TT'T"T"'=AA'A"A

On voit aussi que les trois polynômes T, T", T", peuvent s'exprimer rationnellement par le moyen de T de la manière suivante :

valeurs qui étant substituées dans l'équation T T T"T"= A A' A" A'", ou dans l'équation T"' == A"T , donneront également pour résultat

Ainsi nous avons déjà un moyen de déterminer le polynôme T en

fonction des quantités A qui sont toutes connues; car le nombre n étant donné, il est facile de connaître les coefficients a, g, y, i ,« qui entrent dans la valeur linéaire de a—p* -+- 2p"p"'+ zp'p", et qui sont tous des nombres entiers. Ainsi en faisant « = 4i et prenant pour racine primitive le nombre g-==i3, on trouve par l'art. 537 a=— np + 3p'+ ip" — 4/>"'i ce qui donne dans ce cas a= — 2, 6 = 3, y = a, 8 = — 4» « = 0.

Connaissant T on en déduira, par les formules précédentes, les valeurs de T', T", T'". Puis ajoutant les quatre équations (1) auxquelles on joindra l'équation — i=p+ p'+p"-\- p"'+ p" , on aura pour déterminer />, l'équation

On voit donc immédiatement la possibilité de déterminer la racine p par le moyen des quantités A qui sont des fonctions de R. Mais cette solution serait trop composée, puisqu'elle déterminerait T par l'équation (4), c'est-à-dire par l'extraction d'une racine 15""*, tandis qu'il est facile de la déterminer par une racine 5'*"" seulement , comme nous allons le faire voir.

(55a) Si on multiplie entre eux les deux polynômes T et T"' qui sont des fonctions semblables de R et de R4 , le produit sera

TT"=/p> + Rfpp'+ R'fpp"+ KVpp'"+ Wfpp".

Mais en faisant toujours n— 5m + i,ona trouvé ci-dessus (art.537),

fp' = n-m, fpp=fpp"=fpp"' =fpp" =-m.

Donc TF = /i-m(i -1- R + R' + R'+R4), ou simplement

TT"'=w,

car l'équation R5 — 1=0, dont le premier membre =(R — 1) (i+R + R'+R' + R4), exige qu'on ait 0= 1 + R + R'+ RJ + R4, puisqu'on ne peut supposer R — 1 — o.

On trouverait semblablement TT" = « , mais il est facile de voir

a/,4 THÉORIE D6£ NOMBft&S.

que cette équation n'est qu'une conséqueuce delà précédente. En effet si T est désigné par *R,onanraT'=*(ÏV),T'== *(R,),T"'=*(K«), « t l'équation JT'"— n deviendra *(J*)*(R4)='*- Mettons dans cette équation R' à la place de R et connue alors R" se réduit à W , n ons aurons <ç(R,)*(R,) = «, on T'T"=/?,

( >5i3) Les propriétés que nous venons de démontrer pour les fonctions T, ont lieu également pour les fonctions, A. En effet si la seconde et la troisième des équations (3) sont multipliées entre elles, le prx)duitdonne(T'T"), = A'A"TT/",ou/i,^=nA'A"; donc

De même en multipliant la première par la quatrième, on aura (TT'"),=AA "'T'T",ou n' = «AA'"; donc