi vèq on formera une racine de l'équation X =0, savoir: x=cos.^ + l/— 1 sin.^,

(1) On remarquera dans la notation des indices de y, le même ordre qui serait suivi, si, dans la période (13 : 1) ou (1 , 2, 4,8. . . 10.7) comprenant toutes les racines , on prenait les termes de six en six ; ce qui donnerait la suite des périodes de deux termes, y = (i : ia), y'— (a : 11), etc. Rien par conséquent n'est arbi-

laquelle donnera toutes les autres par ses puissances successives r,r\r\..r".

S'il ne s'agit que de la division de la circonférence en i3 parties, il suffît de connaître la racine y = acos.a-*, ce qu'on obtient, conformément à la théorie générale, par la résolution de l'équation (A) du troisième degré, et par celle de l'équation du second degré 7'— /"/+/>"=o.

Exemple IV. m =^17.

■- * k. , (533) D'après la racine primitive g—Z qui satisfait à l'équation g1 4- i = ^(17), les puissances de r qui sont les racines de l'équation X = o, doivent être rangées dans l'ordre des exposants

Ces racines se décomposent en deux périodes (8 : 1), (8 : 3), dont les valeurs sont, en indiquant seulement les puissances de r par leurs exposants,

Ces valeurs donnent pp'={8 : 4) 4- (8 : 1 1) 4- (8 : 6) -+- (8 : 12) + (8 : i5) + (8 : 8) 4- (8 : i3) +(8 : 7)=/ip+^p=z— 4; donc les deux quantités p et p' sont les racines de l'équation p*-\-p — 4 = °-

Il faut ensuite décomposer la période p ou (8 : 1 ) en deux autres de quatre termes (4 : 1) , (4 ' 9) » que nous désignerons par q et q"; de même la période p' ou (8 : 3) en deux autres (4 : 3) et (4 : 10) que nous désignerons par q et q'\ comme il suit :

H en résulte q q = (4 : io) + (4 : if>) + (4 : <)) + (4 : 3) = y'"+ y + 7 '+ 7'=/»' + /? = — 1 , et semblablement 7' 7"'= — 1. Donc

7 et 7" sont les racines de l'équation q%—p 7— 1 =0 7' et 7 " q* — pq — 1 =0.

Enfin chaque période de quatre termes se décompose en deux antres de deux termes que nous désignerons comme il suit :

rr-=7 ,

(534) Dans la résolution de ces équations trois ambiguïtés sont inévitables (1), savoir: une dans la valeur de p déduite de l'équation p% +p — 4 = 0 , une dans la valeur de 7 déduite de l'équation qx—pq — 1 =0, et enfin une dans celle de t déduite de l'équation r* — qt + q' = o. Il en résulte huit valeurs différentes pour t, ce qui est conforme à la nature des choses; car ayant en général. .

r = cos. -y— + 1/ — 1 sin. — , et par conséquent t = 2 cos. , on

peut donner à k les valeurs 1,2,3,4,5,6,7,8 à volonté, ce qui donnera pour / les huit valeurs

ait 4TC 6* 8* ioit iair