T'1 = AT T
Si on multiplie ensuite les valeurs de T et T*, on aura
TT ==/>'+ R'fpp"+WppM+typP"+Wfppt + typp"-
Maison a en général fp' = n — m,f pp'=f pp"=f pp'"=f pp"=J'pp' =fpp"=— w.DoncTT'=/i— m( i -t- R -+- R' + R3 -+- R4 + Rs+ R6)=/j. Une semblable analyse donnera T'T" = n et T"T"'= n; d'ailleurs ces deux équations se déduisent aisément de la première TT'=«,
mise sous la forme *(R)*(g)==«, il sortit pour cela de mettre
dans celle-ci R* et R3 à la place de R.
Enfin on démontrera comme dans l'art 554 que les quantités T,
T', T", etc. sont toutes de la forme «T(cos.ç +1/ — i sin.^),de sorte
que le module réel de ces quantités imaginaires est constamment n~' Il en est de même des quantités A , A', etc. , ce qu'on peut démontrer directement ; mais ces propriétés peuvent être déduites de celles des polynômes T. En effet , si on multiplie entre elles les deux équations T'=AT\ T.=*A"P\ on aura (TT')'= A AT'T" , ou n'=flAA'; donc AA' = h; on trouvera de même A'A"=n et
A"A"'=«. Enfin decequ'onpeutsupposerT=nT(cos.<p+l/ — isin.ç),
T'—n> (cos.ç' + \/ — isin.ç'), il s'ensuit qu'on a ou A =
n » [cos. (a <p — ç')+l/ — isin.(aç — <p')], et ainsi le module réel de
A est encore n7, ce qui a également lieu pour les autres quantités analogues A', A", etc.
(565) Voyons maintenant comment on peut exprimer la valeur deTenfonction des quantités A. Nous aurons d'abord PssA'T'ss A' AT"'; de là T ' = A4 A'' T"* = A4 Af* A"T , ou T7 = A4 A'1 A'",
ainsi le polynôme T peut s'exprimer par les quantités A qui sont fonctions de R seule.
Si on fait ^-^= p., À* étant l'un des nombres i , a, 3, 4 , 5, 6 à vo-
lonté , on aura
R = cos.ji -f- 1/ — i sin.{<.
R^cos.ajji + l/ — i sin. ap RJ=cos.3|i4-l/ — i sin.3|i R4=cos.3ft — \/ — i sin.3|A R5=cos.2(A — \/ — i sin. a p.
R6= cos. p — \/ — i sin. jt.
Et comme l'équation R7 — i=-o dégagée du facteur R — i, n'est autre chose que o= i -f- R+R'+R'+R'-t-R^R4, l'angle p. satisfera à l'équation
0=I -f- a COS. jt + 2 COS. 2 |A -f- a cos. 3 pi ,
ou en faisant 2C0s.|t=.r,
0 — Xi -+- X* 2X — i ,
et les trois racines de cette équation seront 2 cos. p., 2cos. 2p, 2 cos. 3jA, dont une positive et deux négatives.
Si l'on fait par exemple k= i , on aura par approximation
2COS.|x = 1.2469796037
2cos.2{*=— ^~=— o.445o4 18678
2cos.3ji= — 1fi338^= ~ 1 .80193 77362 Substituant les valeurs de R et de ses puissances dans la formule
A= « 4- m R* + ÇR4+ etc. = /i7(cos.ô + 1/ — t sin. ô) , on aura pour déterminer l'angle 6 les équations
a<k> THÉORIE DES NOMBRES.
n ' COS. 0 — a + (» 4- €) COS. a p 4- (Ç 4- y) COS. 3 (i 4- (t + 9) COS. jt
rt'sin.e = (t; — 6)sin. 2(iH-(y — Ç)sin. 3fi4-(i — e)sin. |i.
Semblablement si l'on fait A' = /i»(cos. fi' 4-1/ — isin.fi'), A" =
« ' (cos. fi" 4- \/ — i sin. ô"), A"'= n • (cos. fi" — 1/ — I sin. 6 ") ; on aura pour déterminer fi' et ô" des équations qui se déduisent des précédentes en mettant successivement 2p. et 3p. à la place de a, ce qui donnera
/»» cos.fi' =:« + (« + 6)eo».3p4-(Ç4-y)c06.p -+-(« 4 *)cos. 2p n1 'sin.fi' = — (ti — ç)sin.3p — (y — Os»n«(* — e) sin. a p. «•cos.fi"=« + (d + S)coa.|t 4-(Ç4-y)cos.ap4-(i 4-*)cos.3p «*sin.fi"= — (ti — 6)sin.p 4-(y — £)sin.ap4-($ — e)sin. 3p..
Ces trois angles étant ainsi déterminés de o° à 36o°, la substitution des valeurs de A dans l'équation T7 = A4 A'' A"', donnera
T' = /« '[cos.(40 4- afi'— fi")-f-l/— isin.(4fi-l-afi'~fi")]. Ainsi en faisant u— , on aura
T = n ' (cos. w 4- \/— i sin. u) ,
et l'on remarquera que dans celte valeur qui en renferme implicitement sept, on peut augmenter ta graduellement de — , —, —,
81c iok iaTt
(566) Il faut maintenant d'après la valeur de T déterminer, sans aucune ambiguïté , les valeurs de T", T", T"', T", T\ Pour cela nous
avons les équations T = T"'=^ , T"=^, T'=£, T~ ,
d'où l'on tire
CINQUIÈME PA11TIÉ. a6i
T = « 7 [cos. (a » — 6) -l- 1/ — î sin. (a« — 6)] T"'=/i»[cos.(4«— ae — <0+l/— isin.(4« — aô — 6')] T" = « - [cos. (4 « - a 6 — 0')— l/— î sin . (4 « — a 6 — 8')] T,= »'[cos.(2w--0)— i sin.(2« — 0)] T" =/i»[cosw — |V — i sin.c*].
Mais en ajoutant toutes les valeurs de 'T >V jusqu'à T" ou — i , on a — i +T+V+T'+T'+T"+T=jp; donc
p = — J + 2yl[cos.w +cos.(aw — ô) + cos. (4 w — »6 — 8')]
Cette formule servira en même temps à trouver les six autres valeurs de/» , il suffira pour cela de mettre successivement pour «*, w+ tl ?
Dans les applications aux valeurs particulières de n, il faudra déterminer par les voies ordinaires tes coefficients «,ê,y. . .yi, ce qui se fait au moyen d'une valeur de la racine primitive g qu'on choisira à volonté.
( 5f>7) Nous remarquerons encore que les équations trouvées fournissent trois équations de condition entre les sept coefficients a, 6, y. . .î), outre l'équation connue — i=«-fê + y + J + i + i; + ,. En
effet, si on élève au car ré les valeurs trouvées pour »• cos.O, «vsin.e, on trouvera , en ajoutant ces deux carrés^ l'équation de condition :
n = i, + 2 M cos. ji -4- aN cos.ap. -t- aPcos.3u,
dans laquelle
L=r«" -+- €■ + y" + $• + »* -h C + *'«:/«' M = «$-f- ffe + y>;+ + ea + Cê-l-Tiy=/*«A N = «ee + gy+yi + î« H-eÇ-l-^ + Ti«=/«e Pas «y + 6* + y , + * Ç + «, + Ç« + „6==/«y,
uii-2 THÉORIE DES NOMBRES.
et il faut remarquer que L -+- a M + aN -t- a P est le carré de a +6+ y + * -+- e -t- Ç + t , quantité égale à — i , et qu ainsi on a
i = L+aM + aN + 2P.
On peut ensuite dans notre équation changer p. en a p., ce qui
donnera le résultat qu'on déduirait des valeurs de «» cos. 6' et
// ' sin.6', de même qu'on peut changer p en 3 p, ce qui donnera le résultat dû à l'élimination de ô". Donc on aura les deux autres équations
n=L -I- aMcos.ap -+- aNcos.3p + aPcos.p n = h + aMcos.3p -+- aNcos.u + 2 P cos. a p.
Maintenant si on met à la place de a cos. 3 p. sa valeur — i — a cos. p — a cos. a p , on aura
« — L — P + a (M — P) cos. p + a (N — P} cos. a p.
Et parce que les quantités cos. pt., cos. a p, sont des irrationnelles non-réductibles l'une de l'autre, il faut pour que cetteéquation subsiste qu'on ait M = P, N = P; ainsi on aura n = L — M, d'ailleurs nous avons trouvé i =L aM + aN -t- aP, donc [=L + GM, ou h — i — 6 M , ce qui donne n= i — 7M;donc M=N=P= — m, ft L = i + 6 m. On aura donc les quatre équations de condition :
— /W = ocê + £y4-y$ -f- £ e e ^ + Çt, ~\- r,x=J<x€
— m ■= *f + + ft -\- -h tr, -H Ça -4- tj 6=y«y
— W = + + yÇ4-*ii -+-«« + Çê-Hii)y=/a$ ,
au moyen desquelles l'équation a + S + y + i-k e-f-Ç-t-ïi = — i se trouve exprimée et ne fournit pas une nouvelle équation. On voit aussi par la première équation que la plus grande des
quantités a,€, y. . .x > est <|/(i +6m) et (J-—^-
568) Ayant développé suffisamment la nouvelle méthode de ré-
Digitiz
duction pour les cas généraux de n= 5m 4- 1 et n = -jm+ 1 , il nous paraît inutile de pousser plus loin ces applications, et on voit que, quel que soit le nombre premier k , compris dans la valeur n=km + i , on parviendra toujours à résoudre aussi simplement qu'il est possible , l'équation auxiliaire du degré k qui a pour racines lespériodesde m termes dans lesquelles se partage la période (« — 1,1) comprenant toutes les racines de l'équation proposée X = o.
L'équation auxiliaire du 3e degré qui a lieu lorsque « = 3m + r, et dont nous avons donné le type général (art. 5i4) , étant facile à traiter par les méthodes ordinaires, nous n'avons pas cru devoir nous en occuper jusqu'à présent. Cependant, pour mettre plus d'uniformité dans cette théorie, il ne sera pas inutile d'appliquer aussi à cette équation notre méthode générale de réduction.
(569) L'équation à résoudre pour le cas de n = 3 m 1 , est p' + P' — mp+ \ {rrC — nC) = o.
Il faut pour déterminer C mettre 4 h sous la forme /in = a' + ^yb', comme cela est toujours possible , et on aura C=""^^ ~a, le signe ambigu étant déterminé de manière que soit un entier.
Cela posé, désignant par/? >p\p'\ les racines de l'équation précédente si on fait suivant la méthode générale,
T =p+p'K +p"R> et T=p+p'K' + p"R\
R étant une racine imaginaire de l'équation R* — 1=0, on supposera
T = «+£R' + cR\
et on aura
a—p' + zp'p", b=p'>+*p"p, c=p'h+ zpp.
Il faudra à l'ordinaire réduire le coefficient « à la forme linéaire,
et de cette valeur de a, an déduira celles des deux autres coefficient» b et c, en avançant successivement d'un rang les quantités p et regardant p" comme égal à p.
Si on ordonne ensuite la valeur de T1 par rapport kp, et qu'on fasse
A =a + YR> + eR* A'=« + YR4 + eR',
on aura
T' = AT' et T' =A'T.
Enfin on trouvera par les moyens déjà indiques
