TT"=A A", T'T"'=A'A

Or il est facile de prouver qu'on a TT"=TT"=n, et qu'ainsi on aura semblablement A A" = A'A"'=/*.

En effet si on développe le produit des deux polynômes

T =p + p'R + j>"R' +/TR' +p"R* +p'R> T"=p+p'Rs+p"R"+ p'"R's-i- p"R" + p* R,s,

on aura, comme on l'a vu dans des cas semblables,

TT" =fp' + Rfpp'+ R'/PP"+ W/PP'"+ W/pp'+Rypp'.

Ory>'=a.6- i = i3-2=«— a, fpp=fpp''=fpp"'=fpp" =fpp*=z — 2; donc TT"=n-a(i +R+R,+R'+R*+R1)=ft.

On trouverait de même T' T"= n et (T'y = n ; ainsi on a la double série d'équations

(3) /»=TT"=TT"'=(T")\ n = AA"=A'A'".

(591) Maintenant il est facile de déterminer les quantités T en fonctions de A. En effet il résulte des équations (a), qu'on a T*=« A* A'; soit donc

A=/iT(cos.9 +|/ — isin.e) A'=ir (cos.O' + 1/— 1 sin.ô'),

on aura

T^/t» [cos. (3 e H- e^H- 1 sin. (3 0 + *')] , et par conséquent

T=rii (cos. » + 1/— 1 sin. *») , en faisant «=2!+i Ensuite de l'équation T'= AT, on déduira

au4 THÉORIE DES NOMBRES.

T' = rà [cos. (a « — ô) h- V— i sin. (a « — •)].

Par les quantités T et T' on connaît leurs inverses T" et T" en changeant simplement le signe de |/ — i . Substituant ensuite ces valeurs et celle de T"= ±.\/n, dans l'équation

on aura

(4) /> = ~£i£ + ^[cos.M + cos.(fl«--*)],

formule qui contient implicitement les six racines de l'équation proposée.

Il ne reste plus qu'à calculer les angles 6 et 0'; pour cela il faut dans l'équation (i) substituer la valeur R = cos.p 1/— î sin.p, ce qui donnera :

n»cos.6 = — 3-hâcos.|i — a cos. a p. — 3cos.4p + 4cos. 5f«, n' s in. 8 = i sin.ft — asin. 2(1— 3sin.4|* + 4*in- 5|i.

Mettant R' à la place de R ou a^ à la place de p, on aura semblablement

nTcos.6's=5 — a+acos.ap — a cos. 4 p — 3 cos. 8 p-»- 4 cos. iop n7sin.ô'= asin.a|i — asin.4{t — 3sin.8(*+4sin. iop;

ces équations dans lesquelles, l'angle (i=-^=6o", se réduisent aux suivantes :

n*cos.6= 4 — cos.(i= *Tsin.Ô = — sin.|i= — -1/3

n1 oos 6'= — i — 3cos.p=— -, /i»sin.6'== — 3sin.p= — -1^3,

d'où l'on déduit les valeurs approchées j

Elles montrent qu'on a exafcteniënt 6'o±« — iâo% <Je qu'on peut vérifier par les formules précédentes, d'où l'on tire cos.(6 — cos. 2 jt et sin. (6 — ô') = sin. a p.

Connaissant 6 et 6' = 6 — 120", on aura w = == y + 6o° t et par conséquent

(592) Avant de substituer ces valeurs dans la formule (4) , si on

veut savoir quel signe on doit prendre pour nv, il faudra chercher a priori \a valeur que doit avoir T" pour correspondre à la valeur prise pour «.

Pour cela il faut déterminer T" par l'équation TT'=MT", où M doit être une fonction de R seule. Cette fonction qu'il s'agit de déterminer sera le coefficient de p dans le produit TT' développé et réduit à la forme linéaire. Or si on multiplie entre eux les deux polynômes :

T=p+p'K +p" R' +p" RJ + ^"R* + />'RJ V=p+p'Rt+ p" R4 4- p" R6 -*- p" R* p' R- ,

on aura une première partie

p' + pu R1 + p"' R* -t- //"R» -h p"'R" + pr'K'%

dans laquelle il faut substituer les valeurs/>*=2+/?',//'=2 +/>".. .p'> = 2 +p ; à raison du terme constant 2, on aura dans M la partie

et parce qu'on peut supposer Ri=— 1 , cette partie se réduit à zéro. Ensuite le terme p contenu dans /?"» , produit dans M le terme R'* ou simplement — 1.,

La seconde partie du produit TT' a laquelle il faut avoir égard est

pp(K + R*) + pp" (R6 + R») + p"p"(R.' + R") + p"p'n (R' + R1) + /> > (R" + R") ;

elle donne dans M les termes R + R1 + R* ■+■ R9 + etc. , lesquels étant ajoutés au terme déjà trouvé — i donnent

Réduisant cette valeur d'après l'équation R^ — i , on trouve. .

M=— i+aR+aR*=— 3+4 R. SoitM=«'(cos.e-i-l/— i sin.e), on aura

n~cos.e = — 3 + 4 cos. jx = — i

/i»sin.6 = 4sin.ji = al/3;

de là on tire la valeur exacte 0=8 + 1200. Ensuite l'équation. . T T = M T" donnera

T"=«T[cos. (3u — 0 — e) + 1/— i sin. (3«— ft —6)],

ou T"=/ï'cos.(— i8o°)=— n7, valeur dont le signe est maintenant déterminé.

(593) Il ne reste plus qu'à calculer la formule

P= — g — ~6+~S~ CC0S' w + C0S* (2 w — 6)]

pour savoir laquelle des six valeurs de p représentées par a cos. ^ , correspond à la valeur prise pour «. Voici le résultat du calcul :

^cos.«= 1 .o4845 32790 y cos. (a w — ô) = o . 855a6 80937

2COS.^= I. l36l2 04935

cos. ^ — o . 568o6 47467 5

Or on trouve que ce cosinus répond à car la valeur de cos. ^

calculée par les tables de la Trig.Brit., en ayant égard aux troisièmes différences, est

cos. t| — o . 568o6 47467 3 1 1 55.

Pour avoir les autres valeurs de p il faut mettre progressivement dans la formule « + jt , iû + 2(i,« + 3|t, etc. à la place de « , et chan-

ger à chaque fois le signe du terme n> qui représente T". Et d'abord si on ajoute 6o* à la première valeur

on aura une seconde valeur

au moyen de laquelle la formule à calculer sera

p = — i + ^ -4- [cos. « + cos. (2 « — fl)] :

elle donne pour résultat

ce qui est la valeur décos. — -

Or les racines p,p\p", p'"yP%\P'y rangées dans l'ordre que leur donne la racine primitive #=2, sont

ait ieit ae'ic a*1* 10*1: