COS. — , 2COS.— , 2COS. , 2 COS. — , 2 COS. , 2 COS
a cos. — — . 2 cos. .
(1) Il n'y pas d autres ambiguïtés à craindre , parce que p étant déterminé, on en déduit p'= — 1 — p\q étant connu, on en déduit les trois autres 7', q", q"\ qui peuvent s'exprimer en fonctions de q ; de même t étant connu , on en peut déduire t',t", etc.
Il n'y en a pas un plus grand nombre, parce que 17 — k et en général 1 7 1 dt k donne le même résultat que k.
Pour obtenir de» résultats numériques , on peut faire d'abord
t= 2 cos. <», » désignant l'arc , ce qui donnera
t = 2COS.u>, ^ = 2COS.3w, £"=2COS. 9 w, f'"=2COS.7w
/"= acos. i3«, <' = acos. 5w, r = acos. i5<*, f" = acos. iiu. Ces valeurs substituées dans celles de q donneront
q =2 COS. (0 + 2 cos. 1 3 « =4 cos. () u cos. 7 w </' = 2 cos. 3 <u 2 cos. 5o» =4 cos. w cos. 4 « =acos. y« -+- 2cos. i '")<» = 4 cos. 3 «cos. 12»
= U COS. 7 w + 2COS. I I w=4cOS. 2wCOS-9w.
ttnfiri on conclut de celles-ci :
p =4cos.6wcos.7w + 4cos. 3wCOS. IUu /?' = 4cos.wcos.4« + 4 cos. 2 «cos. 9».
(535) Ces formules ont lieu sans supposer aucune valeur particulière kk; soit k= i , ce qui donne <* = ^, alors on reconnaît immédiatement et sans calcul , que q et q' sont positifs, q" et q'" négatifs; on a en même temps p=^cos.~ cos.~ — 4 cos.— cos.^
et/;' = 4cos.^cos.^— 4 cos. ^ cos. ^, ce qui prouve que p est
positif et / négatif. Ces signes suffisent pour diriger la solution de manière à éviter toute ambiguïté.
En effet p et p étant les racines de l'équation p' + p — 4=0 , on en tire
/> = — i + ît/17, />'=— 7 — il/ 17,
ensuite l'équation qui donne 9 et 9" étant q*—pq— 1 =0) on en tire
<1 = \P + f^(^ + 4), ?" = t/>-tK(/>' + 4), soit pour abréger a =\S7jel 6 =1/(2 «'—2 «), on aura q = |(«- 1 + g)
q"=\ («— A l'égard de q qui doit être positif on peut l«*
déduire de I équation q* — p q — i =o, qui donne
Connaissant 7 et </', l'équation ** — qt -h q' = oyi{\n a pour racines
/=racos. — , r = acos. — = asin.^;, donnera 17 17 34
sin..^ = ;y-^(7--4^=TT(«-« + C-TV/[(«+3)(«--Te)].
Ainsi au moyen de trois extractions de racines carrées, on aura la
valeur de asin.^ , côté du polygone de 34 cotés, et celle de
2(1 — cos.^) , carré du coté du polygone de 17 côtés. On aura
en même temps par la formule jc = co$.™+\/ — 1 sin.— ■> une ra-
cinede l'équation X = o; laquelle servira à déterminer toutes les autres.
(*>36) S'il s'agissait de résoudre I équation — 1 = 0011 de diviser la circonférence en 2J7 parties égales, le problème ne serait guère plus compliqué que celui qu'on vient de résoudre; il y aurait seuielement quatre expiations du second degré de plus à résoudre, de sorte que le polygone de 267 côtés pourrait s'inscrire géométriquement comme celui de 17. 11 en est de même du polygone de a'J-+- 1 ou C>Y)3y côtés, qui est inseriptible géométriquement, ainsi que ceux de 2''etdea'6 — 1 côtés, puisque a'6 — 1 = (a' — 1) (a* + 1) = a>j.257 = i5. 17.257.
En effet, si sur une circonférence donnée C on peut construire
l'arc égal à \ C et l'arc égal à — C, leur différence sera ,-rëC, et la moitié de cette différence donne l'arc égal à ~ C. De même con-
CINQUIÈME PARTIE. ;.a3 naissant cet arc et l'arc égal à ^C, on connaîtra l'arc égal à
( -U ^Cou „2 e C, dont la moitié est sous-tendue parle
côté du polygone qui a 05535 côtés.
Exemple V. /i = 4i.
(537) En mettant n — 1 sous la forme 8x5, nous formerons d'abord l'équation du cinquième degré qui a pour racines les périodes p = (8 : . ) , // = (8 : g) , //' = (8 : g') , //" = (8 : g>) , // • = (8 : ^ racines simples comprises dans ces périodes sont déterminées comme il suit, d'après la racine primitive g= i3 (1) qui satisfait à l'équation g'"-i- 1 ^3iL(4i), ou simplement g" — — 1, sans qu'on ait
De là on tire par le théorème de l'art. 5oo les valeurs linéaires de pp',pp"yp\ et celles qui en dérivent, comme il suit :
p p =3p +*p" +p"'+'2pr p p"—%p +2/7' +2/7" +p'"+p" p' p"=3p' +2p"+p" + 2P p p"=2p +2p"+2p"+p"+p p"p"'=z3p" +ap"+p +zp' p'p"=ap"+ap"+ap"+p +p p"'p"=3p"'+2p +p +ap" p"p =ap'"+*p"+ap +p +p" p"p =3p" + zp' +p" +zp'" p"p' =2p"+ap +2/7' +p"+p"'
(1) On a choisi i3 parmi les 16 valeurs que peut avoir dans ce cas la racine primitive : ces 16 valeurs sont ±(6, 7, 11 , la, i3, i5, 17, 19).
Au moyen de ces équations il est facile de déterminer les valeurs de p \p",p"\p,r, exprimées par le moyen de p, ce qui conduira assez, promptement à l'équation du cinquième degré en p.
En effet la valeur de px combinée avec l'équation o — i + p -+- p + p" + p'" + p'\ donne d'abord
/>' -h np — ()=//— 2 p".
Multipliant chaque membre par p et substituant dans le second les valeurs linéaires de pp et pp*\ on aura
pi -4-2/?' — l 'ip — \ = 4 P -+- p' "-
Multipliant celle-ci par p et faisant de semblables réductions, on aura
p' + ipl — rtp'—Sp + G = 3//+ 3p".
Enlin multipliant de nouveau par p, il viendra
p- + 2/?4— i3/>' — 8/?' — 3p -h 6=fip '+ Zp'\
De ces équations on tire deux valeurs de 9 p"> qui étant égalées entre elles donnent l'équation cherchée
4? + pk — -+- 5/>" + 2i/> — 9 = 0. (A) C'est ce qu'on obtiendrait directement par les formules de l'art. 5o3. Ces mêmes équations donnent les valeurs de p 7p" ,p"\p" , exprimées en fonctions de p, comme il suit :
gp — 2p* + np* — 29//* -+- lop + 12 gp" = pt + ûp* — iop' — 34/> + 6 gp'"=—/ïp' — jpi+ 58//'+ igp — 60 gp"= p* + p'—igp* -!\p +33, ou plus simplement
3// = p'-io+6-
p 3 3/'= p> + zp'—i3p - 5 + ?
Voici pour fixer les idées, les valeurs approchées de ces racines, en désignant par p la plus grande des racines positives
(538) Il faut maintenant partager les cinq périodes de 8 ternies désignées par p,p, etc. , chacune en deux autres désignées par <y, comme il suit :
q =( 1 , 9 ,4o,3a) g' =(38, 14, 3,27) q = (i3,35,a8, 6) f = (2,i8,39,a3) j q" =( 5,4,36,37) I q"' =(26,29, i5, la) j 7"' =(a4,ii,i7,3o) j 0"»=(|O, 8 ,3i,33) q" =(y.5,ao, 16, ai) q" = (7 ,23,34, H)).
Le produit qq" est la somme des quatre périodes (4 : 39) , (4 : 1 5), (4^4), (4:28); ces périodes sont (f\ 7'", 7", q* , et leur somme =p + p" donc l'écjuation du second degré dont les racines sont q et (f , est q* — pq -+- p'+ p "— o ; d'après cette équation on obtient toutes les autres, comme il suit :
racines q et q" équation q* — pq+p + p" —o
q et q" q' — p'q+p" + p" = o
q" et 7"' q*—p'q+p"'+p"=o
q" et <f'p'"q+p"+p =0
9" et q" q* — P"q+P +p' =0.
