II

i anv i

et parce qu'à la place de h on peut mettre successivement 6 + 2» et ô + 4*i trois racines de l'équation à résoudre seront ainsi exprimées

i an' 6

i an* 0 + aie

^=-3 + — cos. -3-

1 an" 6-4-4*

/,==~3H--r0OS-T-'

(371) Nous avons dit que la même solution se trouverait plus promptement par la méthode ordinaire. En effet , si dans l'équation

proposée on fait p= —3— > 0,1 a,,ra I'1 transformée

d'où l'on déduit par la formule de Cardau ,

x=V>[±^bl/-b] + V>[±^b»/-b].

Soit donc ±-=/îïco«.e, ^^=/ïTsin.O, on aura

jr =V/[« • (cos. 9 -4- IV — 1 sin. 6)] -4- l/[/îT (cos. e — 1/ — 1 sin. 6)] ,

ou x = in* cos. y 0 , ce qui s'accorde avec le résultat précédent. Soit par exemple n = ggi ,1 équation à résoudre sera (art. 5 1 5),

alors on aura ,\n=6i' -4- ay.3*, ce qui donne a = 6i , b = 3i , et comme a doit être pris avec le signe 4- pour que « -4- 1 -4- a soit di-

visible par 9, il faudra faire cos. ô — iV/^ty et Ie* racines de l'équation dont il s'agit seront :

t anT '»

i i a«J ft-J-air

„ i an» 8 + 4*

Cette équation aura en outre la propriété qu'une racine p étant donnée, les deux autres p et p" peuvent s'exprimer rationnellement par les formules

(572) Nous avons vu qu'après avoir résolu l'équation en p du degré ky on a à résoudre successivement les k équations en q du degré k' , puis les équations en /• du degré k", et ainsi de suite

jusqu'à ce qu'on parvienne aux équations qui embrassent les ~~ périodes de deux termes.

Dans ces auxiliaires successives des degrés k',k",etc, les coefficients s'exprimeront toujours d'une manière linéaire par les racines de l'équation précédente, et on pourra appliquera chacune d'entre elles la méthode de réduction que nous avons exposée pour la résolution de l'équation en p. Mais on voit que les formules se compliquent beaucoup, s'il y a plusieurs degrés d'auxiliaires, selon le nombre des facteurs de ri — 1 ; elles donneraient lieu aussi à des ambiguïtés qui augmenteraient en passant d une auxiliaire à la suivante, de sorte qu'il sera très-difficile de parvenir par cette voie au résultat final qui donne la valeur de chaque période de deux

termes représentée par x ^ -4- ou par la quantité réelle acos.^^-

Heureusement qu'on peut se dispenser de résoudre successivement les différentes auxiliaires, et qu'il y a un moyen beaucoup plus simple de parvenir directement au résultat désiré. Il consiste

à cons^érer tout d'un coup l'équation en p du degré qui a

pour racines les périodes à deux termes représentées par

+ r~~^ ou par acos.^^. Cette équation dont tous les coefficients sont des nombres entiers connus, se résoudra par la menu* méthode de réduction que nous'avons appliquée aux valeurs X = 5, 7,3, et les formules géuérales qu'on en déduira seront infiniment plus simples que celles qu'on obtiendrait par la résolution des auxiliaires successives. C'est ce que nous allons faire voir dans le paragraphe suivant.

$ V. Méthode pour parvenir à In résolution générale de l'équation

(573) Au moyeu de la substitution x + ^=p, l'équation X = o,

qui est du degré n — 1 = ak, peut être réduite à une équation du degré k , savoir :

p-{k-x)p H j—^ P r^â— P "«-été.

k-t . *-3 A-3.J-4 *-5 *-4.*-5.*-6 *-7 . +P -i*-*)P +—T^rP i.a.3 P +€tC'

En effet désignons par P* le polynôme

qui devra être borné au nombre de termes ou —g—» selon que

k est pair ou impair; si on forme semblablement les polynômes et P*a, en mettant k — 1 et k — a à la place de k, il estfacile de voir qu'on aura en général

Vk=pVk—i — Pa»,

de sorte que la suite infinie P„ -+- P, z -+- P, z' . . . . ■+- Ptz* + etc. , sera une suite récurrente formée par le développement d'une fraction dont le dénominateur est 1 — pz + z'; d'ailleurs comme on a p — x + x~', ce dénominateur sera le produit des deux facteurs (1— xz){t —x-'z); d'où il suit que le terme général P* peut être ainsi exprimé :

Pt=zeiXl + 6*-*, a et £ étant des constantes.

ayo THEORJE DES NOMBRES.

Mais si l'on fait successivement k = o et k— i ce qui donne P. — i , et P, =p —x -+- x~\ on aura pour déterminer a et 6 , les deux équations

i = «-f-6 x -f- x~' = a.x +-Gx~',

d'où résulte « = r, € — ; . Donc on a

et enfin P<+ P4-.—X-4. t — ,c X. Donc l'équation X=o

est représentée généralement par une équation en p du degré k, laquelle est P*-+- P*, =0.

(574) Maintenant il faut appliquer à équation (A) où Ion a

k=^^-, la même méthode de réduction dont nous avons donné

divers exemples dans le paragraphe précédent. Mais cette méthode, déjà sujette à quelques modifications lorsque k n'est pas un nombre premier , exige des changements assez notables , lorsque k est un nombre pair et surtout lorsque ce nonnVe a plusieurs diviseurs. C'est pourquoi nous allons considérer successivement diverses valeurs de n, choisies de manière que les différents exemples dont nous donnerons la solution, réunissent à peu près toutes les difficultés''qui peuvent se présenter dans tout awtre eus proposé.

Exemple I. « = 3ï, A = j5.

( 575) Alors l'équation en p qn'il s'agit de résoudre sera

p'* — \\p'l-\-^Hp" — aao/^-»-33o/?' — a5y./>5+84/^ — Sp I \3p"-i-66p"'~ i65p*+2ivp6—i36pi+tâp' - i .

CINQUIÈME PARTIE. a?i et on sait a priori que toutes se* racines sont réelles et de la forme

/^acos.-^.

Si Ton prend pour racine primitive de 3i le nombre £-=3, les différentes racines de notre équation seront ainsi exprimées, suivant l'ordre qui leur est assigné par les valeurs p = (a, i)%p'=(iyg\ />"=(a,£')>etc.

p ==r* -+-/—' p" —r* -4-r~s pl =r* +r~h

/>' =^ +r-J /?" = r,s-Hr—s //' =rll+r—1

D'après ces valeurs il faut réduire à la forme linéaire le coefficient

a=p' -j- a p'p?" + a p"pm + a p"'pxn + a 4- a/>>' ■+- a /;"/;•* + ap^'p™ .

Or on trouve immédiatement la valeur développée des différents termes qui composent le second membre , savoir :

p"pTn =p" + p" p"p" = -+- y?1'

De là on déduit

a = 2 + bp + ap + ïp"+ap'+ a/>" + a/>™ -4-3/?** + 4/**

ou en mettant au lieu de a sa valeur — a/> — a/?' — a />", etc. ,

a=:zp — a/>" — a/7'4-^,1-»-a/>,+ a/»*' — a/?"' — a/>"\

(576) Soit R une racine imaginaire de l'équation R" — 1=0, prise parmi celles qui ont la propriété de produire par leurs puis-

a7v THÉORIE DES NOMBRES.

sauces successives R% RJ,R\ etc. , toutes les autres racines <le la

même équation. On peut prendre R=cos.^| — isinA*, .ou

en général R = cos. + \/ — i sin. , k étant un des huit nom-

lires plus petits que r 5 et premiers à 1 5. Nous avons vu que la fonction A qui entre dans l'équation T' = AT*, petit se déduire de la valeur linéaire qu'on vient de trouver pour le coefficient a, il suffît pour

<*la de changer chaque terme p^ en R °— 2{* , ce qui donnera

(i) A = a— aR*- aRfi-j-aR'-4-aR'"+R"— aR"— aR'«.

Ayant donc fait à l'ordinaire

on aura l'équation T' = A T" qui en fournit plusieurs autres trèsutiles pour la solution de notre problème; car il faut se rappeler que nous avons désigné parjT , T", T'", etc. ce que devient le polynôme T lorsqu'on y substitue successivement R*,RJ,R4, etc. à la place de R. De même A', A", A'", etc. sont ce que devient le polynôme A , déterminé par l'équation (i), en y substituant R'.R1, R4,etc. à la place de R.

Cela posé l'équation T' = AT et celles qu'on en peut déduire composent la série suivante :

T*=AT T'' = A'T'" T"*=rA"TT T"'*= a"'T"' T". = A*T% T»= A'T" , T'" = A" T"" , T"'»= A"' T ,

D'ailleurs on démontrera aisément comme dans le § précédent ,

que les fonctions T satisfont à l'équation T'T,;* i = n, et qu'il en est de même des fonctions A , de sorte qu'on a cette double série d'équations

Ces équations contiennent les principaux éléments de la solution générale que nous allons développer.

(577) Il faut d'abord procéder à la détermination des angles 6, 6 , 6 ",etc. qui donnent les valeurs des quantités A , A', A", etc., suivant la formule générale

A> y = n*(cos.ex ' + y/ — isin.O^

Pour cela ayant déjà fait R=cos. p. +\/ — 1 «in. et ji= ^ = a4%

nous savons que K>"^ se déduit de A en mettant R"1-*"1 au lieu de R dans l'expression de A; ainsi on aura en général, d'après l'équation (1) :

formule qui, à cause de R,s= 1 , se réduit à la suivante :

AW = z-2R™+* aR6"+6 + aR8m+8 + a Ri«-+i» ^ j^iam-Hia aft5»M-5

De là on tirera deux équations générales pour déterminer l'angle 0f"} , savoir :

n • cos. b(m) = a — a cos. (am 4- a) [t — a cos.(5 m +- 5) p — acos. (6m + (>) ji 4-acos.(8/7t-»-8)(i4-acos.(io/n-f- io)|*. — acos.(i 1 m+ 1 -+-cos. (la/n ia)|A

« * sin. — asin.(am + a)|& — a sin (5m-f-5)jt — a sin. (6 m -1- 6) p -+-asin. (8/n +8) [i-f- a sin. (iom+ 10) p. — asin.^i im+n)(i •+■ sin. (ïam + ia)ji.

Mais puisque i5fi = ait, on a en général cos. (i5n i^fi^eos.&p II. 35

»7l THÉORIE DES NOMBRES.

et sin.(i5a±6)fi=±&in.fc{t, ce qui réduit ces deux équations à la forme suivante :

n • cos. 8H = 2 — a cos. (îm+2)ji+ cos. (3 m + 3) p. — a cos. (4 m 4-4) n

— acos. (G m -4- 6) ji 4- a cos. (7 /» 4- 7) p. «• sin.ft^^r— asin. (a»» + a)(i — sin. (3 m 4- 3) jt 4- a sin. (4 m 4- 4)j* — 4 sin.(5m-»-5)^. — 2 sin. (6 m 4- G) f* — asm. (7m + 7)pi.

De là résultent les formules particulières

n ' cos. 0 = 2 — acos. a (i4- cos. 3 u. — acos.4p — acos. 6 u. 4- acos. 711

n> sin.6 =— asin.ajt— sin.3ji +-asin.4(» — 4«n. 5ji — asin. 6^ — asin. 7(i

n7cos.8' =2 — a cos. 4 ,a 4- cos. 6(t — acos. — acos.3|i 4- acos.u

n* sin.8' = — a sin. 4 p. — sin.Gu, — asin. 4- 4sin.5(i4- asin. 3 p