AA

on a donc ces deux séries d'équations

(6) n = AA'"=A'A".

Comme on peut supposer en général R =cos. ^£ + \/ — i sin.~;* ,

h étant l'un des nombres i , 2 , 3, 4* 'I est visible que la quantité A , fonction rationnelle et entière de R, pourra s'exprimer par la formule

A — r (cos. 0 + 1/ — 1 sin. 6).

Et puisqu'on a AA"'=«, il en résulte

A"' = "(cos.9— \/— 1 sin.ô).

D'un autre coté on a la valeur

A-HA"^^« + £(R' + ^) + a(R4 + ^T)

CINQUIÈME PARTIE. 2*5 d'où il suit que A + A'" est une quantité réelle ainsi exprimée :

A+A"'=2a-*-2eCO6.^-t-2$C0S.^^4- iyCOS.'-^ + aêcoS.-^1-

Donc il faut qu'on ait r — " = o, ou r=V/«. Donc on a en général

A = n1 (cos. 0 + \/ — i sin.ô);

c'est-à-dire que le module réel de la quantité imaginaire A est toujours égal à n7 ; on trouvera semhlablement

A'=n* (cos. 8' + V— i sin . ^ , et par ces denx formules , on aura

A" = n7 (cos. 6'— l/— i sin. ft') A'" = n • (cos. 9 — V — i sin. 6).

(554) H faut maintenant faire voir a priori que la forme des valeurs de T sera la même que celle des quantités A , et que n 7 servira encore de module'à ces quantités.

En effet on a trouvé T T" = n , et la somme des quantités T, T" pouvant se mettre sous la forme

On voit que cette somme est égale à la quantité réelle

p + a(p'+p")cos.^+ a(p"+ /'^cos.^.

Supposant donc de nouveau Trsp^s.ç + l/ — i sin.ç), on aura T"'=^(co6. ç — V— i sin. f) , et puisque T -4* T" est une quantité réelle, il faudra qu'on ait p — ^=0 ou p=n7. Donc les deux quan-

a4<i THÉORIE DES NOMBRES,

tités T et T" devront être de la forme

T —n~ (cos. 9 1/ — 1 sin. ç) T" = «~(cos.«p — \/— i sin.ç).

On démontrera la même chose des quantités T et T", pour lesquelles on aura

T = n » (cos. 9+ 1/— i sin. ?') T" = /iT (cos. ç — 1/ — i sin. ç').

Mais cette propriété se déduit plus immédiatement des valeurs de T , Y , T', T", qu'on peut exprimer par le moyen des quantités A , A\A'\A'\ '

(555) En effet les deux équations T* = AT', T'=À'T", donnent T*=A.*V'=: A* A' T'", et par conséquent

T5 = nA'A'.

Substituant les valeurs A = n * (cos. 6 + 1/ — J sin. 6) , A' = n* (cos. 0' V— i sin. O') , on aura

Ts= n~> [cos. (a 6 + 6' ) + 1/— i sin. (a 6 + 6')] , et par conséquent

T = n ' I cos. g + 1/ — i sin. — ^ — I ,

expression où l'on voit que le facteur n~ est en effet le module réel de la quantité imaginaire T.

La valeur de T qu'on vient de trouver renferme implicitement cinq valeurs différentes. Car la quantité qui exprime TJ peut être écrite ainsi :

Ts = n 7 [cos. (a 6 + e' + 2 1 *) + 1/ — i sin. (a 0 6' a tir)] , /* étant l'un des nombres o, i , a, 3, 4, à volonté. De là résultent

CINQUIÈME PARTIE. a47 les cinq solutions suivantes où l'on a fait <*= — jp- ,

T = n * (cos. <o + V/ — i sin. «)

T = n ~ [cos. •+- ^ + 1/ — 1 sin. (m ™)J

T = [cos. («* + ^) + i sin. (u> + ^)]

T= »* [cos. (u, + ^) + V/- i sin. (* + 6-f)]

T=nJ [cos. (*» + -jf ) + V — * (« + ^y)] •

(556) Ayant pris à volonté pour T l'une de ces cinq valeurs les trois autres quantités T,T", T", deviennent entièrement déterminées.

En effet supposant T = n 1 (cos. &> -t- V/ — i sin. ») , si on substitue cette valeur ainsi que celle de A=/*7(cos. G +1/ — î sin. 6) dans l'équation f=p on aura

T=n^ [cos. (a » — 6) + \/— i sin. (a « — 0]. Ensuite des équations TT"=« , T'T"=«, on déduira T"=rc« [cos.(ao» - 6)— V/— i sin. (a — ô)]

T"'= n7 (cos. <ù — \/ — i sin. *).

Maintenant pour déterminer les racines/?, p tp\ p", p" , il ne reste qu'à substituer les valeurs de T, T, T", T", dans l'équation (5), et on aura

p = — g -g- [cos. «a ■+■ cos. (a u — 0)].

Cette formule qui donne la valeur de la racine p , donnera également celle des quatre autres racines p' yp" ,p", p" , soit dans l'ordre déterminé par la racine primitive g soit dans l'ordre inverse , pourvu

a'l8 THÉORIE DES NOMBRES.

qu'à la place de o on mette successivement u -4- w +

w-f- ~. On obtient donc ainsi la résolution générale de l'équation

proposée, laquelle ne dépend que de la quintisection d'un angle u = a 0 -f- 6' qu'on peut construire géométriquement

(557) Revenons aux formules qui donnent les valeurs des angles 0 et 6'. Si on fait -g- = |x , on aura

R — eos. |a -4- V/ — 1 sin. ^ R' = ros.aft + 1/ — 1 sin. a^ R3 = cos.a{t — \/ — 1 sin. a|* R4==co8. |i — 1/ — 1 sin. (x;

et l'équation 0 = 1 +R+R, + R1 + R4 deviendra

0=1 -f- acos.ji-t- acos.

Cette équation , qu'on peut mettre sous la forme

o = 4cos-Y+ acos.f* — 1 ,

donne en général cos. p.=~I'~>/^5, de sorte que cosljt aura ton-

jours l'une ou l'autre de ces deux valeurs, quelque soit le nombre k, pourvu qu'il ne soit pas divisible par 5. Si l'on fait, par exemple,

rt=i,ou (x = ^ = 72% ou aura

— 1 + 1/5 i v/5 eos.|A= - , cos.a(*= ^

Cela posé si l'on substitue la valeur de R dans l'équation A = a + eR,-f-*R* + yR6+eR\

et qu oH metteeïimême tempspour A sa valeur nï (cos ô+ l/— i sin.O),

CINQUIÈME PARTFE. a% on aura , pour détanmaer 6 , te» àem. équartioirs (î),

/lTCOS. t — « -t- (y -f- î)co$.u + (e -+■ S)C0S. *(*

/i>»-sin.ft=i(y — i)aia. p. (*— S)sm<. a^.

Il suffira ensuite de mettre 2p. à la place de p., pour avoir la valeur de A' représentée par *T (ces, 6'+ \/~- i si». *')r de sorte qu'on aura

/f'COS.e^ a ■*- (y + *) COS. 2(1 + (e + é) COS. fi k

n • sin. ft' — î) siru ap, — (« — 6) sin. pt.

Dans les cas particuliers fe valeur donnée d'or nombre premier n = 5m + i , et celle du nombre g racine primitive de n, feront connaître les valeurs des coefficients a, 6, y, 4, «, comme on la vu dans le cas de »=^4r> g~ i3 (art. 55 1) , où nous avons trouvé «=s — a , 6=3,y = a,î = — 4i«=o- Ainsi on doit regarder comme bien déterminés par les formules précédentes , les angles G et 6', d'où résulte a> = a ?" ; il ne reste donc plus rien d'inconnu dans l'exprès-

sion de la racine p, qui contient implicitement celle des autres racines p\ p" , p", p'\ Mais nous allons profiter des équations1 en 9 et 6', pour établir quelques relations générales entre les coefficient»

(i) On voit ici deux équation* pour déterminer l'angle oul'arc^; la raison en est que l'extrémité de l'arc Q est un point de la circonférence qui ne peut êlre entièrement détecmin* que gar ses deua coordonnées cas. 0 et sin. 6, dont les valeurs doivent être connues aussi bien que les signes. Sion ne connaissait qu'une de ces coordonnées, elle serait commune à deux points de la circonférence et il y aurait incertitude sur celui des deux points qui doit terminer l'arc 8. Quant au

multiplicateur n~ qui affecte cos. 6 et sin. 6, il doit toujours êlre pris positivement comme représentant le nwdu.'c d'une, quantité imaginaire. En effet, dans la formule r (cos.ç-f- \/ — i sin.ç) qui représente une quantité imaginaire quelconque , le module r doit toujours être suppose positif, puisqu'on est maître de changer à volonté le signe dé cette quantité, en mettant ir-f- ç à la place de ç. H. 3a

a5o THÉORIE DES NOMBRES.

(558) Nous.observerons d'abord qu'on a en générai

Car ayant fait ci-dessus «=p' + 2/;"/»"-*- 2 /*'//', puis ayant représenté cette même quantité réduite en termes linéaires, par la formule

<r = <t// + €p + yp"+èp'"+ tp",

si l'on considère les quatre autres coefficients h , c,d, c déduits du coefficient», en avançant successivement d'un rang chacune des lettres p , p , p" , p" , //", et mettant p à la place de/?*, la somme des cinq valeurs de a ainsi formées aura deux expressions; ia première sera , .

fa ==/)/ + 2/p"p"' + afp'p" ;

mais fp' = n—m, fp"p"' —fpp =~m, fp'p" =/pp" = — ni ; donc fa=n — fim=i.

La seconde expression sera ^ ?

fa = (ot-l-ê + y-|-5 + t)fp ,

et puisque fp= — 1 , la comparaison des deux valeurs de fa donne A, ou

st + €-l- y -+-£ + « = — 1.

Maintenant si on élève au carré les deux équations qui donnent les valeurs de n » cos.Ô et n • sin.O , on trouvera en les ajoutant

II — at' + 2 et (y -4- $)COS.jt -+- 2 <x(» + 6)C0S. 2|i

+ 6'+ y' + + «' -4-2y$COS. 2 + 2ê« COS. pt -f-2(ye + €$)coS. p + 2 (6 y -I- $ e) COS. 2|t;

ou si l'on fait

p=a' + 6> + y' + *« + e'=/V Q = «y + e* + ye + + eê=/ay R = «e + êy-f-y4 + *« +ea=/«6,