CINQUIÈME PARTIE. r»i

on aura

n=P + aQcos.|i 4- aRoos.ajju

Mettant 2p à la place de p., on aura le résultat que donneraient semblahlement les deux équations qui déterminent l'angle 8', savoir :

• la'

« = P + aQcos.(jL-t- aRcos.ji.

Comparant ces deux équations, il en résulte d'abord

ensuite n = P + Q (2 cos. a y. + a cos. fi) = P — Q.

Mais P + aQ + aR est. visiblement le carré de la somme... *+64-y + i+ €,et puisque cette somme = — 1 , on aura P + 4 Q= » » donc n = 1 — 5Q, et Q = — m / d'où l'on voit que les coefficients «, 6 , y, i, é, satisfont à ces trois équations

1 + 4/»=ra' + e' 4- y* + +

— OT = «6-+-6y-Hyî+Je-|- e et ==/*«€

— /W=«y + 6$ + ye-t-iot-t- e6=/ay,

dont une est la suite de l'équation

I~i première fait voir en général que la plus grande des quantités «, 6,y , î, £ , sans égard à son signe, doitètre plus petite que l/( 1 +^m),

et plus grande que \/ 5

(55q) Puisque nous n'avons que trois équations pour déterminer les cinq quantités a , 6, y, l , e , on voit que la question de les déduire a priori du seul nombre premier n = 5 m + 1 ; est fort indéterminée.

Nous avons trouvé ci-dessus les formules

pp =Ap+\lp'+ Cp" + Dp"' + Ep" pp"= Mp + Cp'+ C>"+ Dp "+ Dp",

où il y a six coefficients A ,b\ A , C , C, D, entre lesquels on a les

*52 THÉORIE DBS NOMBRES.

deux équations simples :

et deux autres plus composées, savoir :

A'C'+AB = (A + B-l))'+C'-CD + [),-C-D A' (A — B)=C' — "C(Ah-*B — D-4- i) -4- A* 4- B»D — iD*;

d'où l'on voit qu'il restai^enccre à disposer de deux indéterminées sur six, comme nous venons de trouver qu'il reste à disposer de deux indéterminées sur les cinq «, €, y, «.

On accordera facilement ces résultats en mettant la valeur de a qui est^*" -f- ap"pm+ a p p'" sous la forme Knéarre a.p + €p + yp" + «/?", ce qui donnera

«= — i — am + >(C -+- D) î=aC — B — D y=aA — C — C *=aB— A— C e = a A' — A— D.

Car en substituant ces valeurs dans l'équation

on aura pour résultat l'équation de condition :

AB + A'C=m' — (4m + i)(C + D)+ 5C+7CD+D',

qui peut se mettre sous la forme suivante où Ton a fait û= C +D, *=C-D, t= A -B., « = A'— C,

o = 4m' — 4a (5m 4- a)-f- a5a* -4- 56*+ af* -♦- au'.

Une seconde équation de condition se déduira de l'équation . . . o .= /«."* — /«y, qu'on peut écrire ainsi :

Or on trouve aisément que ces deux équations de condition s'accordent avec les deux que nous avons rapportées dans l'art, précédent , lesquelles ont été trouvées ci-dessus par une voie très-différente; et il ne paraît pas qu'il en existe une troisième propre à diminuer l'indétermination qui reste sur les coefficients A , B , A', C, C, O. Au reste cette indétermination est dans la nature des choses , puisque les coefficnentsidontil s'agit dépendent du choix «pion -»eut faire entre les différentes racines primitives qui servent à les déterminer; «sais d'un autre côté iJ faut observer qu'aucun de ces coefficients ne peut être négatif, et on peut conclure des résultats déjà trouvés , que rindéteriirination qui subsiste encore à leur égard , se réduit à ce que A — B soit échangé avec C — A' en même tem|>% que C avec D.

C'est aussi ce que confirment les quatre équations données , art. 563 , pour déterminer 6 et 0'. Car comme ces angles doivent rester les mêmes, quelque valeur qu'on ait prise pour la racine primitive , et qu'ils peuvent seulement être échangés entre eux ; ^changement de la racine primitive ne pourra awoir d'autre effet sur les quantités 6,y, s que de remplacer y et î par 6 et e, ainsi que £ et t par l et y ; dans tous les cas « restera le même.

(5Go) Si nous faisons maintenant l'application des formules précédentes au cas de n = £i , qui donne m = 8, nous tirerons de l'art. 5a8 les valeurs A = 3, B=o, C=a, D=i , A— 2, C—u, d'où rêsahe « — — a, €=3,y=a, 4= — 4 , e— o. On connaîtra

ensuite les angles fteU'-par les équations suivantes où l'on âp.=c^,

n~cos.fr = — a — a cos. n -+- 3cos.4p ■

nvsm.ô=± 6*in.jt — Ssin.a^ /T*cos.8'= — a — a cos. a (i +3cos.(* n~ sin. 8'= 6 sin. t- 3 sin. jx , Soit k= i , on aura comme dans l'art. 557 »

a54 THÉORIE DES NOMBRES.

COS. u.= 2 » COS. 2 11= "

Substituant ces valeurs dans celles de cos.O et cos. 0f , ou aura

cos.^-»-5/5, cos.6'=~9 + 5^5 al/4i 1 21/41 '

ou plus simplement pour le calcul trigonométrique,

sin.ô=|/(^^eos. 72*), sin. 6 = 1/ cos. 36») ,

ce qui donne, eu égard à la valeur négative de cos. 6,

D'après ces valeurs de 6,6', et w, les cinq valeurs de la racine p , tant exactes qu'approchées , seront ainsi exprimées :

p= — t-K(40Mco»- « + co«.(att — 6)] = 3.o6a539o84o

pz=— i + |(4i)^[co».(w+ (i)-+-cos.(aw + a(i— •)]=— 4-5aoo6 11770 p - 1 4. i (4 1 ) ï [cos. (u+î|i) + cos. (a w 4- 4 (1- 6j] =— 1 . 19586 684an

— ^ + t(4«)' [cos. (»+ 3 (i) + cos. (2 w-|-6(i— 6)]= 1.21628 7.5o5o p— — ^4-i(4i)^[cos.(«4-4!A)+tos.(2o) + 8(i— 6)"!= o.446io 14295

Quant à l'ordre qui règne parmi ces cinq racines, il est l'inverse de celui que donnent les formules de l'art. 537. On aura ainsi, en taisant o = 3.o6a53 9o84j les mêmes valeurs de p, p'\ p" , p'" , qui ont été trouvées ci-dessus, sauf'les petites erreurs qui peuvent être attribuées aux tables trigonométriques à dix décimales.

Au moyen de ces valeurs de p , p' , etc., on connaîtra comme au

n" 542 l'une des quantités cos.^^os. etc. qui servent, soit à

résoudre complètement l'équation du 4o*"' degré X = o, soit à di-

viser la circonférence en 4* parties égales; et puisque les quantités/? dont on a donné les valeurs approchées, peuvent s'exprimer exactement par des radicaux cinquièmes appliqués à des quantités de la forme M + N 1/ — i , il est clair qu'on pourra aussi exprimer par ces radicaux, concurremment avec des radicaux du second degré, toutes les racines de l'équation x*' — i = o.

(56i) Si on appliquait la même méthode de réduction à l'équation auxiliaire

ps +p> — Ap1 — 'dp' + 3p + i = o,

qui se rapporte adéquation 1 = o, on parviendrait aux mêmes résultats qui se trouvent dans les Mémoires de l'Académie des Sciences, an. 1771 , pag. 4 16. Il paraît donc que c'est à Vandermonde qu'est due la première idée de cette sorte d'analyse qui permet d'exprimer d'une manière explicite toutes les racines d'une équation du 54- degré, dont dépend l'équation x" — 1=^=0. On doit même ajouter que cet auteur a proposé sa méthode comme étant applicable à la résolution de toute équation à deux termes ; mais il ne lui a pas donné les dévelopjyem'ents nécessaires pour justifier son assertion.

De l'équation au,ciiiaire du septième degré qui a pour racines les périodes de m termes, en supposant n = 7 m +. 1. <

(5fia) Nous représenterons par p , p \p",p"',p" ,p\p" , les ratines de l'équation à résoudre qui sera toujours de la forme

p^+ pi \- Vp\ . . . . — a—o.

Cela posé désignant par R une des racines imaginaires de l'équation R:— 1=0, e'esthà-d ire, faisant >. i ..

R =cos. 1- \/ — 1 sin. — ,

M étant l'un des nombres 1 , 2, 3, 4, 5, 6, nous supposerons

-jrrf THÉORÎH DES NOMBRES.

rT= p+pK + p R* + />'" RJ + />~R* + y^R1 + pr R* ,

P«m» élevai** cette quantité au carré et, faisant

T*= a + b R' 4- c R4 + rfRa + e R' +/R" 4- gR" ,

il est aisé de voir qu'on aura

a=p* + a />'/>*' -+■ a/T/?' +zp'"pn b = J)1' + zp'p ■+■ ip" p" + aP"P* C=p"' ■+- V-P^p* -t- 2»/>"/> Zp'p*' d=s=p'"'+ *p"p" +Hprp' -\rXpnp

exBp1'*-^ zpwpm H- *p'kp'' + ±pf}

f=zp'' -t- 9.p"p"± *pji" -4-

g^p">+ appw -t- 2.p' p" -f- vtp"p"'.

Il faut ensuite réduire ces coefficients à la forme linéaire, en sorte qu'on ait

et on voit que l'expression de a fera connaître celle des coefficients suivants b,c,d, etc. ; car pour passer d'un terme au suivant , il suffit d'avancer d'un rang toutes les lettres p,p etc. , les coefficients «,€,y,etc. restant les mêmes. On aura donc l'expression suivante de T :

T' = ap -t- y + S// + ^' -♦r R* («yw -+*«//' y/?"' +■ ip" ■+> -K/j" + R'(a/î" + €//"•+ ip"+Sp* +tp*+Xtp + „//) -t- R6 (*//"+ y/?* -f + tp + Kp' + *p")

+ R* («y/' ♦ + y/»*-* */> + Kp" + */>'">

h- R't-yp" + e/? + y/ + */»" + «/>"'+ tp" + v*)-

(5G3) Cette même quantité ordonnée par rapport aux racines />.p',p": etc., sera