CINQUIÈME PARTIE. 299 Exemple ÏII. n = 4i, A = ao

(5o4) Alors l'équation en p du degré 30 , qu'il s'agit de résoudre, sera

et les valeurs des racines p,p\p" '. . .jo1"', sont les mêmes qu'on a désignées ci-dessus (n° 53c)) par r, f\ f". . .f", en supposant toutefois qu'on continue de prendre i3 pour racine primitive de 4i. Voici les valeurs de ces racines exprimées en fonctions de r, r étant une des racines imaginaires de l'équation x>* — 1 =0.

p =rx 4-r— p* =r* -j-r-1 px =r* +r~* p" =r'<4-^'4 p" =r* -4-r-5 p,"=rli-\-r-,i p*" = r* +r~* p"" = r" + r^"

p"=r'6+rr~" p]t =r +r~7 p,"=r*°+r^'° p"* —r'o+r"'

Ces mêmes racines rangées dans l'ordre numérique des exposants de r, forment le tableau suivant :

=r'+r- //' =/+r-« 77""= r"+r-" /?" =r"+r-'6 p"—j*+r-* p" = r' 7 /"'=r"+r" /=r,;+r" (1) 7;' =rJ-f-r~J /?"'"= r* +r~* p =r"+r" //"=r*-»-r-"

(595) Soit R une racine imaginaire de l'équation R" — 1=0, racine qui doit être prise dè manière que par ses puissances successives elle donneloutes les racines de l'équation R" — 1=0; cette condition serâretaplie si dans la valeur R=cos.(i. + \/ — 1 sin. ja,

on fait jt= ~ ^eUe le serait également si on, faisait p = ~, 1 étant

3oo THÉORIE DES NOMBRES.

l'un des huit nombres plus petits que ao et premiers à ao, savoir : 1,3,7,9,11,13,17, 19. Cela posé nous ferons à l'ordinaire :

et nous désignerons par T", T",T"'. . .T""', les polynômes semblablement formés en mettant successivement R", R3, R4 . . . R'9 à la place de R. Il s'agit ensuite de trouver la quantité A , fonction de R seule, qui satisfait à l'équation T, = AT".

On peut , pour cet effet , mettre T' sous la forme que donne son développement , savoir :

-+- b R + b' R » + b " IV + V" R' + b '« R'%

et alors on aura

a + (/>•)' + 2///>'" + a/>"/7Î"M4- a//>"". . . +2p"p" b=2pp'+a p 'px " -t- np'"p"'" a p"pv " . . . + a pxp" ,

valeurs qni serviront à trouver l'expression des autres coefficients a', a" . . .//,£". . . , en avançant les lettres p d'un rang quand on passe de a à a , de a a a", etc. Mais il suffira de faire cette opération sur les valeurs des coefficients a et b réduits à la forme linéaire; ces valeurs sont , d'après les différents produits des deux lettres p, qui supposent la racine primitive g= i3 (art. 537),

n=— ip — 'A p— a//"— 4 />"— a p' —p" — a^" — 4^" " — ±p" — a//— a/?1"— a/;""— 4/>"*— a/;"—/»"1 - 2p""—4pm"—zp"m

6= ap + 2p'+ ap'+ *p"'+ f\p" + !\p' + [\p"x + 2// + a//'-Ha//' + ap* •■•+4^''+4/>,ï+4/>"".

Au moyen de ces valeurs on trouve immédiatement le coefficient de dans chacun des termes du polynôme a + o'R* + a"R*. . . +a"R'", leur somme est — a — aR*~4R4 — aR«— R*— aR'°— 4R,,~ a R'4 — a R'*; prenant de même le coefficient de p dans chacun- des termes du polynôme bR + b'R* + £"R\ . . + ^"R", la somme de ces coefficients sera aR+4R'4-4R"+4R"+aR,,-4-aR,7-l-2R".

CINQUIÈME PARTIE. 3oi Réunissant ces deux sommes on aura la valeur totale de A, savoir:

i— 2 — aR* — 4R4 — aR6— R* — aR'"— 4R" — aRu — aR,c

(2) A — j \ + a r + 4 R7 + 4R " + 4 r.i+ a r*+ a R"4- aR".

(5g6) On aurait pu trouver plus simplement cette valeur par le procédé indiqué art. SBg. Voici ce second calcul confirmatif du premier.

Considérons d'abord dans T* la partie affectée des carrés des racines p,p\p". . cette partie est

p*+pu R* 4- p'H R* 4- p'"' R*. . . 4- p'"* R".

Si Tony substitue les valeurs /?*=a4-/r\//'= a +p"\ etc., le terme constant a pour lequel on doit mettre — a/) — a// — a/>". . . — a/>"% * donne dans la valeur de A un coefficient de p égal à la suite

valeur qui se réduit à zéro non-seulement pour A mais pour tous ses dérivés A', A", A'". . .A*"", excepté seulement pour A'*, qui résulte de A en mettant R" à la place de R, et alors la suite précédente, au lieu de se réduire à zéro, devient égale à — 4<>> c'est-àdire en général à — n 4- i.

Ainsi pour avoir un résultat absolument général nous devons conserver la suite précédente dans laquelle seulement on peut faire R" = i , ce qui la réduit à — 4 (i + R' +R* +R9 . . . + R"). Nous avons en outre le terme px"* R" , dans lequel p"w*=a+p, ce qui donne dans A le coefficient R" ou R*.

Il ne reste plus qu'à tenir compte des termes de T* qui sont de la

forme a/?l*/?vRJA"4"v; or parmi ces termes les seuls qui, réduits à la forme linéaire, contiennent p, sont d'après le tableau (i),

app"R9 + ap"p'R"+ a/>7>,,,R'î4-a/>l,,/>"R,« 4- 2p"p" R'*+ apt,p"R"+2p"pm"R1'+ y'^R" -+- np'p""R,,+ a/)""/l,",R"+a/?,",/>""R1,^•a/^""/R,' 4- a/>>"R*6 + a^7?'"R"+ 2p'"p"R"+ 2p"p"'R- + *p"'pm R'» 4- a p"'pM R" 4- zpr'p*" R"

La partie de A qui en résulte est donc

aR* + 2R"+aR" + aR,4-t- 2R,jh- 2R-4- aR,7+2R" +aR"+ aR"-f- 2R**-»- 2R"+ aR"+ aR"-4- 2R"-4-2RT 4-aR*«+2Ru+2RM,

ou en réduisant les exposants d'après l'équation R" = 1 ,

a + 2R + 2 R' + 2 Rs+ 4R7 + 2R*4- 2R"-»- 4R" + 4R,J + 2 a R'5-t- 2R6 + 2 R" + 4 R'1 + aR'».

On peut encore réduire cette valeur d'après l'équation

o=n-R+R'. . . +R'*, ce qui donnera

— aR1— aR*— aRs+aR' —aR'-t-aR"— aR"+ 2R,,+2R".

Si l'on ajoute maintenant les trois parties trouvées, on aura

A =— 4(i +R'+R4+R*+ R*+ R"+ R"-t-R'4+ R-'+R'1) -4- R' — a R5 — 2 R4— aRs + 2 R7— 2 R»+ a R"— a R"+ a R'1 + aRu ,

valeur qui étant combinée avec l'équation 0= 1 + R + R' + R1 . . -I- R"9, donnera le résultat déjà trouvé dans l'équation (a).

(597) Maintenant que nous connaissons une valeur de A de laquelle on peut déduire toutes les dérivées A', A". . . A"" sans exception , nous pouvons établir la série d'équations qui résultent de la formule T' = AT': voici cette série

T'= AT, T"= AT", T"'= A "T, T"'*= A"'T T'", — A"T'\ T' = A* T" , T"» = A" T"" , T,,J»= A'" T" , T "• »=A",,T"U, T'1»— A-T*'1 (3) T*'=A"T' T"* A" T"' T1"* A"'T* T""1 A"" Ty"

Parmi ces équations on remarquera l'équation T"« = A"T*" dans laquelle T1" étant ce que devient T lorsqu'on met R" ou 1 à la place

A"TT", TM»=