a sin. p «• cos.8" = a 4- cos.Gp — 4 cos. 3 p
nrsin.6"^= — 4 sin. 3 p — 3 sin. 6 p
n>cos.8 =2— -acos. ft + acos.au — cos. 6 |i — acos. 7n
«• sin.e'''=asin.ii 4-asin.aft 4- 801.3^—48^.5(4 4-asin.6|i4-asin.7|i
/t7cos.8,T= 1 — acos. r>p = a
n7 sin. 8"= 6 sin. 5 u. = 3 1/3
n*cos.8' = 2 4- cos. 3 p — 4 cos. 6 p t
n7sin.8' =3 sin. 3p — 4s»n-6p
n * cos. 6"'= a— a cos. p — a cos. 2 p. — a cos. 3p 4- acos. 4|* + cos. 6 p
«7 sin. 8"'= — 2 sin. p 4- 2 sin. au. — a sin. 3(t 4- a sin. 4 p 4- 4*"»- 5 p 4- sin. 6 p.
Ces valeurs peuvent se simplifier au moyen des propriétés connue» de l'angle p = ^= a4*î en effet par ces propriétés on a
COS.4ft= > 4- COS. 3p — COS. p
cos. 5p = — v
cos.6p= — ; — cos.3p , sin.6|i=sin.4ft — sin. p cos. 7 p = — cos. a (a — cos. 3 p , sin. 7 p = sin. 3 p — sin. 3 p.
Il en résulte les valeurs suivantes, tant exactes qu'approchées : /i'cos.6 = 3 4-2cos.p1 — 4cos-*>~*co8' 3ft = o. 84 1 55 i4954/5
/i«co&.&' =7 + 4co8.p4-acos.3p— 3cos. 3p
n • cos. 6" = { — 5 cos. 3 p
« 7 cos. 8"'= 3 — a cos. p. 4- 4 cos. a p 4- 5cos. 3 p
/1 'cos.0"=a ■
n • cos. 0' = 4 4- 5 cos. 3 p /i*cos.ft",=7 — 4cos«(i — a cos. 2p— cos.3p
/i7sin.t =ta«n.p — 3iin.3[x -^4s>t»- V ■
/»7sin.O' =asin.ap — 3 sin. 6 p 4- 4 sin. 5 p n*sin.o" = — 4 sin. 3 p — 3 sin. 6 p
n7 sin. 0"'= 3 sin. 3p 4- 2sin.4p — 4SU1- 5p ■
/i7sin.e" = 6 sin. 5p
n'ain.0* =3sin.3p — 4s'n.6p
= 4.565%ao6oi63 =—0 . o45o8 497 1875 =* 5.3945i 648aoa5
= — a . 801 46 00376 63 sa— 5 . Ô0379 78778 7 1 = 3.i87o355o93i?
== — 5.56758 18330 57 3= 1 .3781 1 07343 8/i = 5. 19615 3433706 = o . 5o303 85397 1 ^ n7 sin. 0"*= 2 sin. 3p — asin.3 p4»3sin-.6p +4 sin. 5 p= 4 • 8 1 1 63 3ooo3 80
Par ces valeurs numérique on vèit que dé*6ep< dngles . .6*", deux, savoir 0 et ont des sinus négatifs, c'est-à-dire sont comptés entre i8ô*et Sfio* * tes chiq autres sont coiripris éntré zéro et 180'. Voici le résultat du calcul de ces angles où la préoisioa a été portée jusqu'à la 6e décimale de seconde.
u76 THÉORIE DES NOMBRES.
Nous connaissons par conséquent toutes les valeurs des auxiliaires A, A', A" jusqu'à A""; car on a en général
A'"0 = n ' (cos. 0{",) \/ — 1 sin. h(m)) ,
et son complément
Af'J— » = /|ï (cos.6H — V/— 1 sin. 9f->).
(578) Venons maintenant à la détermination des quantités T, qui est l'objet principal de ces calculs ; on déduira d'abord des équations (3) les valeurs suivantes :
T —Il T'" IH H
1 ~-Jr~JJÂ^'
A"- — A»A'A'»A"' La dernière donne
T'^A'^A""^", ou en substituant les valeurs de A , A', A'", A*" ,
T'i=n^[cos.(8e-4-4ô'+20'''+6*'')+^-i3in.(88+4e'4-ar+0*'*)]- Donc si on prend l'angle m tel qu'on ait
la valeur de T sera
8« + 40'+ w= TE '
T=«T(cos.« -\-\/ — i sin.w).
T étant connu , si on fait T = n » (cos. «' + 1/— i sin. m),
T"= n '* (cos. «"-h l/— i sin. **"') , et en général
Tw = n • (cos. »(-> + 1/ — i sin. a>M ,
les équations T = , T"— -^7- , T"^-^; donneront immédiatement
^"■=80— 4e— ao'- e'".
Ainsi on connaît déjà les quatre fonctions T,T,T",T"', et leurs compléments T,,,,,T"', Tlf T"; et on voit que la somme de ces huit fonctions est représentée par
a n • [cos.« -1- cos.(a«— e) +cos.(4«— a ft—flO+cos.^u—^—aô'— •"')]•
(579) Pour avoir les fonctions T'et T', j'observe que des équations (3) , on tire
— A" ' — "Â7" — A"' A*' Ensuite comme on a T"T" — n, il en résulte
r/s=nAw'A*,
ou
T*=nî[coi. (ae"+ 0*) + 1 sin. (a0"+ •')]• Donc si l'on fait
on aura
T'= i»^(cos. «"+ V^— 1 sin.«").
De cette valeur on déduira ensuite
a73 THÉORIE DES NOMBRES.
et ces deux fonctions feront connaître leurs compléments ou inverses T" et T", savoir :
T" = n * (cos. «" — 1/ — i sin. u")
Tm=n» [cos.(2Ww— 9")+l/— i sin.(aw"— 0")];
d'où l'on voit que la somme de ces quatre fonctions serait
2 n • [cos. w"+ cos. (2 *>"— 6")]:
mais ici il se présente une difficulté.
Lorsque nous avons déduit T" de T"', l'angle 26"-*- 6T compris dans l'expression de T"5, au lieu d'être désigné simplement par 26" + ô', pouvait l'être par 2 e"+ 0*+a<ir , / étant un nombre entier quelconque, positif ou négatif. Ainsi la valeur de ta" que nous en avons tirée, pouvait être exprimée plus généralement par
11 y a donc réellement cinq valeurs différentes de T" qui résultent de cinq valeurs de »", lesquelles sont :
„ a8r'+8» „ a 8"+* . an „ a 8"-+* 4*
„ a&"-+-0' 61c „ a0"-4-ftT 8*
Pour savoir laquelle de ces cinq valeurs doit être employée , il faut trouver moyen de déduire directement T" de T sans ambiguïté.
